25．6三角形的内切圆
一、课前作业——基础预练
知识点：三角形内切圆及性质
1． 叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做 ，这个三角形叫做圆的 ．
2．三角形的内心到三角形 的距离相等．
二、随堂作业——基础达标
1．如图1所示，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图2所示，⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F为三个切点，若，则的度数为 （ ）．
A． B．
C． D．
3．（2011?遵义）如图3，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 ．
4．已知△ABC的三边长分别为，面积为，求△ABC内径圆的半长．
5．如图4，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆半径R=3，ID=2，AD=，DE=，当点A在优弧上运动时，求函数与自变量的关系式．
6．⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，内切圆半径为，，AB、BC、AC的长分别为，求证：．
7．如图5所示，在Rt△ABC中，，AC=3cm，BC=4cm，内切圆与三边相交于D、E、F．
（1）求△ABC内切圆半径；
（2）若移动圆心O的位置，使⊙O保持与ABC的边AC、BC都相切，求半径的取值范围；当⊙O的半径为cm时，求圆心O的位置．
三、课后作业——基础拓展
1．（2012?玉林）如图6，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧 （不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）
A． B．
C． D．
2．等边三角形的外接圆半径、内切圆半径及三角形的高的比是（ ）．
A．2：1：3 B．3：2：4
C．3：2：3 D．1：2：2
3．如图7所示，⊙0是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则∠DEF等于 （ ）．
A． B．
C． D．
4．等边三角形的边长为，它的内切圆与外接圆组成的圆环面积是 ．
5．等腰直角三角形的外接圆与内切圆半径之比为 ．
6．如图8所示，在△ABC中，O是内心，的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：BD=CD=OD．
7．（2011?大庆）如图9，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延长C0交斜边AB于点G．
（1）求⊙0的半径长；
（2）求线段DG的长．
8．如图10所示，已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线相交于点O，且AO、BO的长分别是方程的两个根，求的值及菱形内切圆的面积．
四、2年中考1年模拟——基础提升
1．（2011?西藏）如图11．点O是△ABC的内心，若∠ACB=70°，则∠A0B=（ ）
A．140° B．135°
C．125° D．110°
2．（2012?泉州）如图12，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（ ）
A．EF＞AE+BF B．EF
C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF
3．（2011?芜湖）如图13，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y= 经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（）的圆内切于△ABC，则k的值为 ．
4．（2012?武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=
（1）如图14（1），求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图14（2），点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．
课前作业
1．与三角形三边都相切的圆 三角形的内心 外切三角形
2．三边
随堂作业
1．B
2．A
3．
4．
5．∵∠DBC=∠CAD=∠BAD，∴△BDE～△ADB．
∴．
可证BD=ID=2，∴，即．
课后作业
1．C [提示：连接OD、OE，则四边形ODBE是正方形，△MBN的周长=BD+BE=2]
2．A
3．C
4．
5．
6．提示：连接OB
7．（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5，∴⊙O的半径r=（AC+BC-AB）=1．
（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，设GP=，
由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，
∴GP=PC=，
∵Rt△AGP∽Rt△ABC，
∴，，即GP=
，CG=，
∴OG=CG-CO=， 在Rt△ODG中，DG=．
8．4；
2年中考1年模拟
1．C [∠BAO=∠CAO=∠BAC，∠ABO=∠CBO=∠ABC，又由∠ACB=70°，∴∠A0B=180°-（∠BAO+∠ABO）=180°-（∠BAC+∠ABC）=180°-×110°=125°．]
2．C [提示：连接AO、BO，则∠EAO=∠EOA，∠FBO=∠FOB]
3．4 [提示：正方形的性质得出AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，进而根据半径为（）的圆内切于△ABC，得出CD的长，从而得出DO的长，再利用勾股定理得出DN的长进而得出k的值]
4．（1）作直径CD，连接BD，
∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∠A=∠D，
∵BC=4，sin∠A=，∴sin∠D=，∴CD=5，
∴三角形ABC外接圆的直径是5．
（2）连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=4，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sin∠A=，∴BF=，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=，
AC=2AF=，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF
即4×R+4×R+×R=×，∴R=，
在△AIF中，AF=，IF=，由勾股定理得：AI=．
25．7圆与圆的位置关系（第一课时）
一、课前作业——基础预练
知识点：两圆的各种位置关系
两圆的位置关系有 种，设两圆的半径分别为R和，圆心距为，那么：
（1）两圆外离 ；
（2）两圆 ；
（3）两圆相交 ；
（4）两圆 ；
（5）两圆内含 ．
二、随堂作业——基础达标
1．（2012·巴中）已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是（ D ）
A．0＜d＜2 B．1＜d＜2
C．0＜d＜3 D．0≤d＜2
2．半径分别为的两圆圆心距为5，若满足关系式，则两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相离 D．相交
3．工人师傅在一个长为25cm，宽为18cm的矩形铁皮上减去一个和三边都相切的⊙O1后，在剩余部分的废料上再减去一个最大的⊙O2，则⊙O2的直径为 （ ）
A． B．8cm C．7cm D．4cm
4．如图1所示，⊙O2与⊙O1内切于点C，与半圆的直径AB切于点D，若AB=6，⊙O2的半径为1，则∠ABC的度数为 ．
5．如图2所示，两圆叠靠在墙边，已知两圆半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B间的距离为 ．
6．如图3所示，两个等圆⊙O和⊙外切，过O作⊙的两条切线OA、OB，A、B为切点，求∠AOB的度数．
7．（2012·桂林）如图，等圆和相交于A、B两点，经过 的圆心，顺次连结
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过直径AC的端点C，作的切线CE交AB的延长线于E，连结交AE于点D，求证：；
（3）在（2）的条件下若，求的值．
三、课后作业——基础拓展
1．（2012·宿迁）已知⊙O1，⊙O2的半径是r1＝2，r2＝4，圆心距d＝5，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
2．半径为（）的两圆分别与两坐标轴都相切，并且这两圆不在同一象限内，则这两圆的位置关系为 （ ）
A．相切 B．相离
C．相交 D．相切或相离
3．（2012·盐城）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x+3=0的两根，且O1 O2＝t+2，若这两个圆相切，则t＝ ．
4．（2011·江西）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），共中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等．
⑴直接写出其余四个圆的直径长；
⑵求相邻两圆的间距．
5．如图6所示，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，OP与⊙O交于C，过点C作CE⊥AP于E，若PA=10，PC=5，求CE的长．
6．如图7所示，⊙O是△PCD的外接圆，AB是直径，CD⊥AB
（1）P是上一点（不与C、D重合）试说明∠P=∠COB；
（2）点在劣弧上（不与C、D重合）时，与∠COB有什么关系？请证明你的结论．
7．如图8所示，已知点在上，、交于A、B两点，过A的直线分别交两圆于C、D，CB交于E，试说明CD=CB．
四、2年中考1年模拟——基础提升
1．（2012·潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切
C．外切 D．外离
2．（2012·柳州）如图9，定圆的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线上移动，当两圆相切时，OP的值是（ ）
A． 2cm或6cm B．2cm
C． 4cm D．6cm
3．（2012·毕节）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，图10也是一幅五环图案， 在这个五个圆中，不存在的位置关系是( )
A．外离 B．内切
C．外切 D．相交
4．（2012·龙岩）如图11，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2 相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1（x1，y1）、（x2，y2）在反比例函数的图象上，则y1+y2=_____.
5．（2012·宜宾）如图12，在⊙、⊙相交于P、Q两点，其中⊙的半径=2, ⊙的半径,过点Q作CD⊥PQ,分别交⊙和⊙于点C、D,连结CP、DP，过点Q任作一直线AB分别交⊙和⊙于点A、B，连结AP、BP、AC、DB,且AC与DB的延长线交于点E.
(1)求证：； (2)若PQ=2,试求∠E度数.
课前作业
五 外切
内切
随堂作业
1．D
2．D
3．B
4．
5．4
6．
7．（1）设两圆的半径为r，则
∴四边形是菱形．
（2）∵AC为直径，CE为切线，∴∠AO2D＝∠ACE＝900 ．
∵四边形是菱形，∴∠CAE＝∠O2AD．
∴△ACE∽△AO2D．∴．
∴．
（3）由得∠CAB＝∠CO2B，
∵四边形是菱形， ∴∠O2BA＝∠BAO2＝∠CAB＝∠CO2B．
∴ ．∵∠O2BA+∠BAO2+∠CO2A+∠CO2B＝1800 ， ∠CO2A＝900，
∴∠O2BA＝∠BAO2＝∠CO2B＝300．∴．
∵△AO2D与△BO2D分别以AD、BD为底，则高相同，．
∴＝．
课后作业：
1．B
2．B
3．0或2
4．（1）其余四个圆的直径长分别为2.8cm,2.6cm,2.4cm,2.2cm；
（2）因为工具板长21cm，左、右侧边缘1.5cm，
所以的五个圆（孔）及相邻两圆的间距之和为21-3=18（cm）．
d=[18-(3+2.8+2.6+2.4+2.2)]÷4=（cm）．
5．3
6．（1）由得，∠P=∠COB；（2）连接AD，
7．证明（略）
2年中考1年模拟
1．C [提示：由根与系数关系得，两圆圆心距相等]
2．A [相切包括两圆外切与内切]
3．B
4．[提示：设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，则x1=y1=R=1，x2=2+r，y2= r，由（2+ r）r=1得r=，故y1+y2=R+ r=]
5．(1)证明：∵CP是⊙的直径，PD是⊙的直径，∴∠CAP=∠PBD=90°.
∵∠APC=∠AQC, ∠BPD=∠BQD, ∵ ∠BQD=∠AQC, ∴∠APC=∠BPD,
∴△APC∽△BPD, .
(2) ∵PQ=2，在Rt△CPQ中，CP=4, ∴∠PCQ=30°, ∴∠CPQ=60°.
Rt△DPQ中，PQ=2，PD=,QD=2, ∴∠QPD=45°, ∴∠CPD=105°.
∵△APC∽△BPD, ∴∠PDB=∠ACP, ∴∠PDB+∠PCE=∠ACP+∠PCE=180°.
∴∠E=360°-180°-105°=75°.
25．7圆与圆的位置关系（第二课时）
一、课前作业——基础预练
知识点：相交、相切两圆的性质
1．两圆相交时，连心线垂直平分 ．
2．两圆相切时，连心线通过 ．
二、随堂作业——基础达标
1．（2012?台湾）如图，大、小两圆的圆心均为O点，半径分别为3、2，且A点为小圆上的一固定点．若在大圆上找一点B，使得OA=AB，则满足上述条件的B点共有几个？（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知两圆的半径分别是2和3，圆心距是，若两圆有公共点，则下列结论正确的是 （ ）．
A． B．
C． D．
3．圆心都在轴上的两圆相交于A、B两点，如果点A的坐标为，那么点B的坐标是 （ ）．
A． B．
C． D．
4．(2012·南充) 如图2，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1，点P(a,0) ，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（ ）
A．3 B．1
C．1，3 D．±1，±3
5．已知两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为4cm，那么另一个圆的半径为 cm．
6.已知半径分别为1和3的两上圆有两个交点，则圆心距的取值范围为 ．
7．⊙O1，⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，圆心在同一直线上，且⊙O2分别与⊙O1，⊙O3相交，⊙O1，⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3的圆心距的取值范围为 ．
8．两圆半径之比为2：3，当它们外切时，圆心距为20cm，那么当它们内切时，圆心距为 cm．
9．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，同这两个圆的圆心距是 cm．
10．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是6和2，圆心O1的坐标为（0，8），圆心O2的坐标为（-6，0）．
（1）求两圆的圆心距；
（2）判断两圆的位置关系．
11．（2012·佛山）（1）按语句作图并回答：
作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a<4，b<4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？
（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．
三、课后作业——基础拓展
1．（2012·无锡）如图3所示，以M(－5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是OM上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y 轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长 ( )
A．等于4 B．等于4
C．等于6 D．随P点位置的变化而变化
2．如图4所示，以六边形的顶点为圆心，4cm为半径的六个圆中，相邻两圆外切，则该正六边形边长是 cm．
3.两圆相切，圆心距为5cm ,其中一个圆的半径为2cm，则另一个圆的半径是 cm．
4．如图5所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，已知AB=8，大圆半径为5，则小圆半径为 ．
5．图6是轴承的横断面，图中能反映出圆与圆位置关系，但是，其中有一种位置关系没有反映出业，请你写出这种位置关系，它是 ．
6．（2012·攀枝花）如图7，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A。若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是__________
7．以O为圆心的两个同心圆半径分别为9cm和5cm，与这两个圆都相切，则的半径是多少？
8．如图8所示，⊙O1和⊙O2的相交于点A、B，过点B的任意一条直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，线段AC和AD的比值与两圆直径有什么关系？试证明你的结论．
9．如图9所示，已知⊙O的半径为R，CD是⊙O的直径，以点D为圆心，以为半径作圆D，⊙D与⊙O相交于A、B两点，BD的延长线与⊙D相交于点E，连接AE，
求证：（！）AE//CD；（2）．
四、2年中考1年模拟——基础提升
1．（2012·烟台）如图10，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为（ ）．
A．12cm2 B．24cm2
C．36cm2 D．48cm2
2．（2012·铜仁）已知圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，则圆O2的半径为 _____ _．
3．（2011·南通）已知：如图11，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝ .
4．．(2012·日照)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
（Ⅰ)探究新知
如图12（1） ⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..
（1）求证：内切圆的半径r1=1;
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图12（2）若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2）如图12（3）若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．
课前作业
1．公共弦
2．切点
随堂作业
1．C [提示：以A为圆心，OA长为半径，与大圆有两个交点]
2．A
3．B
4．D[在⊙O的两侧均会出现外切、内切两种情况]
5．1或7
6．
7．
8．4
9．或[提示：两圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的两侧]
10．（1）
（2）∵，∴两圆外离
11．（1）图形如图所示，a、b应满足：a+b＞4
（2）连接BD交AC于点O，得AB2-OA2=BC2-0C2
设OA= ，则OC=，∴．
∴，∴OB=．∴BD=．
∴四边形ABCD的面积==．
课后作业
1．C[提示：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，证△OBD∽△OCA得，（r+x）（r-x）=9]
2．8
3．3或7
4．3
5．相交
6．[提示：⊙O2半径为1，⊙O2半径为3，AB=，CD=]
7．2或7
8．AC和AD的比等于两圆直径之比
9．连接AB，则AE⊥AB，CD⊥AB，故AE//CD；（2）连接BC，易证△CDB∽△BEA，故
2年中考1年模拟
1．B[提示：四边形O1O4O2O3的两条对角线互相垂直，且长为6cm与8cm，其面积为：]
2．7cm
3．9
4．（Ⅰ）（1）证明：在图（1）中，连结OE,OF,OA.
∵四边形CEOF是正方形， CE=CF=r1.
又∵AG=AE=3-r1，BG=BF=4-r1，AG+BG=5，
∴（3-r1）+（4-r1）=5．即r1=1．
（2）连结OG，在Rt△AOG中，
∵r1=1， AG= 3-r1=2，tan∠OAG==；
（Ⅱ）(1)连结O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC.
由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，
同理可得：tan∠O2BE== ，
∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2. ∵AD+DE+BE=5，r2=；
(2)如图（3），连结O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M.
则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC.
tan∠O1AD=，tan∠OnBM=,
AD=2rn，DE=2rn，…,MB=3rn，
又∵AD+DE+…+MB=5，2rn+2rn+…+3rn=5,(2n+3) rn=5,
rn=.
