(共25张PPT)
2．4.1 圆的标准方程
2．4 圆的方程
灯圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程 直观想象、数学运算
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
[问题] 如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
知识点一 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：圆心和半径，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
1．当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2.
2．当圆心在原点即A(0，0)，半径r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
3．相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.( )
答案：(1)× (2)×
2．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为( )
A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0
C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0
解析：选B 由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．
解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
解析：选B 将点P的坐标代入圆的方程，则(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．
求圆的标准方程
[例1] (链接教科书第83页例2)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
[解] 法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二(几何法)：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．
一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
[跟踪训练]
1．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．
解析：设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心C的坐标为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的标准方程．
解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为(－3，1)，
又圆的半径r＝＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
点与圆的位置关系
[例2] (链接教科书第83页例1)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[解] (1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a＞0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得，
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3.
因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范围是(3，)．
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系；
(3)下结论：若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d[跟踪训练]
已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴解得
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆．
与圆有关的最值问题
[例3] 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．
[解] 原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
[母题探究]
1．(变设问)在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．
解：设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2．(变设问)在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题；
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1，5)， B．(1，－5)，
C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3
答案：B
2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案：D
3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
答案：B
4．圆心在x轴上，且过A(1，4)，B(2，－3)两点的圆的方程为________．
解析：设圆心为(a，0)，则＝，所以a＝－2.半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
答案：(x＋2)2＋y2＝25
5．若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
解析：∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，
169a2>1，a2>，
∴a>或a<－.
答案：∪
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2．4.2 圆的一般方程
2．4 圆的方程
灯圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 逻辑推理
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程 数学运算
在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
[问题] 如果把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为_．
圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F>0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )
(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )
答案：(1)× (2)√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．
3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为______．
解析：该圆的圆心为，半径为，
故其标准方程为＋(y－2)2＝.
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.
答案：x2＋y2－3x－4y＝0
圆的一般方程的辨析
[例1] (链接教科书第88页练习2题)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
[跟踪训练]
1．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4) 5
2．已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，
即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.
求圆的一般方程
[例2] (链接教科书第86页例4)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
[解] 法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得，或
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二(几何法)：由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长r＝|CP|＝. ①
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.
∴r2＝a2＋，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝.
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
[跟踪训练]
1．过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．
解析：将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
2．过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的一般方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．由已知，点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
答案：x2＋y2－8x＋6y＝0
求动点的轨迹方程
角度一 直接法求动点的轨迹方程
[例3] 求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程．
[解] 设点M的坐标是(x，y)，则＝.
∴＝.
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，
即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度二 代入法求动点的轨迹方程
[例4] 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
[解] 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则
∴
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
角度三 定义法求动点的轨迹方程
[例5] 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．
[解] 法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法二：同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)．
由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．
[注意] 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点．
[跟踪训练]
已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．其轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
解析：选C 将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.
解析：选A 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
3．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5，2)和(3，－2)的圆的一般方程．
解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心为.
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴2×－－3＝0.①
又∵点(5，2)和(3，－2)在圆上，
∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.②
32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0.③
解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
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