5.3.1　函数的单调性（第二课时）课件（17张ppt）-2021-2022学年高二下学期数学 人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1　函数的单调性（第二课时）
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一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减.
探究1. 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？
利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势：
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
转化
探究2：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.
函数增减的快慢与导数的关系：
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上：
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”.
例2：设x>0,f(x)=lnx,g(x)=1-1????,两个函数的图象如图所示.判断f(x),g(x)的图象与C1,C2之间的对应关系.
?
所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。
课堂小结
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1):求函数定义域
(3)令 ＝0解方程，得方程的根。
(4)列表：方程 ＝0的根将函数的定义域分成若干个区间，利用表格判断各区间的正负。
(5) 大于0的区间是 f(x)的单调递增区间;
小于0的区间是 f(x)的单调递减区间.
(2):求导数
练习2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
(1)f(x)=3x-x3; (2) f(x)=x3-x2-x.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
单调递减
单调递增
单调递减
所以， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，如图所示.
解：（1）函数 的定义域为 .
对 求导数，得
令 ，解得 ，或
解：（2）函数 的定义域为 .
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
单调递增
单调递减
单调递增
所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如图所示.
对 求导数，得
令 ，解得 ，或 .
3.证明函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(0,2)上单调递减.
证明：函数 的定义域为 .
当 时， ，
因此函数 区间 上单调递减.
对 求导数，得