4.2 万有引力定律的应用 学案

第2节　万有引力定律的应用
1．会用万有引力定律计算天体的质量．
2．会计算人造卫星的环绕速度，知道第二宇宙速度和第三宇宙速度．
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法.
一、天体质量的计算
1．地球质量的估算
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球的自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)关系式：mg＝G.
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
2．天体质量的估算：若已知小天体绕中心大天体运动的周期T和两天体之间的距离r，可计算中心大天体的质量M，公式是M＝．
二、人造卫星上天
1．人造地球卫星的发射原理
(1)牛顿设想：如图甲所示，当物体被抛出的速度足够大时，它将围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗人造地球卫星．
甲　　　　　　　　乙
(2)发射过程简介
如图乙所示，发射人造地球卫星的火箭一般为三级．使卫星进入地球轨道后的大致过程也为三个阶段．
2．宇宙速度
(1)第一宇宙速度vⅠ：卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，vⅠ＝7.9 km/s.
(2)第二宇宙速度vⅡ：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，vⅡ＝11.2 km/s.
(3)第三宇宙速度vⅢ：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，vⅢ＝16.7 km/s.
三、预测未知天体
1．1845～1846年，英国大学生亚当斯和德国天文学家伽勒分别计算出天王星外还有一颗未知行星——海王星．
海王星的发现巩固了万有引力定律的地位．
一、天体质量的计算
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．
2．计算天体的质量
下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg＝G，解得地球质量为M地＝.
(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动
G＝
3．计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
将M＝代入上式得：ρ＝
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
二、人造卫星上天
1．解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
2．常用的关系式
(1)G＝m＝mω2r＝mr，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
(2)mg＝G即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力．该公式通常被称为“黄金代换式”．
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由＝m得v＝，r越大，天体的v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小．
(3)由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大．
(4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小．
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．
4．地球同步卫星及特点：同步卫星就是与地球同步运转，相对地球静止的卫星，因此可用来作为通信卫星．同步卫星有以下几个特点：
(1)周期一定：同步卫星在赤道正上方相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T＝24 h.
(2)角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度．
(3)轨道一定．
①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．
②由于所有同步卫星的周期相同，由r＝知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道上运动，其确定的高度约为3.6×104 km.
(4)运行速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，运行方向与地球自转方向相同．
三、宇宙速度
1.人造卫星的两个速度
(1)发射速度
指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度．卫星离地面越高，卫星所需的发射速度越大．
(2)绕行速度
指卫星在进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．根据v＝可知，卫星越高，半径越大，卫星的绕行速度就越小．
2．第一宇宙速度的两种求解方法
(1)由万有引力提供向心力得，G＝m，所以卫星的线速度v＝，第一宇宙速度是指物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，则当r＝R时得第一宇宙速度v＝(M为地球质量，R为地球半径)．
(2)对于近地卫星，重力近似等于万有引力，提供向心力：mg＝得v＝，g为地球表面的重力加速度．
典例1、据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A．0.5　　　　 B．2　
C．3.2 D．4
B　[在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．即G地＝G
同样在行星表面有G行＝G
以上二式相比可得＝×＝×
＝＝2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2 故选B.]
典例2、利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
B　[万有引力提供向心力，对同步卫星有：＝mr，整理得GM＝
当r＝6.6R地时，T＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地
三颗同步卫星A、B、C如图所示分布
则有＝
解得T′≈＝4 h，选项B正确．]
典例3、已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为 (　　)
A．3.5 km/s　　 B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
A　[构建公转模型，对卫星由万有引力提供向心力，有G＝m，对近地卫星v近地＝，同理对航天器有v航＝，联立两式有＝＝，而v近地＝7.9 km/s，解得v航＝3.5 km/s，A项正确．]
1．(2019·湖南长郡中学期中)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是(　　)
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的运行周期和角速度
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的速度和角速度
2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)
A.　　　　　　　　 B．1
C．5 D．10
3．(2019·北京海淀区期中)地球的两颗人造卫星A和B，它们的轨道近似为圆．已知A的周期约为12小时，B的周期约为16小时，则两颗卫星相比(　　)
A．A距地球表面较远　　 B．A的角速度较小
C．A的线速度较小 D．A的向心加速度较大
4．(2019·陕西汉中期末)嫦娥四号发射后进入近月点约100公里的环月轨道．关于“嫦娥四号”月球探测器的发射速度，下列说法正确的是(　　)
A．小于第一宇宙速度
B．介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间
D．大于第三宇宙速度
5．(2019·河南郑州高一检测)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为(　　)
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
参考答案：1.选D. 2.选 B. 3.D. 4.选B.5.选D.