苏科版七年级数学下册 第9章 数学活动 拼图·公式 教案

实验探究课：拼图
一、探究背景
本课选自苏科版七年级数学实验手册下册实验9，学生已经学习了整式乘法和因式分解，初步了解了数形结合的思想方法.七年级学生活泼好动，对事物充满好奇，但动手操作能力较弱，本课的学习旨在提高学生的动手操作能力，并让学生能够更好地掌握和运用数形结合的数学思想方法.
二、探究目的：
1.通过拼图活动，感悟拼图与整式乘法、因式分解之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，并能够运用数形结合的方法解决问题，获得一些与拼图有关的问题的研究方法与经验.
2. 经历观察、拼图、计算、推理、交流等活动过程，发展空间观念和有条理地思考及表达的能力.
3．获得成功的体验和克服困难的经历，培养合作意识和合作精神，增进数学学习的信心.
三、探究重点
运用数形结合的数学思想方法解决与拼图有关的问题.
四、探究难点
1. 掌握拼图的一般方法;
2. 说明拼正方形所用的纸片的数量是完全平方数.
五、探究准备
A型纸片（边长为a的正方形）， B型纸片（长为a、宽为b的长方形）
, C型纸片（边长为b的正方形）.
六、探究过程：
一、情景再现
我们曾用这三种纸片拼成一个正方形，并利用这个经典图形认识了一个非常重要的公式，你能说出来吗？
A型纸片 B型纸片 C型纸片
设计意图：以情景再现的方式让学生复习回顾拼图与完全平方公式之间的关系.对同一图形,从整体和部分两种不同的角度求面积建立等式,再次感悟整式乘法和因式分解是一种互逆变形，并引导学生感悟数形结合的数学思想方法，引入主题.
二、探究活动
活动一：操作与思考
1.现有三种类型的纸片各5张，请你选取适当数量的3种类型卡片，通过拼图的方法，计算：
(
①
(2
a
+
b
)
2
=
；
)
设计意图：让学生动手拼图之前，先让学生思考，根据所给的算式，应该如何去拼。① 是正方形，②是长方形，知道了拼出的图形的长和宽，可以有针对性的摆放纸片，减少盲目拼图，让学生养成先思再拼的习惯.拼出图形后，可以利用部分的和来求面积，得到整式乘法的结果.这是由“形”到“数”的过程.
2.请你选取适当数量的3种类型卡片，利用拼图的方法，将多项式进行因式分解：=________________________
设计意图：让学生先思考，如何选择纸片，其实就是看每一项的系数，代表这一类卡片的数量. 拼出图形后，利用整体求面积，得到长方形面积的另一种表示方法，从而建立相等关系，达到将多项式因式分解的目的，这是由“形”到“数”的过程.拼图后让学生思考当纸片数量确定后，如何摆放纸片，即面积已知，但是长和宽未知，该如何拼图，掌握拼图的一般方法.
3.你能拼成一个面积为的长方形吗？如果不能，如何只添加（或减少）其中一种纸片的数量，使之拼成一个长方形？
设计意图：这里先让学生动手去拼，然后思考不能拼的原因.由感性认识上升到理性认识，明确只有能够因式分解的多项式才能成为一个长方形的面积.让学生进行小组讨论，如何添加或减少其中一种纸片的数量，使之能够拼成一个长方形.既培养了学生的合作意识，也让学生初步掌握分类讨论的数学思想方法.
活动二：延伸与拓展
1. 三种纸片各有10张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），能拼成几种不同的正方形，写出拼成的正方形的边长，并说说你的思路.
设计意图：能拼成几种正方形，可以动手操作，也可以从理论上分析.让学生四人小组进行讨论，寻找解决问题的办法，并全班交流. 学生在动手操作后会发现从数的角度分析比较有利，能够考虑比较全面.利用完全平方公式将正方形的面积展开后，只要各项的系数不超过10即可拼出. 这里让学生学会有条理地思考问题.从简单到复杂，当有两个量在变化时，可以先固定一个量，变化另一个量来研究.
2.三种纸片各有20张，从其中取出17张纸片，每种纸片至少取出一张，取出的这些卡纸片能否拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），说说你的理由.
设计意图：引导学生先思考本题中的17指的是什么，从而去分析能拼出的正方形需要的纸片的张数有何特点.当从具体的几个例子中发现规律后，如何证明猜想，这是本节课的难点.学生有了活动一的探索经验作为铺垫，知道从数的角度去考虑一般情形：设a,b的系数为m和n,来表示所拼出的正方形的面积，展开项的各项系数和为m2+2mn+n2 =(m+n)2，是完全平方数. 所以需要的各类纸片的总数也必定是完全平方数，所以17不符合要求，从而拼不出来.这里以数辅形，从数的角度来解决一个看似较复杂的拼图问题，体现数形结合解决问题的优越性.
课堂小结
通过本课的学习，你有哪些收获？课后，你还准备对哪些方面进行进一步的研究？
设计意图：及时回顾，加深对所学知识的理解，并引导学生进行课后的进一步研究，将课堂的研究延续到课外.
结束语
著名数学家华罗庚有一段话:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.
设计意图:以数学家的一段话与学生共勉,再一次感受数形结合的重要性，同时领略数学家的风采，激发学生的学习数学的兴趣,.