25．8正多边形与圆
一、课前作业——基础预练
知识点1：正多边形与圆
1．各边都相等， 的多边形叫做正多边形．正多边形与圆有着非常密切的关系，把一个圆分成条相等的弧，就可以作出这个圆的 ．
2．任何一个正多边形都有一个外接圆和一个 圆，这两个圆是 ．
知识点2：圆内接正边形的性质
3．正边形都是 对称图形，当为偶数时，它又是 对称图形．
二、随堂作业——基础达标
1．P是正六边形ABCDEF的外接圆上一点，则∠APB的度数为（ ）．
A． B．
C． D．或
2．（2012?台湾）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，连接AC、BE、DF，求图中灰色四边形的周长为何？ （ D ）
A．3 B．4
C． D．
3．正六边形的周长为6，则它的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，，，则：：等于（ ）．
A． B．
C．1：2：3 D．3：2：1
5．已知正三角形的边长为，则它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积为 ．
6．若正多边形的边心距与边长的比是1：2，则这个正多边形的边数是
．
7．（2012?天津）若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．
8．在同圆中，圆满的内接正六边形与其外切正六边形的周长之比为
，面积之比为 ．
9．如图2所示，已知正三角形ABC和正六边形EFGHIJ的面积相等，求它们的边长比．
10．（2011?南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：
三、课后作业——基础拓展
1．（2012·柳州）如图4，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达的位置，所转过的度数是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，真命题是 （ ）
A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆外切正方形的边长等于其边心距的倍
D．各边相等的圆外切多边形是正方形
3．（2012·北京）正十边形的每个外角等于 （ ）
A. 18° B.36°
C. 45° D.60°
4．（2012·巴中）已知一个圆的半径为5㎝，则它的内接正六边形的边长为________.
5．已知正多边形的中心角为，边长为，则其半径为 ．
6．若一个正多边形的面积是240，周长是60cm，则它的边心距是
Cm．
7.正七边形的边心距和半径把正七边形分成了 个全等的直角三角形．
9．如图6所示，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，阴影部分的面积为，求⊙O的半径．
10．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟，打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图7所示，经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm．
（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积．
（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张？（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到0.1cm， 取1.73，结果精确到0.1cm）
11．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下-丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…
…
正多边形每个内角的度数
?
?
?
?
…
…
（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
四、2年中考1年模拟——基础提升
1．（2012·玉林）正六边形的每个内角都是（ ）
A．60° B．80°
C．100° D．120°
2．（2012·安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为（ ）
A.2 B. 3
C. 4 D.5
3．（2012·河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图10（1），用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图10（2），若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为____________.
4．（2012?无锡）如图11的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 ．
5．（2011?杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图12）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形
（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；
（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于 ？请说明理由．
课前作业
1．各角也相等 内接或外切正边形
2．内切 同心圆
3．轴 中心
随堂作业
1．A
2．D
3．B
4．A
5．
6．4
7．
8． 3：4
9．
10．答案不唯一：相同点如：①都有外接圆和内切圆；②都是轴对称图形，不同点如：①内角的度数不同；②对称轴条数不同
课后作业
1．A [提示：转动的角度是正六边形的中心角]
2．B
3．A
4．5㎝
5．2
6．8
7．14
8．提示：连结OP1，OP2·，…OP
9．4
10．四边形ABCD的面积为：，至少需要纸张的面积为
11．（1）108°，120°，…；
（2）正三角形，正方形，正六边形
（3）正方形和正八边形（如图），设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m?90°+n?135°=360°的正整数解．即2m+3n=8的正整数解，只有m=1，n=2一组，∴符合条件的图形只有一种．
2年中考1年模拟
1．D
2．A [中是一个正方形面积是，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半]
3．6 [两个正六边形一个公共点组成的角为，要密铺需一个内角为的正多边形]
4．B [提示：横坐标每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周]
5．（1）取出⑦，向上平移1个单位；
答：取出的是三角形⑦，平移的方向向上平移，平移的距离是1个单位．
（2）可以做到．
理由是：∵每个等边三角形的面积是S1=，
∴正六边形的面积为，
而∴只需用⑦的)面积覆盖住正六边形就能做到．
25．9弧长与扇形面积（第一课时）
一、课前作业——基础预练
知识点1：弧长的计算
1．设半径为R，则圆的周长 ，的圆心角所对的弧长 ．
知识点2：扇形面积的计算
2．半径为R，圆心角为的扇形面积 ．
二、随堂作业——基础达标
1．（2012·遵义）如图1，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π cm2 B． cm2
C．cm2 D． cm2
2．（2012·黄石）如图2，扇形AOB的圆心角为1200，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A . B .
C . D .
3．如图3所示，扇形OAB的圆心角为，且半径为P，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积， 那么P和Q的大小关系是（ ）
A．P=Q B．PQ
C．PQ D．无法确定
4．如图4所示，在Rt△ABC中，，AC=2，AB=4，分别以AC，BC为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
5．若面积相等的两个扇形的圆心角分别是和，则这两个扇形的弧长的比值为 ．
6．（2012·枣庄）如图5，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为_______cm2．
7．（2012·遵义）如图6，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形ABCD的中心O经过的路线长是________cm.
8．如图7所示，三个半径分别为，，的圆两两外切，求由三条过切点的弧围成的阴影部分的周长．
三、课后作业——基础拓展
1．（2012·珠海）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．（2012·漳州）如图8，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（ ）
A．2π cm B．4π cm
C．8π cm D．16π cm
3．（2012·茂名）如图9，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形OBC的面积等于 （结果保留π）
4．在⊙O中，半径R=30cm，的长为cm，则所对的圆心角的度数为 ．
5．（2012·青海）如图10，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 .
6．扇形的面积是，弧长是，则扇形的半径是 ．
7．如图11所示，正方形ABCD的边长为，以AD为直径作半圆O，以D为圆心，DA长为半径画，则图中阴影部分的面积是 ．
8．如图12所示，扇形AOB的圆心角为，半径为，C，D分别是的三等分点，求图中阴影部分的面积．
9．如图13所示，在半径为R的⊙O中，C是⊙O上任意一点，以C为圆心，OC为半径的圆交⊙O于A、B，求的长．
10．如图14所示，以Rt△ABC的直角顶点C为圆心，AC长为半径画弧，分别交AB、BC于点D、E，若，AC=2cm，求的长．
四、2年中考1年模拟——基础提升
1．（2012·宁夏）如图16，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 （ ）
A.πm2 B.πm2
C.πm2 D.πm2
2．（2012·娄底）如图17，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4( B. 3(
C. 2( D. (
3．（2012·日照）如图18，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1 S2（用“>”、“<”或“=”填空）.
4．（2012·吉林）如图19，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积.
5．（2012·岳阳）如图20，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F,连接BC，
（1）求证：AC2=AB·AF
（2）若⊙O的半径为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．
课前作业
1．
2．
随堂作业
1．C[提示：]
2．A
3．A
4．D
5．2
6．16π[提示，设大圆半径为R，小圆半径为，则]
7．3π [提示：O点经过的路线是四条以O为圆心，OC长为半径，圆心角为的弧]
8．
课后作业
1．C
2．B [提示：圆心移动的距离等于圆的周长]
3．[提示：半径为，圆心角是]
4．
5．[阴影部分面积等于两个半圆面积—三角形面积]
6．8cm
7．
8．
9．
10．
2年中考1年模拟
1．D [小羊A在草地上的最大活动区域是一个扇形+一个小扇形的面积，大扇形面积为，小扇形面积为]
2．D [提示：阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的]
3．＜ [提示：，]
4．连接OD，∵将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，
∴OB=BD，OC=OD．又∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，
∴C阴影部分= +AC+CD+BD=3π+12.
∵∠AOB=90°，∴△OBD是等边三角形，∴∠DBC=∠OBC=30°.
在Rt△OCD中，tan∠OBC=,∴OC=tan30°×6=.
∴S阴影=S扇形OAB-2S△OCB==.
5．（1）证明：∵，∴∠ACF=∠ABC．
∴△ACF∽△∠ABC．∴．
即AC2=AB·AF．
(2)连接OA、OC,作OE⊥AC，垂足为点E，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°．
∴∠OAE=∠OCE=30°．
在Rt△AOE中，∠OAE=30°，OA=2，
∴OE=1，AE=．∴AC=2AE=2．
∴=．
25．9弧长与扇形面积(第二课时)
一、课前作业——基础预练
知识点：与圆锥相关计算
1．设圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥侧面积为 ．
2．若沿圆锥的母线剪开展平，形成 ，因此圆锥的侧面积等于侧面展开形成的 面积；圆锥底面圆的周长等于侧面展开形成的扇形的 ．
二、随堂作业——基础达标
1．在△ABC中，AB=3，AC=4，，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其侧面积为，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一上圆锥，其侧面积为，则：等于（ ）．
A．2：3 B．3：4
C．4：3 D．39：56
2．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．12.5cm B．25cm
C．50cm D．75cm
3．（2012·包头）圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是( )
A. 320° B. 40°
C. 160° D．80°
4.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥形的底面周长为36m，母线长为8m，为了防雨，需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计算接头重合部分，那么这座粮仓实际需要油毡的面积是（ ）
A. 165 B.
C. D．
5．把半径为的圆形铁片沿着半径OA，OB剪成面积比为1：2的两个扇形，如图1所示，把这个扇形围成两个无底的圆锥，设这两个圆锥的高分别为，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D．无法确定
6．（2012·哈尔滨）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．
7．过轴线的平面把一个圆锥剖开得一个等腰三角形，则这个圆锥的底面半径是高的 倍，母线是高的 倍．
8．圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是 度．
9．（2011·丹东）如图2，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
（
10．一个圆台形物体的上底面面积是下底面面积的，如图3所示，放在桌面上，对桌面的压强是200Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？
三、课后作业——基础拓展
1．如图4所示，现有一圆心角为，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
2．（2012?衢州）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图5），则这个纸帽的高是（ ）
A． B．
C． D．4
3．（2012?宁波）如图6，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图7所示，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是 ．
5．（2012·襄阳）如图8，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 dm. ．
6．一个扇形如图9所示，其半径为30cm，圆心角为，用它做成圆锥的侧面．
（1）求圆锥的底面半径和锥角；
（2）求圆锥的体积与圆锥同底等高的圆柱的体积，及接在一起的表面积．
7．问题：要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：
方案一：在图10中，设计一个圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；
方案二：在图10中，设计一个圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）
探究：
（1）求方案一中圆锥底面的半径；
（2）求方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．
四、2年中考1年模拟——基础提升
1．（2012·东营）小明用图11中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么这个的圆锥的高是（ ）
A． 4cm B． 6cm
C． 8cm D． 2cm
2．（2012·莱芜）若一个圆锥的底面积为4πcm2，圆锥的高为4cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）
A．400 B．800
C．1200 D．1500
3．（2012·宿迁）如图12，SO，SA分别是圆锥的高和母线．若SA＝12cm，∠ASO＝30°，则这个圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留π）．
4．（2012蚌埠六中模拟）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图13所示，它的底面半径OB=3cm，高OC=4cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是 cm2．
5．（2011?杭州）在△ABC中，AB=，AC=，BC=1．
（1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
课前作业
1．
2．扇形 弧长
随堂作业
1．B
2．B
3．C [提示：圆锥底面圆周长=扇形弧长，即]
4．B
5．A
6．2
7．1
8．288
9．（1）连接BD，∵AC⊥BD，AC为直径，
∴AC垂直平分BD．∴AB=AD，BF=FD，．
∴∠BAD=2∠BAC=．∠BOD=．
∵BF=AB=，，∴．
∵，∴，OB=4．
∴．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴，∴．
10．800Pa
课后作业
1．C
2．C
3．D [提示：先求小圆半径，利用两圆外切的性质，利用勾股定理即可确定]
4．
5．1 [提示：先求的长为，再利用弧长等于底面圆周长即可]
6．（1）底面半径为10，锥角为
（2）表面积为
7．（1）0.5m
(2) 如图，当两个圆柱的底面外切，且分别与半圆内切，与半圆的直径相切时，圆柱的底面面积最大，由于该图是关于OC成轴对称图形，且扇形OAC顺时旋转90度后，能与图形也能重合，故有四边形的四边相等，四角为直角，所以是正方形．
2年中考1年模拟
1．A [提示：圆锥底面半径为3，母线长为5]
2．C
3．72π．
4．15π
5．（1）∵BC2+AC2=1+2=3=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°． ∵sinA=，∴∠A≠30°．
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，
∴圆锥的底面圆的半径=，∴圆锥的底面圆的周长=2π?=π；母线长为．
∴几何体的表面积．
