沪科版七年级数学上册《直线与角》单元测试卷

七年级数学上册《直线与角》练习题
　
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．有三个点A，B，C，过其中每两个点画直线，可以画出直线（　　）
　
A．
1条
B．
2条
C．
1条或3条
D．
无法确定
2．由河源到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：河源﹣惠州﹣东莞﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（　　）
　
A．
3种
B．
4种
C．
6种
D．
12种
3．从哈尔滨开往某市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，那么有多少种不同的票价（　　）
　
A．
3
B．
4
C．
6
D．
12
4．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（　　）
　
A．
3：4
B．
2：3
C．
3：5
D．
1：2
5．某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（　　）
　
A．
A区
B．
B区
C．
C区
D．
不确定
6． 4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）
　
A．
55°
B．
65°
C．
70°
D．
以上结论都不对
7．一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角为（　　）
　
A．
30°
B．
40°
C．
60°
D．
75°
8．将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（　　）

　
A．
80°
B．
90°
C．
100°
D．
110°
9．如图，∠AOB=130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（　　）
　
A．
∠DOE的度数不能确定
B．
∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°
　
C．
∠BOE=2∠COD
D．
∠AOD=
10．已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（　　）
　
A．
20°
B．
40°
C．
20°或40°
D．
30°或10°
二．填空题（共10小题，满分40分）
11．已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此推断，Sn=　_________　．
12．一条直线上有若干个点，以任意两点为端点可以确定一条线段，线段的条数与点的个数之间的对应关系如下表所示．请你探究表内数据间的关系，根据发现的规律，则表中n=　_________　．
点的个数
2
3
4
5
6
7
线段的条数
1
3
6
10
15
n
13．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=　_________　cm．
14．已知AB=8cm，若点C在AB的延长线上，且B为AC的一个三等分点，则AC=　_________　cm．
15．在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角　_________　个．
16．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，如果∠AOD=130°，那么∠BOC=　_________　度．

17．如图，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，则∠DOE=　_________　度．
18．如图所示，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是　_________　度．
　
19．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，则∠BOC=　_________　度．

　
20．把一张纸各按图中那样折叠后，若得到∠AOB′=70°，则∠B′OG=　_________　度．
三．解答题（共10小题，满分70分）
21．考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．
22．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．
　
23．如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．

24．一个正方体6个面分别写着1、2、3、4、5、6，根据下列摆放的三种情况，那么每个数对面上的数是几？
25．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．

情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由。
你赞同以上哪种做法？　
26．如图，AD=DB，E是BC的中点，BE=AC=2cm，求线段DE的长．
27．如图所示，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间路程为100km，A，C间路程为40km，现在A，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为xkm．
（1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和；
（2）若路程之和为102km，则车站应设在何处？
（3）若要使车站到三个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？最小值是多少？
　
28．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．
　
29．如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!
　
30．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；
（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．
（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）
　

参考答案与试题解析
一．选择题：
1．有三个点A，B，C，过其中每两个点画直线，可以画出直线（　　）
　
A．
1条
B．
2条
C．
1条或3条
D．
无法确定
考点：
直线、射线、线段．
分析：
此题考查直线的基本性质：两点确定一条直线．
解答：
解：∵三点在一条直线上能画一条直线，三点不在一条直线上能画三条直线；故选C．
点评：
注意对题目中已知条件的不同情况的分析．
　
2．由河源到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：河源﹣惠州﹣东莞﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（　　）
　
A．
3种
B．
4种
C．
6种
D．
12种
考点：
直线、射线、线段．
专题：
应用题．
分析：
由题意可知：由河源要经过3个地方，所以要制作3种车票；由惠州要经过2个地方，所以要制作2种车票；由东莞要经过1个地方，所要制作1种车票；结合上述结论，通过往返计算出答案．
解答：
解：根据分析，知
这次列车制作的火车票的总数=（3+2+1）×2=12（种）．
故选D．
点评：
本题的关键是要找出由一地到另一地的车票的数是多少．
　
3．从哈尔滨开往某市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，那么有多少种不同的票价（　　）
　
A．
3
B．
4
C．
6
D．
12
考点：
直线、射线、线段．
专题：
计算题；应用题．
分析：
由题意可知：由哈尔滨到某市要经过2个站点，则在哈尔滨车票的票价有3种．
依此类推，在第一个站点的票价有2种．
在第二个站点的票价有1种，从而求得总结果数．
解答：
解：根据分析，得
共有票价3+2+1=6（种）．
故选C．
点评：
本题的关键是要理解由一地到另一地的车票的票价都是不同的．
　
4．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（　　）
　
A．
3：4
B．
2：3
C．
3：5
D．
1：2
考点：
比较线段的长短．
分析：
根据题意，画出图形，因为CA=3AB，则CB=CA+AB=4AB，故线段CA与线段CB之比可求．
解答：
解：如上图所示
∵CA=3AB
∴CB=CA+AB=4AB
∴CA：CB=3：4．
故选A．
点评：
在未画图类问题中，正确画图很重要．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系十分关键．
　
5．某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（　　）
　
A．
A区
B．
B区
C．
C区
D．
不确定
考点：
比较线段的长短．
分析：
根据题意分别计算停靠点分别在各点是员工步行的路程和，选择最小的即可解
解答：
解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×100+10×300=4500m；
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200=5000m；
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200=12000m．
∴当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．
故选A．
点评：
此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现实中进行应用．
　
6． 4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）
　
A．
55°
B．
65°
C．
70°
D．
以上结论都不对
考点：
钟面角．
分析：
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出4点10分时针和分针分别转动角度即可求出．
解答：
解：∵4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动×30°=5°，
∴4点10分时，分针与时针的夹角是2×30°+5°=65°．
故选：B．
点评：
本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
　
7．一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角为（　　）
　
A．
30°
B．
40°
C．
60°
D．
75°
考点：
余角和补角．
专题：
计算题．
分析：
因为一个角的余角比它的补角的少20，
所以不妨设这个角为α，则它的余角为β=90°﹣∠α，补角γ=为180°﹣∠α，且β=﹣20°，化简即可得出答案．
解答：
解：设这个角为α，则它的余角为β=90°﹣∠α，补角γ=为180°﹣∠α，且β=﹣20°
即90°﹣∠α=（180°﹣∠α）﹣20°
∴2（90°﹣∠α+20°）=180°﹣∠α
∴180°﹣2∠α+40°=180°﹣∠α
∴∠α=40°．
故选B．
点评：
此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°，也考查了对题意的理解，可结合换元法来解题．
　
8．将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
A．
80°
B．
90°
C．
100°
D．
110°
考点：
角的计算．
专题：
计算题．
分析：
根据折叠前后两图形是全等形，其角不变来解决．
解答：
解：∵折叠前后两图形是全等形，
∴∠CBD=180°×=90°．
故选B．
点评：
这是一个折叠问题，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是全等形，其角不变．
　
9．如图，∠AOB=130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（　　）
　
A．
∠DOE的度数不能确定
B．
∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°
　
C．
∠BOE=2∠COD
D．
∠AOD=
考点：
角平分线的定义．
分析：
本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．
解答：
解：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD、∠EOC=∠BOE，
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=130°，
∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°．
故选B．
点评：
本题是对角平分线的性质的考查．然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
　
10．已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（　　）
　
A．
20°
B．
40°
C．
20°或40°
D．
30°或10°
考点：
角平分线的定义．
专题：
分类讨论．
分析：
根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．
解答：
解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．
故选C．
点评：
本题主要考查平分线的性质，知道∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况是解题的关键．
　
二．填空题
11．已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此推断，Sn=　　．
考点：
直线、射线、线段．
专题：
规律型．
分析：
分析数据后总结规律，再进行计算．
解答：
解：∵S2=1=，
S3=3=1+2=，
S4=6=1+2+3=，
∴Sn=1+2+3+…+（n﹣1）=．
点评：
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
　
12．一条直线上有若干个点，以任意两点为端点可以确定一条线段，线段的条数与点的个数之间的对应关系如下表所示．请你探究表内数据间的关系，根据发现的规律，则表中n=　21　．
点的个数
2
3
4
5
6
7
线段的条数
1
3
6
10
15
n
考点：
直线、射线、线段．
专题：
规律型．
分析：
根据表中数据，寻找规律，列出公式解答．
解答：
解：设线段有n个点，分成的线段有m条．有以下规律：
n个m条
2 1
3 1+2
4 1+2+3
…
n m=1+…+（n﹣1）
=
7个点把线段AB共分成=21条．
点评：
本题体现了“具体﹣﹣﹣抽象﹣﹣﹣﹣具体”的思维探索过程，探索规律、运用规律，有利于培养学生健全的思维能力．
　
13．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=　5或11　cm．
考点：
两点间的距离．
专题：
分类讨论．
分析：
点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．因此分类讨论计算．
解答：
解：根据题意，点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．
若点C在线段BC上，则AC=AB﹣BC=8﹣3=5（cm）；
若点C在BC的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．
故答案为 5或11．
点评：
此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解．
　
14．已知AB=8cm，若点C在AB的延长线上，且B为AC的一个三等分点，则AC=　12或24　cm．
考点：
比较线段的长短．
专题：
分类讨论．
分析：
已知AB的长度，根据B为AC的一个三等分点，因B点不确定，要分类讨论．
解答：
解：本题要分两种情况讨论：
①如果，BC占线段AC的三分之一，则AC等于12cm；
②如果AB占线段AC的三分之一，AC等于24cm．
∴AC=12或24cm．
点评：
要分类讨论，以确定AC的长度．
　
15．在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角　66　个．
考点：
角的概念．
专题：
规律型．
分析：
分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．
解答：
解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；
在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），
∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）=66．
点评：
从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是×（n+1）×（n+2）．
　
16．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，如果∠AOD=130°，那么∠BOC=　50　度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点：
角的计算．
专题：
计算题．
分析：
根据图示确定∠BOC与两个直角的关系，它等于两直角的和减去∠AOD的度数．
解答：
解：∠BOC=∠COD+∠AOB﹣∠AOD=90°+90°﹣130°=50°．
故填50．
点评：
首先确定这几个角之间的关系，来求出∠BOD的度数．
　
17．如图，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，则∠DOE=　90　度．
考点：
角平分线的定义．
专题：
计算题．
分析：
利用角平分线的性质和平角的定义计算．
解答：
解：∵OD是∠AOC的平分线∴∠AOD=∠DOC
∵OE是∠COB的平分线∴∠COE=∠EOB
∴∠AOD+∠EOB=∠DOC+∠COE
∵∠AOD+∠DOC+∠COE+∠EOB=180°
∴2（∠DOC+∠COE）=180°
即∠DOE=90°．
故填90．
点评：
熟记平角的特点与角平分线的性质是解决此题的关键．
18．如图所示，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是　60　度．　　　　　　　
考点：
角的计算．
专题：
计算题．
分析：
本题是平角的定义及角的应用的考查．因为在截取之前的角是平角180°，截完弯折后左右两边重合，所组成的新角是120°，所以缺口角易求．
解答：
解：因为缺口角加120°，在截取之前的角是平角180°，所以缺口角等于180°﹣120°=60度．故答案为60．
点评：
本题是实际应用题，截取弯成后的角与缺口角是互补的，理解这个问题是解题的关键．
19．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，则∠BOC=　34　度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点：
角的计算．
专题：
计算题．
分析：
根据周角的定义，1周角=360°，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°则∠BOC=360°﹣2×90°﹣146°=34°．
解答：
解：∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°
则∠BOC=360°﹣2×90°﹣146°=34°
则∠BOC=34度．
故答案为34．
点评：
本题主要考查周角的概念．根据已知条件求未知角的度数，是一个比较简单的问题．
20．把一张纸各按图中那样折叠后，若得到∠AOB′=70°，则∠B′OG=　55　度．
考点：
角的计算．
专题：
计算题．
分析：
根据题意∠B′OG=∠BOG，根据平角和角平分线的定义即可求得．
解答：
解：由题意可得∠B′OG=∠BOG，
则∠B′OG=（180﹣∠AOB′）÷2=55°．
故答案为55．
点评：
已知折叠问题就是已知图形全等，因而得到相等的角．
　
三．解答题
21．考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．
　　　　　　　　　　
　　　　　
考点：
方向角．
专题：
作图题．
分析：
考查方位角的相关知识，找出中心点，根据题意画出图形．
解答：
解：∵∠1=45°，∠2=60°，
∴∠AOB=180°﹣（45°+60°）=75°．
点评：
掌握好方向角的基本知识，找清楚角度画出图形．
　
22．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．
考点：
余角和补角．
专题：
计算题．
分析：
利用题中“一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°”作为相等关系列方程求解即可．
解答：
解：设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）=10°，
解得x=50°．
故答案为50°．
点评：
主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
　
23．如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．
　　　　　　　　　
考点：
专题：正方体相对两个面上的文字；二元一次方程的解．
分析：
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．3与a是相对，5﹣x与y+1相对，y与2x﹣5相对．
解答：
解：根据题意，得（4分）
解方程组，得x=3，y=1．（6分）
点评：
注意运用空间想象能力，找出正方体的每个面相对的面
　
24．一个正方体6个面分别写着1、2、3、4、5、6，根据下列摆放的三种情况，那么每个数对面上的数是几？
考点：
专题：正方体相对两个面上的文字．
分析：
根据正方体的特征知，相邻的面一定不是对面，所以面“1”与面“4”相对，面“2”与面“5”相对，“3”与面“6”相对．
解答：
解：根据正方体的特征知，相邻的面一定不是对面，所以面“1”与面“4”相对，面“2”与面“5”相对，“3”与面“6”相对．1对4，2对5，3对6
点评：
注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
　
25．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
　　　　　
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
你赞同以上哪种做法？
考点：
线段的性质：两点之间线段最短．
专题：
作图题；方案型．
分析：
因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．
解答：
解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
情景二：（需画出图形，并标明P点位置）
理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
赞同情景二中运用知识的做法．
点评：
此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．
　
26．如图，AD=DB，E是BC的中点，BE=AC=2cm，求线段DE的长．
　
考点：
比较线段的长短．
专题：
数形结合．
分析：
根据题目已知条件结合图形可知，要求DE的长可以用AC长减去AD长再减去EC长或者用DB长加上BE长．
解答：
解：由于BE=AC=2cm，则AC=10cm，
∵E是BC的中点，∴BE=EC=2cm，BC=2BE=2×2=4cm，
则AB=AC﹣BC=10﹣4=6cm，
又∵AD=DB，则AB=AD+DB=AD+2AD=3AD=6cm，AD=2cm，DB=4cm，
所以，DE=AC﹣AD﹣EC=10﹣2﹣2=6cm，或DE=DB+BE=4+2=6cm．
故答案为6cm．
点评：
本题考查求线段及线段中点的知识，解这列题要结合图形根据题目所给的条件，寻找所求与已知线段之间的关系，最后求解．
　
27．如图所示，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间路程为100km，A，C间路程为40km，现在A，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为xkm．
（1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和；
（2）若路程之和为102km，则车站应设在何处？
（3）若要使车站到三个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？最小值是多少？
考点：
比较线段的长短．
专题：
计算题．
分析：
（1）由图易得AP=AC+PC，BP=100﹣AP；
（2）让（1）所求得的代数式的值为102，求得x即可；
（3）路程和最小，那么x应最小，此时为0，P与C重合．
解答：
解：（1）路程之和为PA+PC+PB=40+x+100﹣（40+x）+x=（100+x）km；
（2）100+x=102，x=2，车站在C两侧2km处；
（3）当x=0时，x+100=100，小站建在C处路程和最小，路程和为100km．
点评：
读懂题意，找到所求量的等量关系是解决本题的关键．
　
28．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．

考点：
角平分线的定义．
分析：
此题可以设∠AOB=x，∠BOC=2x，再进一步表示∠AOC=3x，根据角平分线的概念表示∠AOD，最后根据已知角的度数列方程即可计算．
解答：
解：设∠AOB=x，∠BOC=2x．则∠AOC=3x．
又OD平分∠AOC，
∴∠AOD=．
∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=﹣x=14°
∴x=28°
即∠AOB=28°．
故答案为28°．
点评：
此类题设恰当的未知数，根据已知条件进一步表示出相关的角，列方程计算较为简便．
　
29．如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!
考点：
角平分线的定义．
分析：
判断OA，OC是否成一条直线，只要求∠AOC，看是否是180°．
解答：
解：∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，且∠EOF是直角，
∴∠AOE=∠BOE，∠COF=∠BOF，∠EOF=90°，
∴（∠AOE+∠EOB）+（∠COF+∠BOF）=2×90°=180°，
即∠AOB+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°，
∴AO、OC成一直线（即A，O，C三点共线）．
点评：
判断A，O，C三点共线的方法就是转化为求∠AOC的度数．
　
30．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；
（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．
（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）
考点：
角的计算．
专题：
分类讨论．
分析：
（1）是角的多解问题，求解时因为位置不同，可分情况讨论．
（2）直线OA、OB将平面分成四个部分，分别考虑射线OC落在这四个部分的情况，
解答：
解：（1）当射线OA在∠COB内部时，
因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，
所以∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=120°﹣70°=50°
当射线OA在∠COB外部时，
因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，
所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=120°+70°=190°，
而求解的只是小于平角的角，
所以∠AOC=∠=360°﹣190°=170°
所以∠AOC等于50°或170°．
（2）根据题意画出图形得：
∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，
∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=80°，
解得x=10°
∴∠AOC=30°，∠BOC=50°；
∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，
∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=280°，
解得x=35°
∴∠AOC=105°，∠BOC=175°．
点评：
本题的多解情况可依据不同情况求解，在计算中我们所求的角一般都是小于平角的角．