圆 专项训练
题型一、圆的基本概念
1．（2012·衢州）如图1，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB的值是( )
A. B.
C. D.
2．（2012·嘉兴市）如图2,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为________.
3．(2012·六盘水)当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图3所示（单位：cm），那么该圆的半径为
cm.
4．（2012·遵义）如图4，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ．
5．（2012·湛江）如图5,在⊙O中,直径AB与弦CD相较于点P,∠CAB＝40°，∠APD＝65°.
(1)求∠B的大小；
(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离.
题型2、圆中的位置关系
6．（2012·兰州）已知两圆的直径分别为2㎝和4㎝，圆心距为3㎝，则这两个圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 外切
C. 外离 D.内含
7．如图6，矩形与⊙O相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．7 D．8
8．（2012·连云港）如图7，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC= °．
9．（2012·武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 ．
10．（2012·咸宁）如图8，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．
（1）已知，，求弦CD的长；
（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．
11．如图9，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，，求弦AB的长．
12．（2012·宜宾）如图10，⊙O、⊙O相交于点P、Q两点，其中⊙O的半径r=2，⊙O,的半径r=，过点Q作CD⊥PQ,分别交⊙O和⊙O于点C、D，连结CP、DP，过点Q任作一直线A交⊙O和⊙O于A、B，连结AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E,
求证：
若PQ=2，试求∠E度数。
题型3、圆中的计算
13．(2012·临沂）如图11，AB是⊙O的直径，点E是BC的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A.1 B.
C. D.
14．（2012·绍兴）如图12，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）．
A. B. C. D.
15．(2012·德州)如图13，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．
16．（2012·贵阳）如图14，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则
（1）BD的长是 ；
（2）求阴影部分的面积.
17．如图15，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC面积的，则扇形的圆心角应为多少度？请说明你的理由．
18．（2012·南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图16，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，已知∠CO2D=600,E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24厘米，设⊙O1的半径为x厘米.
（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
（2）若⊙O1、扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/厘米2和0.06元/厘米2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
圆 专项训练
1．C
2．24 [提示：连接AC、BC，利用相似三角形对应边成比例]
3．
4．4
5．(1)∵∠APD＝∠C＋∠CAB ,∴∠C＝65°?40°＝25°.
∴∠B＝∠C＝25°.
(2)过点O作OE⊥BD于E，则DE＝BE.
又∵AO＝BO,∴OE＝AD＝×6＝3.
∴圆心O到BD的距离为3.
6．B
7．C
8．70
9．m≥[提示：以A为圆心，2为半径作圆，过O作⊙A切线AC’，显然当C与C’重合时m取最小值，此时m=tan∠BOC’=tan∠OAC’=，故m≥]
10．∵BF与⊙O相切，∴．
而BF∥CD，∴．
又∵AB是直径，∴．
连接CO，设，则．
由勾股定理可知：，
即，．
因此．
（2）点E位于AB的中点．理由：∵四边形BDCF为平行四边形，∴．
而， ∴．
∵BF∥CD， ∴△AEC∽△ABF．
∴． ∴点E是AB的中点．
12．（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，∴PC=4，PD=2．
∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°．
∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，
在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，
在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，∴===，即=．
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，
∴cos∠CPQ=．∴∠CPQ=60°，
∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，
∴sin∠PDQ=．∴∠PDQ=45°，
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°．
又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°．
∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°．
在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°．
13．C [提示：]
14．D
15．π[提示：每段弧的长为＝=，故三段弧总长为π]
16．（1）；
（2）由（1）得，AD=BD.
∴弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积.
∵CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD=××=1，即阴影部分的面积是1.
17．当扇形的圆心角为时即可，连接OA、OB，证△OAF≌△OBG即可．
18．（1）连接AO1,
∵⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，∴O1A⊥O2A,∠AO2E=∠DO2E．
∵∠CO2D=600,∴∠AO2O1=300．
在Rt△AO1O2中，O1E=O1A=
∴O1O2=．
(2) 费用
∴当=4时，该玩具的制作成本最小,最小值．
投影与视图 专项训练
题型1、理解三视图的概念
1．（2012·聊城）用两块完全相同的长方体搭成如图1所示几何体，这个几何体的主视图是（ ）．
题型2、画三视图
2．（2011?茂南）分别画出图2中几何体的主视图、左视图、俯视图．
题型3、利用平行投影画图
3．一根木杆如图3所示，请在图中画出形成木杆影的太阳光线．
4．一根木杆如图4所示，请在图中画出它在太阳光下的影子（用线段表示）
题型4、利用中心投影画图
5．王丽和赵亮两个小朋友晚上在广场的一盏灯下玩，如图5所示，AB的长表示王丽的身高，BM表示她的影子，CD的长表示赵亮的身高，DN表示他的影子，请画出这盏灯的位置．
题型5、由三视图制作立本图形
6．（2012·咸宁）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，如图5有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）．
题型6、平行投影与中心投影的判别
7．如图7①、②分别是两棵树及其同一时刻的影子的情形．
（1）哪幅图反映了阳光下的情形？哪幅图反映了路灯下的情形？你是如何判断的？
（2）请在两幅图中画出同一时刻小明的影子．（用线段表示）
题型7、中心投影的应用
8．如图8所示，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路一侧的一条直线上，AB、CD、EF是三个标杆，相邻两个标杆之间的距离是2m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6m。 DN=0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；
（2）求标杆EF的长．
9．如图9所示，点P表示广场的一盏照明灯．
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子；（用线段表示）
（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5m，照明灯P到灯柱的距离为1.5m，小丽目测照明灯P的仰角为，她的眼睛到地面的距离QB为1.6m，试求照明灯P到地面的距离．
题型8、平行投影的应用
10．已知，如图10，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
11．为了测得图10①、②中的树高，在同一时刻某学生分别进行了如下操作：如图10①：测得竹竿CD长0.8m，其影长CE为1m以及图10①中树影AE长为2.4m；图10②：测得落在地面上的影长2.8m，落在墙上的树影高1.2m，请问图10①、②中的树高分别是多少？
题型9、视图与立体图形的互化
12．如图11所示的是由一些大小相同的小立方块构成的简单几何体的主视图和俯视图．
（1）请你画出这个几何体的左视图；
（2）若组成这个几何体的小立方块的块数为，请你写出的所有可能值．
题型10、三视图与几何体体积和表面积的综合应用
13．（2012·荆州）如图13是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积．(结果可保留根号)
1．C
2．
3．略
4．略
5．略
6．A
7．图①是灯光下的情形，图②是阳光下的情形
8．（1）略，（2）EF=0.4
9．（1）略 （2）照明灯到地面的距离为5.9m
10．（1）连接AC，过点D作DE∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF．
∴，∴．∴DE=10（m）．
11．1．92m 3.44m
12.（1）略 （2）可能8、9、10、11
13．根据图形得，纸盒的底面为正六边形，正六边形的直径为10 cm，盒子的高为12 cm．
每个底面正六边形的面积== cm2；
侧面展开为长方形，侧面积为 cm2．
所以这个密封纸盒的表面积=2个底的面积+侧面积=+360=（75＋360）cm2．
概率初步 专项训练
题型1、考查确定事件与随机事件的概念
1．（2012·资阳）下列事件为必然事件的是（ D ）
A．小王参加本次数学考试，成绩是150分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻[来源#*:中国教︿育出版~&网]
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
2．指出下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）高空中物体在重力作用下会落到地面；
（2）太阳每天都是从东方升起的；
（3）时光倒流，日月同辉；
（4）从100个灯泡中取出5个，5个都是次品；
（5）方程有两个不相等的实数根；
（6）刮风时天正在下雨．
题型2、考查对概率含义的理解
3．如图1所示的转盘被划分成六个大小相同的扇形，并分别标上1、2、3、4、5、6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次一定不会停在3号扇形；
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好，让指针停在6号扇形的可能性就会加大．
其中，你认为正确的见解有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3、简单事件的等可能情形下的概率计算
4．（2012·义乌）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译,其中一名只会翻译阿拉伯语,三名只会翻译英语,还有一名两种语言都会翻译.若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( B )
A． B.
C. D.
5．如图2所示，在8张卡片上分别画有如下图形，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张．
（1）P（抽到桃图案）= ；
（2）P（抽到香蕉图案）= ；
（3）P（抽到苹果或梨图案）= ，
P（抽到苹果图案）= ．
6．（2012·山西）某市民政部门举行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这些彩票中，设置如下奖项：
如果花2元钱钱购买1张彩票，求所得奖金不少于1000的概率．
奖金（元）
10000
5000
1000
500
100
50
数量（个）
1
4
20
40
100
200
题型4、复杂事件的等可能情形下的概率计算
7．（2012?漳州）有A、B、C1、C2四张同样规格的硬纸片，它们的背面完全一样，正面如图3（1）所示．将它们背面朝上洗匀后，随机抽出两张（不放回）可拼成如图3（2）的四种图案之一．请你用画树状图或列表的方法，分析拼成哪种图案的概率最大？
8．（2012·遵义）如图4，4张背面完全相同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；
（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率．
9．如图5所示，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ．
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
10．（2012?烟台）第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．
题型5、用频率估计概率
11．一位同学在抛一枚图钉的试验中画出统计表如下：
（1）计算出针尖触地的频率；
（2）画出针尖触地频率折线图；
（3）根据以上数据对针尖触地的概率进行估计．
题型6、概率的综合应用
12．（2012·恩施市）某市今年理化生实验操作考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。规定：每个考生从三个物理实验中（题签分别用代码W1、W2、W3表示）、三个化学实验题（题签分别用代码H1、H2、H3表示）、二个生物实验（题签分别用代码S1、S2、S3表示）中分别抽取一个进行考试。小亮在不看到题签的情况下，从它们中随机的各抽取一个题签。
（1）请你用画树状图的方法，写出他恰好抽到H2的情况；
（2）求小亮抽到的题签的代码的下标（例如“W2”的下标是“2”）之和为7的概率是多少？
13．(2012·日照)周日里，我和爸爸、妈妈在家都想使用电脑上网，可是家里只有一台电脑啊，怎么办？为了公平起见我设计了下面的两种游戏规则，确定谁使用电脑上网.
(1)任意投掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面都朝上，则爸爸使用电脑；若两枚反面都朝上，妈妈使用电脑；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则我使用电脑.
(2)任意投掷两枚骰子，若点数之和被3整除，则爸爸使用电脑；若点数之和被3除余数为1，则妈妈使用电脑；若点数之和被3除余数为2，则我使用电脑.
请你来评判，这两种游戏规则哪种公平，并说明理由噢！
1.D
2.①必然事件 ②必然事件 ③不可能事件 ④随机事件 ⑤随机事件 ⑥随机事件
3．A[提示：只有丙的见解正确]
4．B
5．（1） （2）0 （3）
6．因为从10万张彩票中购买一张，每张被买到的机会相同，因而有10万种结果，奖金不少于1000元的（即大于等于1000元的）共有1+4+20=25张．
所以P（所得奖金不少于1000元）=25÷100000=0.00025．
7．
画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，拼成卡通人，电灯、房子、小山的分别有2，4，4，2种情况， ∴P（卡通人）=，P（电灯）=，P（房子）=，P（小山）=∴拼成电灯或房子的概率最大．???
8．（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵能判断四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，
∴能判断四边形ABCD是平行四边形的概率为：=．
9．（1） （2）
10．根据题意，用A表示红球，B表示绿球，列表如下： 由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，
P（都是红球）=， P（1红1绿球）=， 因此，这个规则对双方是公平的．
11．略
13．（1）画树状图
由上可知抽到H2的情况有6种：（W1、 H2、 S1）（W1、 H2、 S2）（W2、 H2、 S1）（W2、 H2、 S2）（W3、 H2、 S1）（W3、 H2、 S2）；
（2）下标之和为7共有3种情况，故下标之和为7下标之和为7的概率是=．
14．（1）用列表法计算概率
正面朝上
反面朝上
正面朝上
正面朝上 正面朝上
反面朝上 正面朝上
反面朝上
正面朝上 反面朝上
反面朝上 反面朝上
两枚硬币都是正面朝上的概率为：；两枚硬币都是反面朝上的概率为：；两枚硬币一正面朝上一反面朝上的概率为：；
“我”使用电脑的概率大；
（2）用列表法计算概率：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
点数之和被3整除的概率为：=；点数之和被3除余数为1的概率为：=；点数之和被3除余数为2的概率为：=；
三种情况的概率相等. 所以第一种游戏规则不公平，第二种游戏规则公平.
