2.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
2.2 二次函数的图像与性质
第二章 二次函数
BS九(下)
教学课件
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
情境引入
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成
顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点
坐标、对称轴.（重点）
y=a(x－h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x－h)2＋k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
顶点坐标 对称轴 最值
y=－2x2
y=－2x2－5
y=－2(x＋2)2
y=－2(x＋2)2－4
y=(x－4)2＋3
y=－x2＋2x
y=3x2＋x－6
(0,0)
y轴
0
(0,－5)
y轴
－5
(－2,0)
直线x=－2
0
(－2,－4)
直线x=－2
－4
(4,3)
直线x=4
3






二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质
我们已经知道y=a(x－h)2＋k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
怎样将 化成y=a(x－h)2＋k的形式？
1
问题1
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个
单位得到的；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个
单位得到的.
问题2
问题3
如何用描点法画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解: 先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象，如右图.
O
问题4
结合二次函数 的图象，说出其增减性.
5
10
x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2－8x＋7的图象和
性质吗？
O
问题5
因此，二次函数y=2x2－8x＋7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大.
解：
求二次函数y=2x2－8x＋7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
例1
y=ax ＋bx＋c
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是：
对称轴是：直线
求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标.
例2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成
y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
(1)
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(2)
x
y
O
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
D
例3
顶点坐标 对称轴 最值
y=－x2＋2x
y=－2x2－1
y=9x2＋6x－5
(1,1)
x=1
最大值1
(0,－1)
y轴
最大值－1
最小值－6
( ,－6)
直线x=
填一填
二次函数的系数与图象的关系
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＞
＞
2
问题1
x
y
O
二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，
对称轴在y轴右侧，
x=0时，y=c.
问题2
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
对称轴在y轴右侧，
x=0时，y=c.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝
－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
例4
二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限.故选C.
C
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标
和最值：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
最小值-5
最大值1
最小值
最大值
O
y
x
–1
–2
3
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x= –1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y= –2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
4.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长
度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为
y＝x2－3x＋5，则(　　)
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－ )2＋ .将y＝(x－ )2＋ 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋ ，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.
A
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=－1是
对称轴，有下列判断：①b－2a=0；②4a－2b＋c<0；
③a－b＋c= －9a；④若（－3，y1）,（ ，y2）是抛
物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图
所示，抛物线的对称轴为直线x=－1，P1（x1，y1），
P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l
上的点，且x3＜－1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关
系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
D
∴这个二次函数的解析式为y＝－ x2＋4x－6；
7. 如图，已知二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过
A(2，0) ，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－ x2＋bx＋c 得
解得
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连
接BA、BC，求△ABC的面积．
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝ ＝4，
∴点C的坐标为(4，0)，
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
∴S△ABC＝ ×AC×OB＝ ×2×6＝6.
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0）
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)