等式性质与不等式性质
最新课程标准 1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念． 3．掌握不等式的性质． 学科核心素养 1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象) 2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算) 3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理) 4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)
第1课时 不等关系与不等式
教材要点
要点一 不等式与不等关系
1．不等式的定义所含的两个要点
(1)不等符号________________或________．
(2)所表示的关系是________________．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
状元随笔 不等式a≥b或a≤b的含义
(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b\”，等价于“a不小于b\”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b\”，等价于“a不大于b\”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
要点二 比较两个实数a，b大小的依据
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0 a________b；
a－b＝0 a________b；
a－b＜0 a________b.
状元随笔 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
要点三 重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2________2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( )
(2)若＞1，则a＞b.( )
(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.( )
(4)因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.( )
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )
A．v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．
题型1 用不等式(组)表示不等关系
例1 (1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．
(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？
方法归纳
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1 (1) 中国“神舟七号\”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．
(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物 甲 乙
维生素A/(单位/kg) 600 700
维生素B/(单位/kg) 800 400
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用不等式表示x，y所满足的不等关系．
题型2 实数(式)的比较大小
例2 已知a＞0，试比较a与的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练2 (1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小．
题型3 比较大小在实际问题中的应用
例3 2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠\”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
方法归纳
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
跟踪训练3 甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
课堂十分钟
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000\”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y\”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是( )
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )
A. 3或4 B. 4或5
C. 3或5 D. 4或6
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．
5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
2．1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
要点一
1．(1)＜、≤、＞、≥ ≠ (2)不等关系
要点二
1．正数 等于0 负数
2．> ＝ <
要点三
≥
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：x2＋2＞3x
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.
(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
答案：(1)72＋12x＞408 (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有
即
答案：(1)7.9≤v＜11.2 (2)见解析
例2 解析：因为a－＝
＝，a＞0
所以当a＞1时，＞0，
有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当a＜a＜1时，＜0，
有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；
当0＜a＜1时，a＜.
跟踪训练2 解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p
a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
答案：(1)C (2)见解析
例3 解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．
由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2，
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
跟踪训练3 解析：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝.
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝＝，
因为＝＝＞0，所以＞.
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
[课堂十分钟]
1．答案：CD
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：x5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则＜.
(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，
易知淡糖水浓度为，浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，则＜＜.
9第2课时 等式的性质与不等式的性质
教材要点
要点一 等式的性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a
性质2 如果a＝b，b＝c，那么________
性质3 如果a＝b，那么a±c＝________
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝________
要点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b ________ 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c ________ 不可逆
3 可加性 a＞b ____________ 可逆
4 可乘性 c的符号
5_ 同向可加性 同向
6 同向同正可乘性 同向
7 可乘方性 a＞b＞0 ______ (n∈N，n≥2) 同正
状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b＞c a＞c －b.性质3是可逆性的，即a＞b a＋c＞b＋c.
(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”显然成立”的思维定势．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.( )
(2)a＞b ac2＞bc2.( )
(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )
(4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.( )
2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是( )
A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是( )
A．ac＞bc B．a－d＞b－c
C．＜ D．a3＞b3
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b＞0，那么________；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么________.
题型1 利用不等式的性质判断命题的真假
例1 (1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．ac2＞bc2 B．＜
C．a－c＞b－c D．＞
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1 (1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是( )
A．＞a＞a2 B．a＞a2＞
C．a2＞＞a D．＞a2＞a
(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c＞0
C．ac＜0 D．cb2＜ab2
题型2 证明不等式
例2 若bc－ad≥0，bd＞0，求证：.
方法归纳
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2 (1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求证：＜.
题型3 利用不等式的性质求范围
例3 已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3 已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
易错辨析 多次使用同向不等式相加致误
例4 已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围．
解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，
－12＜3(a－b)＜6，
所以－17＜2a－4b＜7.
易错警示
易错原因 错解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ ①＋②再除以2得－＜a＜ ①＋③再除以2得－＜b＜ 所以－23＜2a－4b＜13 错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2\”与“－＜a＜，－＜b＜\”并不等价． 纠错心得 同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法．
课堂十分钟
1．与a＞b等价的不等式是( )
A．|a|＞|b| B．a2＞b2
C．＞1 D．a3＞b3
2．下列结论正确的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B. 若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D. 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d
3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是( )
A．＞ B. ＜
C．ac2＞bc2 D. a－c＞b－c
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________．
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
第2课时 等式的性质与不等式的性质
新知初探·课前预习
要点一
a＝c b±c
要点二
bc a＋c>b＋c ac>bc acb＋d ac>bd an>bn
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．答案：B
3．答案：BD
4．答案：(1)＜ (2)＜
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若>，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则>(对)，若a3>b3且ab<0，则；D中，若a2>b2，且ab>0，则<(错)，若则D不成立．故选C.
(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，由于>0，又a>b，故>，故D正确．
答案：(1)C (2)CD
跟踪训练1 解析：(1)∵0(2)因为实数a，b，c满足c所以a>0，c<0，
由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确；
由b0，故B正确；
由a>c，ac<0，得ac<0，故C正确；
由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误；
故选ABC.
答案：(1)A (2)ABC
例2 证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得.
(法二)∵＝＝≤0
∴.
跟踪训练2 证明：(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
例3 解析：(1)0≤|a|≤3；
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟踪训练3 解析：(1)∵1(2)由(1)知1[课堂十分钟]
1．答案：D
2．答案：D
3．答案：ABD
4．答案：y<－y5．解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则
解得λ1＝，λ2＝－.
又－(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
8基本不等式
最新课程标准 1.掌握基本不等式(a＞0，b＞0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 学科核心素养 1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理) 2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算)
第1课时 基本不等式
教材要点
要点一 基本不等式
如果a，b∈R＋，那么________，当且仅当________时，等号成立．其中叫做正数a，b的____________，叫做正数a，b的____________．所以两个正数的________平均数不小于它们的________平均数．
状元随笔 基本不等式与不等式a2＋b2≥2ab的异同
a2＋b2≥2ab
适用 范围 a，b∈R a＞0，b＞0
文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
“＝”成 立的条件 a＝b a＝b
要点二 基本不等式与最值
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得____________．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得____________．
状元随笔 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．
①一正：各项必须为正．
②二定：各项之和或各项之积为定值．
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当a，b同号时，≥2.( )
(2)函数y＝x＋的最小值为2.( )
(3)6和8的几何平均数为2.( )
(4)不等式a2＋b2≥2ab与有相同的适用范围．( )
2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C．＞ D．≥2
3．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a
C． D．3
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
题型1 对基本不等式的理解
例1 (1)(多选)下列条件中能使≥2成立的条件是( )
A．ab＞0 B．ab＜0
C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
(2)给出下列命题：
①若x∈R，则x＋≥2；
②若a＜0，b＜0，则ab＋≥2；
③不等式≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________．
方法归纳
对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：①定理成立的条件是a，b都是正数．②“当且仅当\”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝ a＝b.
跟踪训练1 (1)下列不等式一定成立的是( )
A． B．≤－
C．x＋≥2 D．x2＋≥2
(2)下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2 ＝2.
②若x＜0，则x＋＝－≤－2 ＝－4.
③若a，b∈R，则≥2 ＝2.
题型2 利用基本不等式比较大小
例2 若a≥b＞0，试比较a, ，b的大小．
方法归纳
一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号．
跟踪训练2 (1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
(2)已知a＞b＞c，则与的大小关系是________________.
题型3 利用基本不等式求最值
角度1 无条件求最值
例3 (1)若0＜x＜，则y＝x(1－2x)的最大值是( )
A． B．
C．1 D．4
(2)已知x＞1，求y＝的最小值．
角度2 有条件求最值
例4 (1)若a＞0，b＞0，a＋3b＝1，则的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．3
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是____________．
方法归纳
应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．
跟踪训练3 (1)已知a＞0，b＞0，且＝4，则4a＋6b的最小值是( )
A．4＋ B．4＋2
C．8＋2 D．4＋
(2)已知x＜，则2x＋的最大值是________．
易错辨析 多次使用基本不等式求最值时忽略
等号同时成立的条件
例5 已知实数m＞0，n＞0，且满足2m＋n＝2，则的最小值是________．
解析：∵m＞0，n＞0，2m＋n＝2，∴m＋＝1.∴＝·＝5＋≥5＋2＝9.当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．
答案：9
易错警示
易错原因 纠错心得
错解：∵m＞0，n＞0， ∴2＝2m＋n≥2， ∴mn≤，∴≥2， ∴≥2≥2＝8 故的最小值为8. 上述求解过程中使用了两次基本不等式，但这两次取等号的条件不能同时成立，所以等号取不到． 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取到等号的条件成立．
课堂十分钟
1．关于命题p： a，b∈R，ab≤，下列说法正确的是( )
A． p： a，b∈R，ab≥
B．不能判断p的真假
C．p是假命题
D．p是真命题
2．下列命题中正确的是( )
A．当a，b∈R时，≥2＝2
B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4
C．当a＞4时，a＋≥2＝6
D．当a＞0，b＞0时，
3．若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为( )
A． B. 2
C. 5 D. 4
4．若不等式≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝\”号．
5．已知t＞0，求y＝的最小值．
2．2 基本不等式
第1课时 基本不等式
新知初探·课前预习
要点一
≤ a＝b 算术平均数 几何平均数 算术 几何
要点二
最大值S2 最小值2
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．答案：D
3．答案：D
4．答案：(1)2 (2)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)要使≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故选项A，C，D都符合．
(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．
答案：(1)ACD (2)②
跟踪训练1 解析：(1)当a，b，x都为负数时，A、C选项不正确．当a，b为正数时，B选项不正确．根据基本不等式，有x2＋≥2＝2.(当且仅当x2＝时取等号)．故选D.
(2)①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件；②符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”，故②正确．
答案：(1)D (2)②
例2 解析：∵a≥b>0，∴ ≤ ＝a，∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴.
又a>0，b>0，则 ≥ ＝.
由a>0，b>0，得，
∵≥ ，
∴，
∵－b＝≥0
∴≥b
∴a≥≥b.
跟踪训练2 解析：(1)∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.
(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．
答案：(1)D (2)
例3 解析：(1)∵00，
∴y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号．(也可用二次函数配方法求解．)
(2)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，
所以y＝＝＝＝4t＋≥2 ＝4.
当且仅当4t＝，即t＝，x＝时取等号．
所以y＝的最小值为4.
答案：(1)B (2)4
例4 解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＝·(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b时等号成立，所以的最小值为4.
(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋2＝5
当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号．
答案：(1)C (2)5
跟踪训练3 解析：(1)4a＋6b＝(4a＋6b)＝＋4≥4＋2，当且仅当a＝，b＝时取“＝”．故选B.
(2)∵x<，∴1－2x>0，
∵2x＋＝2x－1＋＋1＝－＋1
∵1－2x>0，
∴1－2x＋≥2＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)．
∴2x＋≤－2＋1＝－1.
答案：(1)B (2)－1
[课堂十分钟]
1．答案：C
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：0
5．解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t＞0)的最小值是－2.
9第2课时 基本不等式的应用
题型1 利用基本不等式解决恒成立问题
例1 已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9
C．8 D．7
方法归纳
恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
跟踪训练1 已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式≥m恒成立的实数m的范围是________．
题型2 利用基本不等式证明不等式
例2 已知a，b，c＞0，求证：≥a＋b＋c.
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
题型3 利用基本不等式解决实际问题
例3 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3－(其中0≤x≤2)．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
方法归纳
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练3 2016年11月3日20点43分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
(消耗的A材料＝生产时间×每小时消耗的A材料．)
课堂十分钟
1．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|a≥3} D．{a|a≤3}
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
3．设a＞0，b＞0, a＋4b＝1，则使不等式t≤ 恒成立的实数t的取值范围是( )
A．t≤8 B．t≥8
C．t≤9 D．t≥9
4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
5．已知a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1.
求证：＜.
第2课时 基本不等式的应用
题型探究·课堂解透
例1 解析：∵a＞0，b＞0
∴等价于(2a＋b)≥m
又＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
∴m≤9.故选B.
答案：B
跟踪训练1 解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴＝·(x＋y)＝＝(5＋4)＝.当＝即x＝，y＝时取等号，∴的最小值是.∴m≤.
答案：m≤
例2 证明：∵a，b，c，均大于0，
∴＋b≥2＝2a.
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b.
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴≥a＋b＋c.
跟踪训练2 证明：∵a＋b＋c＝1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．
又a，b，c都是正实数，
∴>0，>0，>0，
∴≥abc，
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
例3 解析：(1)当促销费用为x万元时，
付出的成本是：x＋10＋2
销售收入是：，
故y＝
整理可得y＝16－，0≤x≤2.
(2)根据(1)中所求，
y＝16－≤16－
＝16－3＝13，当且仅当x＝1时取得最大值．
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元．
跟踪训练3 解析：(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1.
生产m千克该产品需要的时间是.
所以y＝(x2＋9)＝m，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为：
y＝1 000≥1 000×2＝6 000
(当且仅当x＝，即x＝3时等号成立)
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
[课堂十分钟]
1．答案：D
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：36
5．证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以≥2＝2，
≥2＝2，
≥2＝2，
三个不等式左、右两边分别相加，得
2≥2()，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
又因为a，b，c不全相等，
所以<.
6二次函数与一元二次方程、不等式
最新课程标准 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 学科核心素养 1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象) 2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算) 3．能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学建模) 4．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理)
第1课时 一元二次不等式的解法
教材要点
要点一 一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
状元随笔 一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
要点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________ {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ________
状元随笔 一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x －p)(x －q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x －p)(x －q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
要点三 二次函数的零点
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的________，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的________ 方程ax2＋bx＋c＝0的实数解 函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A．B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|x＞1}D．
3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是( )
A．1B．2
C．3D．4
4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________．
题型1 不含参数的一元二次不等式的解法
例1 解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；(2)4x2－4x＋1≤0.
方法归纳
解不含参数的一元二次不等式的步骤
1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．
5．根据图象写出不等式的解集．
记忆口诀：
设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．
跟踪训练1 (1)不等式＜0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．
C．{x|x＜－2或x＞1}D．
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为( )
A．{x|x＞1或x＜－4}B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1}D．{x|x＜－1或x＞4}
题型2 解含参数的一元二次不等式
角度1 对判别式“Δ”进行讨论
例2 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
角度2 对根的大小进行讨论
例3 解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
角度3 对二次项系数进行讨论
例4 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
方法归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤
跟踪训练2 解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.
题型三 三个“二次”之间的关系
例5 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练3 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
易错辨析 忽视二次项系数致误
例6 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为( )
A．{x|－2＜x＜1}B．{x|x＜－2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|0＜x＜3}
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－＝－1＋2＝1，＝－2，即b＝－a，c＝－2a，
代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0，
因为a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视a的范围致误，易错选C. 根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．
课堂十分钟
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则＝( )
A．{x|－4＜x＜3}B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
2．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为( )
A．B．
C．D．
3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＜5a或x＞－a}B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}
4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．
5.已知函数y＝x2－(a＋b)x＋2a.
(1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
(2)当b＝2时，解关于x的不等式y＞0.
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
新知初探·课前预习
要点一
一个 2
要点二
{x|xx2} {x|x1要点三
零点 零点 横坐标
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．答案：A
3．答案：C
4．答案：R
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)不等式可化为3x2－6x＋2＜0.对应方程3x2－6x＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有两个实数根．解得x1＝1－，x2＝1＋.画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象(如图①)，结合图象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是.所以不等式＋6x－2＞0的解集是.
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)，结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是.
跟踪训练1 解析：(1)因为<0，
所以对应的方程为(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以不等式<0的解集为，
故选B.
(2)原不等式变为x2＋3x－4>0，因式分解得：(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故原不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．故选A.
答案：(1)B (2)A
例2 解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，
∴x＜x1或x＞x2.
综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
例3 解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a＜－1＋a，
即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．
例4 解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a＜－时，解不等式得－＜x＜2，
即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，
即原不等式的解集为 ；
③当－＜a＜0时，
解不等式得2＜x＜－，
即原不等式的解集为；
④当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2
即原不等式的解集为.
跟踪训练2 解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
例5 解析：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
跟踪训练3 解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2[课堂十分钟]
1．答案：C
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：k≤2或k≥4
5．解析：(1)∵y<0的解集为{x|1由韦达定理知：，解得：.
(2)当b＝2时，y＝x2－(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)>0，
当a<2时，y>0的解集为{x|x2}；
当a＝2时，y>0的解集为{x|x<2或x>2}；
当a>2时，y>0的解集为{x|x<2或x>a}．
12第2课时 一元二次不等式的应用
简单分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1.
方法归纳
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
跟踪训练1 (1)不等式≥0的解集为( )
A．{x|－6≤x≤1}B．{x|x≥1或x≤－6}
C．{x|－6≤x＜1}D．{x|x＞1或x≤－6}
(2)不等式≤2的解集为________．
不等式恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
例2 一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．{k|－3＜k≤0}B．{k|－3≤k＜0}
C．{k|－3≤k≤0}D．{k|－3＜k＜0}
角度2 在给定范围内的恒成立问题
例3 设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
方法归纳
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
(1)在R上恒成立问题．
(2)在给定区间上的恒成立问题．
方法一：①a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
②a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
方法二：分离参数，转化为函数的最值问题．
跟踪训练2 (1)设a为常数， x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是( )
A．{x|0＜a＜4}B．{x|0≤a＜4}
C．{x|a＞0}D．{x|a＜4}
(2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是________．
一元二次不等式的实际应用
例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为p万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入y满足y＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义\”
跟踪训练3 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解分式不等式时忽略“分母不等于0\”
致误
例5 不等式≥0的解集为( )
A．{x|x≥－1}B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥－1且x≠1}D．{x|x≥1或x≤－1}
解析：∵(x－1)2≥0
∴原不等式等价于
解得x≥－1且x≠1.故选C.
答案：C
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了(x－1)2≠0，只认为(x－1)2≥0，原不等式等价于x＋1≥0，解得x≥－1，错选A. 解分式不等式时要先移项再通分，不要去分母，使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式，分母都不为零”．
课堂十分钟
1．不等式≤0的解集为( )
A．B．
C．∪D．∪
2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x＜2}D．{x|0≤x≤1}
3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A．100台 B．120台C．150台 D．180台
4．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)ax2＋bx＋3＞0的解集为R，求b的取值范围．
一元二次方程根的分布
研究一元二次方程根的分布时，可通过作图分析根的取值情况，注意数形结合思想的应用．
二次方程根的分布问题既可以转化为方程的根，借助判别式和根与系数的关系解决，也可以转化为二次函数，利用图象列关于参数的不等式(组)解决，但无论哪种转化，都要注意转化的等价性．
例1 已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．
解析：解法一 设y＝x2＋2mx－m＋12，则
即
∴－＜m≤－4.
故实数m的取值范围为.
解法二 设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2.
由题意知即
解得－＜m≤－4.
∴实数m的取值范围为{m|－＜m≤－4}．
例2 关于x的方程(a＋1)x2＋(4a＋2)x＋1－3a＝0有两个异号的实根，且负根的绝对值较大，求实数a的取值范围．
解析：设方程的两个根分别为x1，x2，
由题意知，实数a满足条件：
即解得a＜－1或a＞.
第2课时 一元二次不等式的应用
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)原不等式可化为(x＋1)(x－1)<0
∴－1故原不等式的解集为{x|－1(2)原不等式可化为≤0
∴
∴即－3故原不等式的解集为
(3)原不等式可化为－1>0.
∴>0，∴>0，
则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
跟踪训练1 解析：(1)原不等式变为：≤0 (x＋6)(x－1)≤0且x－1≠0.解得－6≤x<1，故原不等式的解集为{x|－6≤x<1}．故选C.
(2)移项得－2≤0，即≥0，
此不等式等价于(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0，
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
答案：(1)C (2){x|x<2或x≥5}
例2 解析：∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有
答案：D
例3 解析：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为.
∴只需m<即可．
∴m的取值范围为.
跟踪训练2 解析：(1)①当a＝0时，1>0恒成立，即a＝0时满足题意；
②当a≠0时，则有解得0综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}.故选B.
(2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，
则
解得－答案：(1)B (2)
例4 解析：(1)依题意得p＝x＋3，设利润函数为z，则
z＝y－p，所以
z＝
要使工厂有盈利，则有z>0，因为
z>0
或
或
或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．
(2)当3＜x≤7时，z＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，z有最大值4.5，而当x＞7时，z＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
跟踪训练3 解析：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)
依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
[课堂十分钟]
1．答案：C
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集为{x|－3则(1－a)x2－4x＋6＝0的根为－3，1，
∴＝－3×1，解得a＝3，
(1)代入a＝3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>，
即不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为；
(2)代入a＝3，不等式ax2＋bx＋3>0为3x2＋bx＋3>0，
∵3x2＋bx＋3>0的解集为R，
∴Δ＝b2－4×3×3<0，
解得－68专项培优②章末复习课
考点一 不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1 (1)(多选)下列说法错误的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．
跟踪训练1 (1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是( )
A．d－a＜c－bB．
C．bc＜ad D．
(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
考点二 一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2 (1)若关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a∈R)的解集为{x|x＜1或x＞b}(b∈R)，求a，b的值；
(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R)．
跟踪训练2 某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是( )
A．{x|－2＜x＜－1} B.
C．{x|1＜x＜3} D. {x|2＜x＜3}
考点三 基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3 (1)设x＞0，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．0 B．
C．1 D．
(2)设a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
跟踪训练3 已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是________.
专项培优② 章末复习课
考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
(2)因为－2所以－6因为－2因为2答案：(1)ABD (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad0，D正确．故选D.
(2)a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，
∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.
∴a2b＋b2c＋c2a答案：(1)D (2)见解析
例2 解析：(1)由题意可知方程ax2－3x＋2＝0的两个不相等的实根分别为x1＝1，x2＝b，于是有解得
(2)原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，
当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
②若<－1，即－3③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 .
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当－3当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当a<－3时，原不等式的解集为.
跟踪训练2 解析：由题意，实数x的取值为{x|－2所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足，
将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2；
将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0；
所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0，
解得答案：B
例3 解析：(1)y＝x＋＝x＋＝－2.
又由x>0，则有y＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝x＋的最小值为0.故选A.
(2)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)
＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．∴的最小值为8.
答案：(1)A (2)8
跟踪训练3 解析：＝＝(x＋3y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当即时取“＝”号．
答案：4＋2
5