1.3 三角函数的计算 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
BS九(下)
教学课件
1.3 三角函数的计算
第一章 直角三角形的边角关系
1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识.
2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
学习目标
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
三角
函数
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，
它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的
夹角为∠BAC=16°，那么缆车垂直上升的距离
BC是多少？（精确到0.01）
这里的sin16°是多少呢？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=ABsin16°。
问题
用计算器求三角函数值
1.求sin16°．
输入顺序： ，16，=
sin
屏幕显示结果sin16°=0.275 637 355 8
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
本书约定，如无特别说明，用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位。
1
2.求cos72°38'25''．
输入顺序： ，，72， ,38,
,25, ,=
屏幕显示结果cos72°38'25''=0.298 369 9067
cos
°＇ ″
°＇ ″
°＇ ″
3.求 tan85°.
屏幕显示答案：11.430 052 3；
输入顺序： ，85，=
tan
对于本节一开始的问题，利用科学计算器可以求得
BC=200sin16°≈55.12（m）.
用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)sin 47°；　　　(2)sin12°30′；
(3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
(1)sin47°≈0.7314；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
例1
利用计算器由三角函数值求角度
如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．
2
已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
还以以利用 键，进一步得到
∠A＝30°07'08.97 "
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
第二步：然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67°
°＇″
2nd F
已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，
∠B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sin A＝0.7，sin B＝0.01；
(2)cos A＝0.15，cos B＝0.8；
(3)tan A＝2.4，tan B＝0.5.
解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；
(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
例2
cos55°=
cos70°=
cos74°28 '=
tan3°8 ' =
tan80°25'43″=
sin20°=
sin35°=
sin15°32 ' =
0.3420
0.3420
0.5736
0.5736
0.2678
0.2678
5.930
0.0547
角度增大
正弦值增大
余弦值减小
正切值增大
拓广探索
比一比，你能得出什么结论？
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中
AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因
城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条
笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)
利用三角函数解决实际问题
例3
3
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．
∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．
所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)
(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，
∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．
所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米
(结果精确到个位)．
例4
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ ≈0.5，
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝ ＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应
的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.6175；
（2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
（3）tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6.
∠B=38°8″
∠A=38°51′57″
∠A=51°18′11″
∠B=80°27′2″
∠A=78°19′58″
∠B=41°23′58″
2.已知：sin232°＋cos2α=1，则锐角α等于（　　）
A．32° B．58°
C．68° D．以上结论都不对
A
3.用计算器验证，下列等式中正确的是（　　）
A．sin18°24′＋sin35°26′=sin45°
B．sin65°54′－sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′－sin12°18′=sin47°42′
D
A
4.下列各式中一定成立的是（ ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°5.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(　)
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.
【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.
D
6.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，
某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D
处测得塔顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
解析 (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；
(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.