(共36张PPT)
2．3.1 两条直线的交点坐标
2．3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.2 两点间的距离公式
灯两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象、数学运算
2.探索并掌握两点间的距离公式 数学抽象、数学运算
从初中平面几何中我们就已经知道，两条不重合的直线l1与l2：如果它们没有公共点，那么l1与l2平行；否则，l1与l2相交，而且有唯一的交点．
[问题] (1)在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢？
(2)如果两条直线相交，如何求出它们的交点坐标？
知识点一 两条直线的交点坐标
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
1．仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？
提示：不能．
2．两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点坐标吗？
提示：是．
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4，1) B．(1，4)
C. D.
解析：选C 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：2x＋2y＋3＝0位置关系是________．
答案：平行
知识点二 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ．
2．文字叙述：平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
1．两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．
2．当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|；
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|；
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
解析：选C ∵|AB|＝＝5，
∴a＝－5或a＝1.
2．已知A(－2，3)，B(－2，－3)，则|AB|＝________．
答案：6
两条直线的交点问题
[例1] (链接教科书第70页例1)(1)三条直线ax＋2y＋7＝0，4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值；
(2)求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
[解] (1)解方程组得
所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．
由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－.
(2)法一(方程组法)：解方程组得所以两直线的交点坐标为(－1，0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.
法二(直线系法)：设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0，①
又直线l的斜率为3，所以－＝3，解得λ＝，
将λ＝代入①，整理得3x－y＋3＝0.
1．两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
2．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
[跟踪训练]
1．求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程．
解：设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
2．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解：法一：由方程组
得即P(0，2)．
∵l⊥l3，l3的斜率为，∴kl＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
∵l与l3垂直，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
直线恒过定点问题
[例2] 求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
[证明] 法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为P(－3，3)．
将点P(－3，3)代入方程左边，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组得
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；
(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；
(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．
比较这三种方法可知，特殊值法计算较烦琐，点斜式法变形较困难，分离参数法最简便因而也最常用．
[跟踪训练]
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，
所以不论a取何值，直线l恒过定点A，
又点A在第一象限，
所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)令x＝0，y＝，
由题意，≤0，解得a≥3.
所以a的取值范围为[3，＋∞).
两点间的距离公式
角度一 两点间距离的计算
[例3] (链接教科书第73页例3，例4)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝ ＝2，
|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝ ＝2，
|AB|＝ ＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ ；
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
角度二 距离公式在几何证明中的应用
[例4] 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
[证明] 设BC所在边为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)，
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝b2＋c2＋a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数计算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．
[注意] 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．
[跟踪训练]
1 .已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解：设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝ ＝ ，
|PB|＝ ＝ .
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
|PA|＝ ＝.
2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，
所以|AC|＝ ＝ ，
|BD|＝ ＝ .
故|AC|＝|BD|.
对称问题
1．对称问题的主要类型及解法
(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)；
(2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程．或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程；
(3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由
得出；
(4)直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程．
2．利用对称性求距离的最值
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
[迁移应用]
1．已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于直线l对称的直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)对称的直线的方程．
解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得
∴点P′的坐标为(－2，7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．在直线y＝x－2上取一点M(2，0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则
解得
∴点M′也在所求直线上．
由两点式得直线方程为＝，
化简得直线方程为7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)，则E，F关于点A(3，2)的对称点为E′(6，1)，F′(7，4)．∵点E′，F′在所求直线上，∴由两点式得直线方程为＝，即3x－y－17＝0.
2．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
解：(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，kBB′·kl＝－1，即3·＝－1，
∴a＋3b－12＝0.①
又BB′的中点坐标为，且在直线l上，
∴3·－－1＝0，即3a－b－6＝0.②
由①②得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．
于是直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解由l的直线方程与AB′的直线方程组成的方程组得即l与AB′的交点坐标为(2，5)，∴P(2，5)．
(2)如图，设C关于l的对称点为C′，可求出C′的坐标为.
∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0.
AC′和l交点坐标为P.
故P点坐标为.
1．已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，则x＝________．
解析：由|MN|＝7，
得|MN|＝ ＝7，
即x2－4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5.
故所求x的值为9或－5.
答案：9或－5
2．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________．
解析：在2x＋3y－k＝0中，
令x＝0得y＝，
将代入x－ky＋12＝0，
解得k＝±6.
答案：±6
3．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
解：∵点B在直线l1上，∴设B(x0，6－2x0)．
∵|AB|＝5，∴ ＝5，
整理，得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
∴点B的坐标为(1，4)或(5，－4)．
∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
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11(共20张PPT)
2．3.3 点到直线的距离公式
2．3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.4 两条平行直线间的距离
灯点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握点到直线的距离公式 数学抽象、数学运算
2.会求两条平行直线间的距离 直观想象、数学运算
在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
[问题] 怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
知识点 点到直线的距离与两条平行直线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝
1．若点P(x0，y0)到直线l1：y＝a与l2：x＝b的距离分别为d1，d2，那么d1，d2如何求？
提示：d1＝|y0－a|，d2＝|x0－b|.
2．两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？
提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：选D d＝＝.
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B 由题意知l1∥l2，则l1，l2之间的距离为＝.
点到直线的距离
[例1] (链接教科书第77页例5)求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
[跟踪训练]
求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程．
解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
两平行直线间的距离
[例2] (链接教科书第78页例7)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
[解] 设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.
由直线l与两条平行线的距离相等，
得＝，即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
[跟踪训练]
1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( )
A．3 B．7
C. D.
解析：选C 3x＋4y－2＝0变为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.
2．若直线m被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是______．
解析：两平行线间的距离d＝＝，故m与l1或l2的夹角为30°.又l1，l2的倾斜角为45°，∴直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
答案：①⑤
距离的综合应用
[例3] 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形另外三边所在直线的方程．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．
∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，
得a＝9或a＝－3，
同理得b＝9或b＝－3.
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另外三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
[跟踪训练]
若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝ |m＋7|＝|m＋5| m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
答案：3
1．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A. B.－1
C.＋1 D．2－
解析：选B 由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.∵a＞0，∴a＝－1，故选B.
2．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5 |b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
答案：x－y＋10＝0或 x－y－10＝0
3．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
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