第四章 万有引力及航天
第二节 万有引力定律的应用1
班级 学号 姓名
天体质量的计算
1．计算地球的质量
地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝。
2．计算太阳和行星的质量
(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝ 。
(2)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝。
一、地球附近的万有引力
1．万有引力和重力的关系
设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，如图所示，由万有引力公式得F＝G。引力F可分解为两个分力：
(1)一个分力Fn，方向垂直于自转轴，为物体随地球自转做圆周运动的向心力。
(2)另一个分力就是物体的重力mg。
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，满足F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。
(3)其它位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg3．重力与高度的关系
地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近：mg＝G。
(2)距离地面h高度处：mgh＝G(R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，物体所受的重力也越小。
解答地球表面上物体的重力与万有引力关系问题的技巧
(1)如果考虑地球自转的影响，除两极外，重力是万有引力的一个分力。
(2)如果忽略地球自转的影响，重力等于万有引力。
二、天体质量与密度的计算
— 方法 已知量 利用公式 表达式 说明
质量的计算 利用绕行天体的运动(环绕法) r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
利用天体表面重力加速度(重力加速度法) g、R mg＝ M＝ —
密度的计算 利用绕行天体的运动(环绕法) r、T、R G＝mrM＝ρ·πR3 ρ＝当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度(重力加速度法) g、R mg＝M＝ρ·πR3 ρ＝ —
【特别提醒】注意区别轨道半径r与天体半径R
1．判断正误。
(1)地球表面的物体，其重力就是物体所受的万有引力。（ ）
(2)绕行星匀速转动的卫星，由万有引力提供向心力。（ ）
(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。（ ）
(4)观测卫星绕地球的运动情况可以计算出地球的质量。（ ）
2．随着我国航天事业的不断发展，未来某一天，我国宇航员降落在某星球上，测得该星球表面的重力加速度为g′。已知该星球半径为R，万有引力常量为G，忽略该星球自转造成的影响，则该星球的质量为( )
A. B. C. D.
3．[多选]用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，下列说法正确的是( )
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数F3＝G
4．宇航员王亚平在天宫一号航天器内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若航天器质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则航天器所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。
(1)求该天体的质量和密度。
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。
参考答案
1． (1) × (2) √ (3) × (4) √
2．选A：在星球表面忽略自转的情况下，物体所受的重力与万有引力相等，有mg′＝G，可得星球的质量M＝，故A正确。
3．选AC：物体在两极时，万有引力等于重力，有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，有F1＜G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，有F2＝G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，有F3＜G，故D错误。
4．选B：航天器受到的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确。
5．[答案] (1) (2) ：
设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR，则该天体的质量M＝。
根据数学知识可知天体的体积V＝πR3，故该天体的密度ρ＝＝＝。
(2)卫星距天体表面的高度为h时，有G＝m(R＋h)，
则该天体的质量M＝，该天体的密度ρ＝＝＝。第四章 万有引力及航天
第二节 万有引力定律的应用2
班级 学号 姓名
一、人造卫星上天
1．人造卫星的发射
(1)牛顿的设想：如图所示，当 足够大时，物体将会围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗绕地球转动的 。
(2)原理：卫星绕地球转动时， 提供向心力，即G＝m＝mrω2，其中r为卫星到地心的距离。
2．三个宇宙速度
— 数值 意义
第一宇宙速度(环绕速度) km/s 是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必需的运行速度
第二宇宙速度(脱离速度) km/s 是人造卫星脱离地球引力所需的速度
第三宇宙速度(逃逸速度) km/s 是卫星挣脱太阳引力的束缚所需的速度
二、预测未知天体
1．海王星的发现
英国大学生亚当斯和法国天文学爱好者勒维耶，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的位置。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的区域发现了这颗行星——海王星。
2．预言哈雷彗星回归
英国物理学家 ，依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了彗星的回归时间。
3．意义
海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了 的地位。
答案：抛出速度、卫星、万有引力、7.9 km/s、11.2 km/s、16.7 km/s、哈雷、万有引力定律
一、三个宇宙速度
1．第一宇宙速度
推导：①由G＝m得v1＝＝7.9×103 m/s。
②万有引力近似等于星球表面的重力，由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s。
[特别提醒] (1)第一宇宙速度公式v1＝＝同样适用于其他天体，其中g、R分别为相应天体表面的重力加速度和天体的半径。
(2)意义：第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，是人造卫星做匀速圆周运动的最大速度，对应的运行周期是人造卫星的最小周期，Tmin＝2π＝5 075 s≈85 min。
2．第二宇宙速度
(1)大小：v2＝11.2 km/s。
(2)意义：在地面附近发射飞行器，克服地球的引力，永远离开地球所需的最小发射速度。
[特别提醒] 第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系：v2＝v1。
3．第三宇宙速度
(1)大小：v3＝16.7 km/s。
(2)意义：在地面附近发射飞行器，挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度。
4．发射速度与卫星的轨道关系
(1)当7.9 km/s≤v发<11.2 km/s时，卫星绕地球做椭圆运动。
(2)当11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳旋转，成为太阳系一颗“小行星”。
(3)当v发≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去。
二、天体运动的分析与计算
1.基本思路
行星绕恒星(或卫星绕行星)的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．常用关系
(1)基本关系：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，即G＝m，G＝mrω2，G＝mr，G＝ma。
(2)黄金代换式：由在天体表面物体的重力等于万有引力有mg＝G，可得GM＝gR2。
天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
结论：“高轨、低速、周期长”或“低轨、高速、周期短”。
1．判断正误。
(1)绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是5.0 km/s。( )
(2)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s。( )
(3)要发射一颗人造月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。( )
(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。( )
(5)哈雷彗星的回归有一定的周期。( )
2．如图所示，图中v1、v2和v3分别为第一、第二和第三宇宙速度，三个飞行器a、b、c分别以第一、第二和第三宇宙速度从地面上发射，三个飞行器中能够克服地球的引力，永远离开地球的是( )
A．只有a B. 只有b
C．只有c D. b和c
3．中国计划在2020年发射火星探测器，并在10年后实现火星的采样返回。已知火星的质量约为地球的，火星的半径约为地球的。下列关于火星探测器的说法正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度，可以小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为火星第一宇宙速度的2倍
4．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B. a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D. v火>v地>v金
5．2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为 B. 动能为
C．角速度为 D. 向心加速度为
参考答案
1．(1) √ (2) √ (3) × (4) √ (5) √
2．选D：当发射的速度大于等于第二宇宙速度时，卫星会挣脱地球的引力，不再绕地球飞行；当发射的速度大于等于第三宇宙速度时，卫星会挣脱太阳的引力，飞出太阳系。选项D正确。
3．选C：火星探测器前往火星，脱离地球引力的束缚，还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度，可以小于第三宇宙速度，故A、B错误，C正确。火星探测器环绕火星运行的最大速度为火星的第一宇宙速度，故D错误。
4．选A：行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识得G＝ma，解得向心加速度a＝，由G＝m得速度v＝，因为R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
5．选A：探测器绕月球做圆周运动时由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得G＝m2r，解得周期T＝，A正确。由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错误。由G＝mrω2得，角速度ω＝，C错误。由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。第四章 万有引力及航天
第二节 万有引力定律的应用3
班级 学号 姓名
一、人造地球卫星
1.人造地球卫星的轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力充当向心力，因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，其轨道可分为三类(如图所示)：
(1)赤道轨道：卫星的轨道与赤道共面，卫星始终处于赤道正上方。
(2)极地轨道：卫星的轨道与赤道平面垂直，卫星经过两极上空。
(3)任意轨道：卫星的轨道与赤道平面成某一角度。
2．人造地球卫星的运动参量与r的关系：
由G＝m，G＝mrω2，G＝mr，G＝ma可推导出：
当r增大时
人造卫星运行参量的判断方法
(1)人造卫星的a、v、ω、T由地球的质量M和卫星的轨道半径r决定。当r确定后，卫星的a、v、ω、T便确定了，当人造卫星的轨道半径r发生变化时，其a、v、ω、T都会随之改变。
(2)在处理人造卫星的a、v、ω、T与半径r的关系问题时，常用公式“gR2＝GM”来替换出地球的质量M，会使问题解决起来更方便。
3．地球同步卫星的六个“一定”
4．近地卫星、同步卫星与赤道上物体的比较
— 近地卫星(ω1、r1、a1) 同步卫星(ω2、r2、a2) 赤道上随地球自转的物体(ω3、r3、a3)
向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去重力
轨道半径 r2＞r3＝r1
角速度 ①由＝mω2r得ω＝ ，故ω1＞ω2②同步卫星的角速度与地球的自转角速度相同，故ω2＝ω3③ω1＞ω2＝ω3
线速度 ①由＝得v＝ ，故v1＞v2②由v＝rω得v2＞v3③v1＞v2＞v3
向心加速度 ①由＝ma得a＝ ，故a1＞a2②由a＝ω2r得a2＞a3③a1＞a2＞a3
[特别提醒]当比较近地卫星和赤道上物体的运动规律时，往往借助同步卫星这一纽带，这样会使问题迎刃而解。
1．2019年5月17日，我国成功发射了第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京的正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度 D．入轨后的运行周期为24 h
2．[多选]如图所示，有三种轨道，则下列有关说法中正确的是( )
A．卫星可能的轨道为a、b、c
B．卫星可能的轨道为a、c
C．同步卫星可能的轨道为a、c
D．同步卫星可能的轨道为a
3．我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102 km的预定轨道。“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动。已知地球半径R＝6.4×103 km。下列说法正确的是( )
A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
4． [多选]如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B、地球同步卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是( )
A．三者的周期关系为TA＜TB＜TC
B．三者向心加速度的大小关系为aA＞aB＞aC
C．三者角速度的大小关系为ωA＝ωC＜ωB
D．三者线速度的大小关系为vA＜vC＜vB
参考答案
1．选D 2．选BD 3．选C 4．选CD
