3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
BS九(下)
教学课件
第1课时 圆周角和圆心角的关系
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理
及推论解决简单的几何问题.（重点）
3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心
角的关系”.（难点）
学习目标
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角, 如∠BOC.
A
问题1
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AE的张角（ ∠ABE ）有关.
图中的三个张角∠ABE、∠ADE和∠ACE的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
C
A
E
D
B
顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.
问题2
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角的定义
1
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
思考
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆周角定理及其推论
猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.
等于
2
测量
已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.
求证：∠BAC= ∠BOC.
推导与验证
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在
∠BAC的一边上
圆心O在
∠BAC的外部
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
1.圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
2.圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
3.圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、
C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，理由
是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
练一练
(1)完成下列填空：
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD
为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD
为四边形ABCD的对角线.
（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
⌒
⌒
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 ,
如图，OA,OB,OC都是 O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.
B
C
O
.
70°
A
∴∠ACB= ∠AOB=25°.
同理∠BAC= ∠BOC=35°.
例1
如图，AB是 O的直径，C、D、E是 O上的点，则∠1+∠2等于（　　）
A．90° B．45° C．180° D．60°
A
例2
如图， O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　）
A．15° B．25° C．30° D．75°
C
例3
如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于
（　　）
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
例4
解析：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°，
故选：B．
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°, 则∠AOB= ．
B
A
C
O
166°
3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ADB= ，∠ACB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
4.如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 .
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
5.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇
到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、
B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有
触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位
于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系 为什么
(2)求证： .
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC， ∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
解:BD=CD.理由是:连接AD,
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角