3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
3.6 直线和圆的位置关系
第三章 圆
BS九(下)
教学课件
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点）
2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
学习目标
砂轮上打磨工件时飞出的火星
下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？
圆的切线的判定
如图，OA是☉O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和☉O有怎样的位置关系？
l
l
由圆的切线定义可知直线l 与圆O 相切.
圆心O到直线l的距离等于半径OA.
1
问题1
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示.
如下图所示，已知☉O 上一点P，过点P 画☉O 的切线．
画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；
为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？
做一做
已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是☉O的切线.
O
B
A
C
证明：连接OC.
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是☉O的半径,
∴ AB是☉O的切线.
例1
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，☉O 与AB 相切于E.求证：AC 是☉O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是☉O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是☉O的半径就可以了，而OE是☉O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
例2
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵☉O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
　　O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是☉O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是☉O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
三角形的内切圆及内心
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆O.
分析：如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的__________与∠B的___________的___点.
平分线
平分线
交
2
例3
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM
和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
M
N
D
与△ABC的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.
D
思考
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
△ABC中，☉O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。
A
B
C
O
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∵☉O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠ OBC= ∠ABC ∠OCB= ∠ACB
例4
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ ( ∠ABC +∠ACB)
=180°－ ×110°
= 125°.
A
B
C
O
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线
是圆的切线.
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.
(6) 三角形的内心到三角形各边的距离相等.
(7)三角形的内心一定在三角形的内部.
（×）
（×）
（√ ）
（√ ）
（√ ）
（ √ ）
（ √ ）
2.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、
AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，
OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵☉O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.
B
·
B
D
E
F
O
C
A
3.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,
求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF
＝ l·r
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
则△ABC的内切圆的半径r＝ ;
当△ABC为直角三角形，a,b为直角边时,
r = .
2s
a＋b＋c
ab
a＋b＋c
知识拓展
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为☉O的切线.
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交
边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.
O
A
B
C
E
P
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O
为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
求证：CD与☉O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵☉O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与☉O相切．
M
N
6.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需
添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：
EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B同对 ,
∴ ∠D= ∠B,
又∵ ∠CAE= ∠B,
∴ ∠D= ∠CAE,
∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
7.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于
点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD.
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
即∠DBE＝∠DEB，
故BD＝ED；
(1)求证：BD＝ED；
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，
∴DF＝ AD＝ ×8＝2(cm)．
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ,
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4cm，
又∵BD＝DE，
∴DE＝4cm.
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质