(共33张PPT)
18.2.1矩形的性质课件
人教版 八年级下
新知导入
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
新知导入
平行四边形的判定：
边
两组对边分别平行的四边形；
两组对边分别相等的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形；
对角线
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
新知导入
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于的第三边，并且等于第三边的一半。
三角形的中位线定理：
新知导入
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，这节课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
矩形
新知导入
活动:观察下面的图形,它们都含有平行四边形,请把它们全部找出来.
问题：上面的平行四边形有什么共同的特征？
新知讲解
活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形
思考：矩形与平行四边形有什么关系呢？
新知讲解
活动探究：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
新知讲解
（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时, 发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
新知讲解
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
新知讲解
想一想：
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
如何证明？
新知讲解
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
新知讲解
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB (SAS)
∴AC = BD
即矩形的对角线相等
求证:矩形的对角线相等
新知讲解
矩形的性质总结
平行四边形的性质 矩形的性质 矩形特有的性质
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
没什么特别的
四个角都是直角
对角线相等
新知讲解
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
新知讲解
边 角 对角线 对称性
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
O
这是矩形所特有的性质
新知讲解
A
B
C
D
O
活动：如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？
B
C
O
A
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
1
2
1
2
BO= BD= AC
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
新知讲解
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证: BO = AC
∴BO= BD= AC
新知讲解
例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AC与BD相等且互相平分，
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形，
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
D
C
B
A
O
方法小结:如果矩形两对角
线的夹角是60°或120°,
则其中必有等边三角形.
新知讲解
变式1：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=4cm，则AC= .
A
B
C
D
O
变式2：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB:∠BOC=1:2 ，AB=4cm，则AC= .
变式3：如图，矩形ABCD的ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=8，则AB=_____.
8cm
8cm
4cm
课堂练习
1.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
课堂练习
2.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
C
课堂练习
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
2.5
课堂练习
4.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6
课堂练习
5.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°.点D是AB边的中点.试判断△BCD的形状，并说明理由.
解：△BCD为等边三角形.
∵∠ACB=90°,点D是AB的中点，
∴CD= AB=BD.
在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°.
在△CBD中，CD=BD,∠B=60°,
∴△BCD为等边三角形.
课堂练习
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
课堂练习
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
课堂总结
矩形的性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，两条对角线相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
拓展提升
1如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
拓展提升
2.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
= S矩形ABCD= ×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF= .
拓展提升
3.如图所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．
求证：CA=CF
解析：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．
又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．
∵矩形对角线相等，
∴△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，
∴∠FCH=∠CAD①
又∵ AG平分∠BAD=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．
∵ ∠CHG是△CHF的外角，∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
∴∠CFH=45°-∠FCH②
由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF。
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18.2.1矩形的性质
一、选择题
1、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.两组对边分别相等 B.对角线相等
C.两组对边分别平行 D.对角线互相平分
2、如图，在矩形ABCD中（AD>AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A.△AFD≌△DCE B.
C. D.
（第2题图） （第3题图）
3、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，点B恰好在AD边的处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A.12 B.24 C. D.
4、在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A.4 B.4.4 C.4.8 D.5
（第4题图） （第5题图）
5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
7、矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
8、矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．
9、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则△AEF的周长为_________。
（第9题图） （第10题图）
10、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点的位置，与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为________
三、解答题
11、如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。
12、如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE。求证：△ABE≌△DCE。
13、如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE=BC，对角线AC、BD交于点F，连接EF。
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC=4，CD=8，求EF的长。
14、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC、BF。
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，∠AEC=120°，求∠D的度数。
【参考答案】
一、选择题
1、B
2、B
3、D
4、C
5、D
【解析】连接BF。
∵BC=6，点E是BC的中点
∴BE=3
∵AB=4
∴
由折叠的性质得
（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴
∴
∵FE=BE=CE
∴
∴
故选D。
二、填空题
6、
7、
8、5
9、
10、22
三、解答题
11、解：∵∠AOD＝120°
∴∠AOB＝180°-∠AOD＝180°-120°=60°
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD，BD=2OB
∴△AOB是等边三角形
∴OB=2.5
∴BD=2OB=2×2.5=5
∴这个矩形对角线的长为5。
12、证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°
∵AE=DE
∴∠EAD=∠EDA
∴∠BAD+∠EAD=∠CDA+∠EAD
即∠EAB=∠EDC
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
13、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，AD∥BC
∵BE是CB的延长线且BE=BC
∴AD=BE，AD∥BE
∴四边形AEBD是平行四边形。
（2）解：过点F作FG⊥BC于点G
∵四边形ABCD是矩形
∴FB=FC=FD，点F是BD的中点
∴点G是BC的中点
∴FG是△BCD的中位线
∴
∵BE=BC，BC=4
∴BE=4
∵点G是BC的中点
∴
∴
在Rt△EFG中，FG=4，EG=6
∴
∴EF的长为。
14、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，即AB∥DF
∴∠ABE=∠BCF
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△ABE和△FCE
∴△ABE≌△FCE（ASA）
（2）解：∵四边形ABFC是矩形
∴AF=BC，
∴
∴∠ABE=∠BAE
∵∠AEC=120°
∴∠ABE=∠BAE=60°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠D=∠ABE=60°
∴∠D的度数为60°。
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