第6章 平面向量及其应用综合（PPT）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)（19张ppt）

(共19张PPT)
第六章 平面向量及其应用
本章总结
知识网络构建
知识网络构建
核心知识归纳
1.五种常见的向量
(1)单位向量：模为1的向量.
(2)零向量：模为0的向量.
(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量.
(4)相等向量：模相等，方向相同的向量.
(5)相反向量：模相等，方向相反的向量.
2.两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
3.两个非零向量平行、垂直的等价条件
若a＝()，b＝()，则：
(1)a∥b a＝λb(λ≠0) x1y2－x2y1＝0，
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
4.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A()，B()，则|AB|.
(3)若a＝()，b＝()，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
三、典型例题
　1.平面向量的线性运算及应用
【例1】　若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B. C. D.
解析　因为＝4＝r＋s，
所以＝ ＝ ( － )＝r ＋s ，
所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝.
答案　C
【类题通法】向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②字符表示下线性运算的常用技巧：
首尾相接用加法的三角形法则；共起点两个向量作差用减法的几何意义.
三、典型例题
【巩固训练1】　如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.2
【解析】因为＝λ ＋μ ＝λ( ＋ )＋μ( ＋ )
＝λ＋μ(－ ＋ )＝(λ－μ)＋，
且 ＝ ＋，所以 得 ，所以λ＋μ＝，故选B.
答案　B
三、典型例题
2.向量的数量积
【例2】　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
解　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝(k>0).
(2)a·b＝＝.由对勾函数的单调性可知，f(k)＝在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
三、典型例题
【类题通法】数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝()，b＝()，a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝()，则|a|＝. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)，cos θ＝.
【巩固训练2】　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则 · 的值为(　　)
A.－ B. C. D.
解析　∵ ＝－，＝＋ ＝＋＝＋，
∴ · ＝(－ )·(＋) ＝
＝×1×1－×1×1－×1×1×cos 60°＝.
答案　B
三、典型例题
3.　平面向量在几何中的应用
【例3】　如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.2
解析　由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则O(0，0)，A(0，)，C(，0)，B(cos 30°，－sin 30°),
因为 ＝λ ＋μ ，所以(，0)＝λ(0，)＋μ，
即 , 则 ,所以λ＋μ＝.
答案　A
三、典型例题
【类题通法】把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.
【巩固训练3】　在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心，证明：EF⊥CD.
证明　建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)，则D，＝ .
易知△ABC的外心F在y轴上，可设为(0，y).
由|AF|＝|CF|，得(y－b)2＝(－a)2＋y2，所以y＝，即F.
由重心坐标公式，得E，所以 ＝ .
所以 · ＝×＋×＝0，所以 ⊥ ，即EF⊥CD.
三、典型例题
4.　利用余弦、正弦定理解三角形
【例4】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
解　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理 得sin B＝cos B，
所以tan B＝，又0(2)因为sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
三、典型例题
【类题通法】1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.
【巩固训练4】　已知在△ABC中，角A，B，C的对应的边分别是a，b，c，且C＝2A，a＋c＝10，cos A＝，求b的值.
解　在△ABC中，由正弦定理得，＝＝＝2cos A＝，∴3a＝2c.又a＋c＝10，所以a＝4，c＝6.
由余弦定理的推论得，cos A＝＝，
代入数据化简得：b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5.
若b＝4，而在△ABC中，a＝4，∴△ABC为等腰三角形，且A＝B，又C＝2A，且A＋B＋C＝180°，∴A＝B＝45°，C＝90°，△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理得c＝4，这与已求出的c＝6相矛盾，故要舍去.
经检验b＝5满足题意.
三、典型例题
5.　余弦、正弦定理在实际问题中的应用
【例5】　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？
解　由题意知AB＝5(3＋) n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得 ＝，∴DB＝＝＝10(n mile)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(n mile)，
在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(n mile).则需要的时间t＝1(h).
答：救援船到达D点需要1 h.
三、典型例题
【类题通法】正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【巩固训练5】　如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？
解：在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，
由余弦定理得，cos∠BDC＝＝＝－，所以cos∠ADC＝，sin∠ADC＝.
在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝.
由正弦定理，得 ＝，所以AD＝×＝15. 故这时此车距离A城15千米．
四、操作演练 素养提升
1.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4　　　B．－3 C．－2　　　D．－1
【解析】因为m＋n＝(2λ＋3,3)，
m－n＝(－1，－1)，
且(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0，
解得λ＝－3.
2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2 .若 · ＝－3，则 · ＝ .
【解析】因为 · ＝·
＝－2－ · ＝－3，所以· ＝。
四、操作演练 素养提升
3.如图所示，在△ABC中，＝ ，P是BN上的一点，若 ＝m ＋ ，则实数m的值为 ．
【解析】设 ＝λ ，
则 ＝＋＝－ ＋m ＋
＝(m-1)＋ .
＝＋＝－＋ .
∵与共线，∴(m－1)＋＝0，
∴m＝.
4.已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解：∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.∵a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos＝|b|×4×＝－4，
∴|b|＝2.∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c，
∴16＝n×(－4)，∴n＝－4.
在c＝ma＋nb两边同乘以a，得0＝8m－4a·b.①
在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.②
由①②，得m＝±，
∴a·b＝±2，
∴cos θ＝＝±，∴θ＝或 .
四、操作演练 素养提升
5.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
[解]　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝82＋52－2×8×5×＝49. 所以AC＝7.
五、课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（ 2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
作业布置
完成教材—— 第59页 复习参考题6 第1，2，3,4,5,6,7,8,910,11,
12,13,14,15,16,17题
不积跬步，无以至千里；
不积小流，无以成江海。