2021-2022学年人教版数学八年级下册18.2.1矩形（二）课后练习（Word版含答案）

矩形（二）
一、单选题
1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．OA＝OC B．AB＝CD C．∠BCD＝90° D．AD//BC
3．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5
4．如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（　　）
A． B． C． D．
5．为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．将一个含30 °的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为（　　）
A．20° B．30° C．15° D．5°
9．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
10．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（　　）
A．5 cm B．6cm C．7cm D．8cm
11．如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（　　）
A． B．2 C． D．2
二、填空题
13．如图，已知四边形是平行四边形，再增加一个条件____即可判定四边形是矩形．（不添加其他辅助线）
14．已知矩形两个邻边的长分别是和，则该矩形的两条对角线所夹的锐角是________。
15．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝6，过点D作DE⊥CD于点D，连接AE，若DE＝CD，则△ADE的面积是___________．
16．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为_____．
17．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC于点E，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，点P从点A出发，沿边AD以1 cm/s的速度向点D运动，与此同时，点Q从点C出发，沿边CB以3 cm/s的速度向点B运动．当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．连接PQ，过点P作PF⊥BC于点F，则当运动到第__________s时，△DEC≌△PFQ．
三、解答题
18．已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形．
(2)如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形．
19．如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
(1)求证：．
(2)四边形是矩形．
20．如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点．
(1)求证：DF//AC；
(2)连接、，若，恰好是的中点，求证：四边形是矩形．
21．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，,，过点作y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上．
(1)求矩形OABC的对角线的长；
(2)求点B的坐标；
(3)求的面积．
22．如图，四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)求证：；
(3)若点，，求DF的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
解：∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
故选择D．
2．B
解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵AO＝OC，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
D、∵AD//BC，∠BAD＝90°,BO＝DO，
∴∠CBO＝∠ADO，
∵∠COB＝∠DOA，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故选：B．
3．C
解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
即，
故选：C．
4．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵2OM=AC，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：D．
5．B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
AB与BC不一定相等，
∴∠BCA不一定45°，故①错误；
AC的长度变小，故②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，故③正确；
矩形对角线不垂直，故④错误；
综上，正确的有②③，共2个，
故选：B．
6．B
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB ∠CAE＝45° 15°＝30°，
∴∠BAO＝90° 30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，
又∵ AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
在Rt△ABC中
∵∠ACB=30°
∴BC＝AB，故③错误；
∵∠OBE＝∠ABC ∠ABO＝90° 60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180° 30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴，故⑤正确；
故选：B．
7．B
解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴BE=BA．
∵∠CAE=15°，∠BAE=45°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°．
故选：B．
8．C
解：∵BC=2AB=2BM，
∴AB=BM，
∴∠AMB=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠FMC=45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFM=∠FMC=45°，
∵∠MFE=60°，
∴∠AFE=15°．
故选C．
9．D
解：如图，过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度保持不变，
故选：D．
10．B
解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（2AE+4）=32，
整理得：2AE+4=16
解得：AE=6（cm）．
故选择：B
11．D
解：连接AE，
∵，
∴，
故选：D．
．
12．A
解：，，
矩形的面积为8，，
，
对角线，交于点，
的面积为2，
，，
，即，
，
，
，
故选：A．
13．（答案不唯一）
解：四边形是平行四边形，
当时，平行四边形为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
14．
解：
如图所示，
∵AD=BC=1，AB=CD=，
∴∠1=∠2==，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠BOC=∠1+∠2=30°+30°=60°.
故答案为60°.
15．
解：如图，过点D作DF⊥BC于F，过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠B=∠DFB=∠BAD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD，
∵AD=3，BC=6，
∴CF=BC-AD=6-3=3，
∵DE⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDG=∠EDG+∠CDG=90°，
∴∠CDF=∠EDG，
在△CDF和△EDG中，
∵∠CDF＝∠EDG， ∠CFD＝∠G＝90°， CD＝DE ，
∴△CDF≌△EDG（AAS），
∴EG=CF=3，
∴△ADE的面积=AD EG=×3×3=．
故答案为：．
16．16
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故答案为：16．
17．6或7
解：由题意可得，四边形、为矩形，，、
∴，
∵△DEC≌△PFQ
∴
当在点的右侧时，
∴，解得
当在点的左侧时，
∴，解得
故答案为：或
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB．
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形．
(2)
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AF平分∠MAC，
∴∠MAF＝∠CAF．
∵AF∥BC，
∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
(2)
解：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴．
，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴四边形是矩形．
20．(1)见解析
(2)见解析
(1)
证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
(2)
证明：如图所示：
由（1）得：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形．
21．(1)10
(2)
(3)
(1)
解：∵四边形OABC是矩形，
∴，．
在中，由勾股定理可知：
．
(2)
解：∵轴，
∴在中，由勾股定理可知：
．
∴点B的坐标为．
(3)
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理可知：，代入数据：
得到：，
解得．
∴，
∴．
22．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
(1)
证明：∵，
∴∠D+∠C=180°，
∵，
∴，
∴四边形ABCD为矩形；
(2)
证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴△ABE≌△GBE，
∴∠BGE=∠A，AE=GE，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
∵点E是AD的中点，
∴EA=ED，
∴EG=ED，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；
∴；
(3)
解：∵四边形ABCD为矩形，△ABE≌△GBE，
∴∠C=90°，BG=CD=AB=6，
∵；
∴，，
∴在Rt△BCF中，根据勾股定理，
，
即，
解得．
即．
答案第1页，共2页