(共24张PPT)
2．2.1 直线的点斜式方程
灯直线的点斜式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数学运算
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题 数学抽象、数学运算
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求．
[问题] (1)托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
(2)试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
知识点 直线方程的点斜式、斜截式
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l过定点P0(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b
1．若直线的倾斜角为0°，且经过点P0(x0，y0)，能用点斜式表示吗？
提示：能．
2．直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
3．直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？
提示：不一定．当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数．
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析：选D 直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1.
2．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，
所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，
又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.
答案：y＝－3x＋2
3．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为________．
解析：由y＋＝(x－1)，
得y＝x－9，
∴l在y轴上的截距为－9.
答案：－9
直线的点斜式方程
[例1] (链接教科书第60页例1)若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：
(1)倾斜角为150°；
(2)平行于x轴；
(3)垂直直线m：y＝x＋2.
[解] (1)直线的斜率为k＝tan 150°＝－，
所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)，
即方程为y－1＝－(x－2)．
(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
(3)km＝，则kl＝－3.
即直线l的方程为y－1＝－3(x－2)．
求直线的点斜式方程的思路
[注意] 只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．
[跟踪训练]
根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)经过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)经过点D(2，1)和E(3，－4)．
解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3[x－(－4)]．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]．
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝＝－5.
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
直线的斜截式方程
[例2] (链接教科书第62页练习3题)根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
[跟踪训练]
求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
两直线平行与垂直的应用
角度一 利用直线方程求平行与垂直的条件
[例3] (链接教科书第61页例2)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
[解] (1)由题意可知，k＝－1，k＝a2－2，
∵l1∥l2，∴
解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，k＝2a－1，k＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
角度二 直线过定点问题
[例4] 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
[证明] 法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)．
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
1．若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2 k1k2＝－1.
2．证明直线过定点的基本方法：
(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式方程，进而得定点；
(2)方程法：将已知方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程恒成立，进而求出定点．如整理成f(x，y)＋a·g(x，y)＝0，而该方程关于a恒成立，则有f(x，y)＝0且g(x，y)＝0，其解就是所有直线都恒过的定点．
[注意] 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
[跟踪训练]
求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点．
证明：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．
1．若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x－ D．y＝x－2
解析：选B 由题得直线l的斜率为1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.
2．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
解析：选C 易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
3．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
解析：选D ∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝，
∴直线l的方程为y＝x－2.
4．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________．
解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
答案：－1
PAGE
7(共27张PPT)
2．2.2 直线的两点式方程
灯直线的两点式方程
新课程标准解读 核心素养
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(两点式、截距式) 数学运算
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．
[问题] (1)怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？
(2)能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
知识点 直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 经过两点P1(x1，y1) 和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距a，在y轴上截距b
图形
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
1．截距式方程能否表示过原点的直线？
提示：不能，因为ab≠0，即有两个非零截距．
2．所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？
提示：与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( )
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案：(1)× (2)√
2．过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案：B
3．在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝0
答案：A
4．直线x－2y＝4的截距式方程是____________．
解析：求直线的截距式方程，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．
答案：＋＝1
直线的两点式方程
[例1] (链接教科书第63页例4)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解] (1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝＝－3.
∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3，2)．
∴由两点式得＝，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；
(2)由于减法的顺序性，在使用两点式求直线方程时易将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
[跟踪训练]
已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
直线的截距式方程
[例2] 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[解] 法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
法二：由题意知直线的斜率一定存在．
设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.
根据题意得2－5k＝－，解得k＝或k＝1.
当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.
[母题探究]
(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0符合题意；
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，
又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
(3)要注意直线的截距式方程的逆向应用．
[跟踪训练]
1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1 B．－1
C．7 D．－7
解析：选B 直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.
2．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
解：设直线的截距式方程为＋＝1.
则＋＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
直线方程的综合应用
[例3] A是直线l：y＝3x上位于第一象限内的一点，B(3，2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标．
[解] 如图，设点A的坐标为(m，3m)(m>0)．
(1)当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得直线AB的方程为＝.
令y＝0，得xC＝.
因为点C在x轴的正半轴上，
所以>0，即m>.
所以△AOC的面积S＝××3m＝＝×＝×≥×＝×8＝.
当且仅当m＝时等号成立，此时点A的坐标为.
(2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3，9)，此时S△AOC＝×3×9＝>.
综上所述，△AOC的面积的最小值为，此时点A的坐标为.
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取直线的点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距；
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用直线的截距式方程．
[注意] 不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟踪训练]
已知直线l过点P(3，2)，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点(如图)．
(1)求△AOB面积的最小值及此时l的方程；
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．
解：设点A，B的坐标依次为(a，0)，(0，b)(显然a>3，b>2)，则直线l的方程为＋＝1.
把P(3，2)代入得＋＝1，∴b＝.
(1)法一：S△AOB＝ab＝＝＝a－3＋＋6.
令t＝a－3(t>0)，则S△AOB＝t＋＋6，
故当t＝3时，S△AOB取到最小值12.
∴当a－3＝3，即a＝6，b＝4时，△AOB面积的最小值是12，此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
法二：由b＝，得S△AOB＝ab＝，去分母，得a2－S△AOBa＋3S△AOB＝0.①
∵a为实数，∴Δ≥0，即S－12S△AOB≥0.
又∵S△AOB>0，∴S△AOB≥12.
将S△AOB的最小值12代入①，
解得a＝6，故b＝4.
此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
(2)∵＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋＋2＝5＋＋.
令t＝(t>0)，则a＋b＝5＋3t＋，
故当t＝时，a＋b取到最小值．
由＝，且＋＝1，得a＝3＋，b＝2＋，
此时a＋b＝5＋2.
1．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝1 D.－＝1
解析：选C 由截距式，得所求直线的方程为＋＝1.
2．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
解析：选A 点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.
3．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
解析：由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
答案：－2
4．直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是________．
解析：直线在两坐标轴上的截距分别为与，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为.
答案：
PAGE
7(共27张PPT)
2．2.3 直线的一般式方程
2．2 直线的方程
灯直线的一般式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式 数学抽象、逻辑推理
2.会进行直线方程的五种形式间的转化 逻辑推理、数学运算
同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
[问题] (1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？
(2)探究它们的方程能否化简为统一的形式？
知识点 直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
提示：都可以．
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都能表示一条直线吗？
提示：都能表示一条直线．
直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为，从而倾斜角为30°.
直线的一般式方程
[例1] (链接教科书第65页例5)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
[解] (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
化为一般式得x－y＋3－5＝0.
(2)由两点式方程得＝，
化为一般式得2x＋y－3＝0.
(3)由截距式方程得＋＝1，
化为一般式得x＋3y＋3＝0.
求直线一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需求，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
[跟踪训练]
1．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
解析：点斜式方程为y＋4＝(x－0)，截距式方程为＋＝1，斜截式方程为y＝x－4，一般式方程为x－y－4＝0.
答案：y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
2．直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为________．
解析：令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝，
∴＝3，∴m＝－6.
答案：－6
由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
[例2] 已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
[解] 法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
(1)当l1∥l2时，
解得a＝2.
(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－.
法二：直线l1可化为y＝－x＋.
(1)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行；
当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋，
∵l1∥l2，∴－＝－且≠，
解得a＝2.
(2)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不垂直；
当a≠－1时，l2：y＝－x＋，
∵l1⊥l2，∴－·＝－1，
解得a＝－.
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
[跟踪训练]
1．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－2 B．2
C．±2 D．2或4
解析：选C 因为直线l2的斜率存在，故当l1∥l2时，直线l1的斜率也一定存在，所以－＝－，解得m＝±2.
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
解：法一：l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过点(－1，3)，
由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1，3)，
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
直线的一般式方程的应用
[例3] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
[解] (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程得
y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
[母题探究]
(变设问)若本例中的直线l与y轴平行，求m的值．
解：∵直线l与y轴平行，
∴∴m＝.
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0；
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式；
(3)解分式方程要注意验根．
[跟踪训练]
已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
解：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以
解得
所以直线l过定点(1，－1)．
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
解析：选D 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
2．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
解析：选C 由＋＝1，得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0.
3．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：选C 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
4．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点( )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(3，1) D．(2，1)
解析：选C kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3，1)．
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
解析：由已知得
∴m＝3.
答案：3
PAGE
7
