5.3.1 函数的单调性（第一课时） 课件（27张ppt）-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1　函数的单调性（第一课时）
?
运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
探究1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象. a= ,b是函数h(t)的零点.
观察图象可以发现：
(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h′(t)>0.
(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h′(t)<0.
在区间(a,b)上， h′(t)>0
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(a,b)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
猜想
x
y
O
y＝x
(1)
x
y
O
y＝x2
(2)
x
y
O
y＝x3
(3)
x
y
O
(4)
探究：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。
x
y
O
f (x)＝x
(1)
x
y
O
f ′(x)＝1
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
x
y
O
f (x) ＝x2
(2)
x
y
O
f ′(x)＝2x
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递增
在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0
x
y
O
f ′ (x) ＝3x2
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
x
y
O
f (x) ＝x3
(3)
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上，f ′ (x)<0
x
y
O
(4)
x
y
O
问题：能否由f′(x)的正负来判断函数f(x)的单调性呢？
f ?(x1)<0
f (x)在x1附近下降
切线“左上右下”
在区间上， f ′(x)<0
在区间上，f (x) 单调递减
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
1、定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,
在某个区间(a,b)上，如果f '(x)> 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递增;
在某个区间(a,b)上，如果f '(x)< 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递减;
反之如何？
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x3+3x; (2) f(x)=sinx-x,x∈(0,π) (3) f(x)＝?????1????.
?
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x3+3x; (2) f(x)=sinx-x,x∈(0,π) (3) f(x)＝?????1????.
?
解：(1)因为f(x)=x3+3x,
所以f '(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.
所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图所示.
(2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π),
所以f '(x)=cosx-1<0.
所以，函数f(x)=sinx-x在(0,π)上单调递减，如图所示.
练习1.判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x2-2x+4; (2)f(x)=ex-x.
解: (1)函数f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
(2)函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.
C
小结反思
C
B