初中数学湘教版七年级下册第三章因式分解 章末检测（提高训练）
一、单选题
1．（2020八上·锡林浩特期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
3．如果257＋513能被n整除，则n的值可能是（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
4．（2019七下·岳阳期中）多项式x2y（a-b）-xy（b-a）+y（a-b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·台湾）下列选项中所表示的数，哪一个与252的最大公因数为42（ ）
A．2×3×52×72 B．2×32×5×72
C．22×3×52×7 D．22×32×5×7
6．（2019七下·灌阳期中）代数式x-2是下列哪一组的公因式（ ）
A．(x+2)2，(x-2)2 B．x2-2x，4x-6
C．3x-6，x2-2x D．x-4，6x-18
7．（2019七上·徐汇月考）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020八下·郑州月考）多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ）
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
9．（2021八上·景县期末）如下列试题，嘉淇的得分是（ ）
姓名：嘉淇 得分：
将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
10．（2020七下·鼎城期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱五中 C．我爱五中 D．五中数学
二、填空题
11．（2020·绍兴模拟）分解因式：3a2﹣12ab+12b2＝ .
12．（2019九上·哈尔滨月考）把多项式 分解因式的结果为 ．
13．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
14．（2015九上·句容竞赛）若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
15．（2020八上·鲤城期中）已知 ， ，则
16．（2020八上·射洪期中）已知 是△ABC的三边的长，且满足 ，则此三角形的形状是 .
三、计算题
17．（2020八上·丰南月考）将下列各式因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
18．已知（10x-31）（13x-17）-（13x-17）（3x-23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值
19．（2017七下·湖州月考）仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
20．（2018七下·来宾期末）
（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（ ）+x（ ）=（ ）2
②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=
③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=
（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果： .
（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）= .
21．（2019八上·唐河期中）
（1）填空： ；
（2）阅读，并解决问题：分解因式
解：设 ，则原式
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
①
②
22．（2020七下·张家界期末）先阅读材料：
分解因式： ．
解：令 ，
则
所以 ．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
23．
（1）因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；
（2）设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x2？求出所有满足条件的 k 的值．若不能，请说明理由．
24．（2020七下·鼎城期中）观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
45+44+43+42+4+1
= ×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）
= ×（46﹣1）
= ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、 ，没有把一个多项式转化为几个整式积的形式，故A不符合题意；
B、把一个多项式转化为几个整式积的形式，故B符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，整式的乘法，故D不是因式分解．
故答案为：B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：257＋513
=（52）7+513
=514+513
=513(5+1)
=513×6，
=30×512,
∴n的值可能是30,
故答案为：B.
【分析】先提取公因数，再根据乘法交换律变形，得出一个因数为30，则可解答.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)= y(a－b)（x2+x+1）．
故答案为：B．
【分析】利用提公因式法进行因式分解，即可得到另一个因式。
5．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵42=2×3×7，
252=22×32×7，
∴2×3×52×72与252的最大公因数为42．
故答案为：A．
【分析】根据42=2×3×7；252=22×32×7来得出正确选项.
6．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A.(x+2)2，(x-2)2，没有公因式；
B.x2-2x=x(x-2)，4x-6=2(2x-3),没有公因式；
C.3x-6=3（x-2），x2-2x=x(x-2),公因式为(x-2)；
D.x-4，6x-18=6（x-3）,没有公因式。
故答案为：C.
【分析】将每个选项中所给的各个多项式分别分解因式，然后根据公因式就是各个多项式系数的最大公约数与相同字母或含字母的式子的最低次幂的积，找出每个选项中所给的两个多项式的公因式即可判断得出答案。
7．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】①16x2 8x＝8x（2x 1）；
②（x 1）2 4（x 1）＋4＝（x 1 2）2＝（x 3）2；
③（x＋1）4 4x（x＋1）2＋4x2＝[（x＋1）2 2x]2＝（x2＋1）2；
④ 4x2 1＋4x＝ （2x 1）2；
∴结果中含有相同因式的是①和④；
故答案为：C.
【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】① ，故该项符合题意；
② ，故该项不符合题意；
③ ，故该项不符合题意；
④ ，故该项不符合题意；
⑤ ，故该项符合题意；
正确的有：①与⑤共2道题，得40分，
故答案为：A．
【分析】根据提公因式法及公式法分解即可．
10．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．
故答案为：C．
【分析】先运用提公因式法，再运用公式法进行因式分解即可．
11．【答案】3（a﹣2b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12ab+12b2＝3（a2﹣4ab+4b2）＝3（a﹣2b）2.
故答案为：3（a﹣2b）2.
【分析】先提取公因式3，然后利用完全平方公式分解即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
13．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
14．【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y),用-1代换，化简结果为1.
15．【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵ ， ，
∴x+y=4，xy=
∴ xy（x+y）=1×4=4
故答案为：4．
【分析】先将因式分解得到xy（x+y），再将x、y的值代入计算即可。
16．【答案】等边三角形
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴a－b=0且b－c=0，
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
故答案为等边三角形.
【分析】根据题意，对式子进行因式分解，将式子变形后，根据非负数的性质即可得到a=b=c，得到答案即可。
17．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
（4）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因数2，再利用完全平方公式分解即可；
（3）先提取公因式a2b，再利用完全平方公式分解即可；
（4）先利用平方差公式分解，再提取公因式即得.
18．【答案】解答: 原式=（13x-17）（10x-31-3x+23）=（13x-17）（7x-8），=（ax+b）（7x+c），所以a=13，b=-17，c=-8，所以a+b+c=13-17-8=-12
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先将原式因式分解，进而得出a，b，c的值，即可得出答案
19．【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等.
20．【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4
（2）（1+x）2018
（3）1-x4n
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；
（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）
=1-x4n.
【分析】①利用提公因式分别求出①②③的结果；②观察①的结果，利用规律直接写出结果即可.
③利用平方差公式进行计算即得结果.
21．【答案】（1）9；3
（2）解：① ，
设 ，则原式 ；
② ，
设 ，
.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）a2+6a+9=(a+3)2，
故答案为：9，3；
【分析】（1）根据完全平方公式可得到结论；
（2）①根据换元法设 ，根据完全平方公式可得结论；②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论.
22．【答案】（1）
（2）解：令 ，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）令 ，
∴
；
【分析】（1）仿照题目中给出的例子，令 ，采用整体思想分解因式即可；（2）仿照题目中给出的例子，令 ，采用整体思想分解因式即可．
23．【答案】（1）解：原式=（3x-y）（x-y+2x）=（3x-y）（3x-y）
=（3x-y）2
（2）解：将 y=kx 代入上式得：（3x-kx）2=[（3-k）x]2=（3-k）2 x2；令（3-k）2=1，3-k=±1，解得：k=4 或 2．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将3x-y看着整体，利用提公因式法可得结果。
（2）将y=kx代入，再根据使化简的结果为x2，由此可建立关于k的方程，解方程求出k的值。
24．【答案】（1）解：x5﹣1
=x5﹣x+x﹣1
=x（x4﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）
（3）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(2)xn﹣1
=xn﹣x+x﹣1
=x（xn-1﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（xn-2+xn-3+…+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（xn-2+xn-3+…+x+1）+1]
=（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）；
【分析】（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘 即可．
1 / 1初中数学湘教版七年级下册第三章因式分解 章末检测（提高训练）
一、单选题
1．（2020八上·锡林浩特期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、 ，没有把一个多项式转化为几个整式积的形式，故A不符合题意；
B、把一个多项式转化为几个整式积的形式，故B符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，整式的乘法，故D不是因式分解．
故答案为：B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
2．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
3．如果257＋513能被n整除，则n的值可能是（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：257＋513
=（52）7+513
=514+513
=513(5+1)
=513×6，
=30×512,
∴n的值可能是30,
故答案为：B.
【分析】先提取公因数，再根据乘法交换律变形，得出一个因数为30，则可解答.
4．（2019七下·岳阳期中）多项式x2y（a-b）-xy（b-a）+y（a-b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)= y(a－b)（x2+x+1）．
故答案为：B．
【分析】利用提公因式法进行因式分解，即可得到另一个因式。
5．（2017·台湾）下列选项中所表示的数，哪一个与252的最大公因数为42（ ）
A．2×3×52×72 B．2×32×5×72
C．22×3×52×7 D．22×32×5×7
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵42=2×3×7，
252=22×32×7，
∴2×3×52×72与252的最大公因数为42．
故答案为：A．
【分析】根据42=2×3×7；252=22×32×7来得出正确选项.
6．（2019七下·灌阳期中）代数式x-2是下列哪一组的公因式（ ）
A．(x+2)2，(x-2)2 B．x2-2x，4x-6
C．3x-6，x2-2x D．x-4，6x-18
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A.(x+2)2，(x-2)2，没有公因式；
B.x2-2x=x(x-2)，4x-6=2(2x-3),没有公因式；
C.3x-6=3（x-2），x2-2x=x(x-2),公因式为(x-2)；
D.x-4，6x-18=6（x-3）,没有公因式。
故答案为：C.
【分析】将每个选项中所给的各个多项式分别分解因式，然后根据公因式就是各个多项式系数的最大公约数与相同字母或含字母的式子的最低次幂的积，找出每个选项中所给的两个多项式的公因式即可判断得出答案。
7．（2019七上·徐汇月考）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
8．（2020八下·郑州月考）多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ）
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】①16x2 8x＝8x（2x 1）；
②（x 1）2 4（x 1）＋4＝（x 1 2）2＝（x 3）2；
③（x＋1）4 4x（x＋1）2＋4x2＝[（x＋1）2 2x]2＝（x2＋1）2；
④ 4x2 1＋4x＝ （2x 1）2；
∴结果中含有相同因式的是①和④；
故答案为：C.
【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案.
9．（2021八上·景县期末）如下列试题，嘉淇的得分是（ ）
姓名：嘉淇 得分：
将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】① ，故该项符合题意；
② ，故该项不符合题意；
③ ，故该项不符合题意；
④ ，故该项不符合题意；
⑤ ，故该项符合题意；
正确的有：①与⑤共2道题，得40分，
故答案为：A．
【分析】根据提公因式法及公式法分解即可．
10．（2020七下·鼎城期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱五中 C．我爱五中 D．五中数学
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．
故答案为：C．
【分析】先运用提公因式法，再运用公式法进行因式分解即可．
二、填空题
11．（2020·绍兴模拟）分解因式：3a2﹣12ab+12b2＝ .
【答案】3（a﹣2b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12ab+12b2＝3（a2﹣4ab+4b2）＝3（a﹣2b）2.
故答案为：3（a﹣2b）2.
【分析】先提取公因式3，然后利用完全平方公式分解即可.
12．（2019九上·哈尔滨月考）把多项式 分解因式的结果为 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
13．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
14．（2015九上·句容竞赛）若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y),用-1代换，化简结果为1.
15．（2020八上·鲤城期中）已知 ， ，则
【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵ ， ，
∴x+y=4，xy=
∴ xy（x+y）=1×4=4
故答案为：4．
【分析】先将因式分解得到xy（x+y），再将x、y的值代入计算即可。
16．（2020八上·射洪期中）已知 是△ABC的三边的长，且满足 ，则此三角形的形状是 .
【答案】等边三角形
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴a－b=0且b－c=0，
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
故答案为等边三角形.
【分析】根据题意，对式子进行因式分解，将式子变形后，根据非负数的性质即可得到a=b=c，得到答案即可。
三、计算题
17．（2020八上·丰南月考）将下列各式因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
（4）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因数2，再利用完全平方公式分解即可；
（3）先提取公因式a2b，再利用完全平方公式分解即可；
（4）先利用平方差公式分解，再提取公因式即得.
18．已知（10x-31）（13x-17）-（13x-17）（3x-23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值
【答案】解答: 原式=（13x-17）（10x-31-3x+23）=（13x-17）（7x-8），=（ax+b）（7x+c），所以a=13，b=-17，c=-8，所以a+b+c=13-17-8=-12
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先将原式因式分解，进而得出a，b，c的值，即可得出答案
19．（2017七下·湖州月考）仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等.
20．（2018七下·来宾期末）
（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（ ）+x（ ）=（ ）2
②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=
③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=
（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果： .
（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）= .
【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4
（2）（1+x）2018
（3）1-x4n
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；
（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）
=1-x4n.
【分析】①利用提公因式分别求出①②③的结果；②观察①的结果，利用规律直接写出结果即可.
③利用平方差公式进行计算即得结果.
21．（2019八上·唐河期中）
（1）填空： ；
（2）阅读，并解决问题：分解因式
解：设 ，则原式
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
①
②
【答案】（1）9；3
（2）解：① ，
设 ，则原式 ；
② ，
设 ，
.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）a2+6a+9=(a+3)2，
故答案为：9，3；
【分析】（1）根据完全平方公式可得到结论；
（2）①根据换元法设 ，根据完全平方公式可得结论；②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论.
22．（2020七下·张家界期末）先阅读材料：
分解因式： ．
解：令 ，
则
所以 ．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
【答案】（1）
（2）解：令 ，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）令 ，
∴
；
【分析】（1）仿照题目中给出的例子，令 ，采用整体思想分解因式即可；（2）仿照题目中给出的例子，令 ，采用整体思想分解因式即可．
23．
（1）因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；
（2）设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x2？求出所有满足条件的 k 的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：原式=（3x-y）（x-y+2x）=（3x-y）（3x-y）
=（3x-y）2
（2）解：将 y=kx 代入上式得：（3x-kx）2=[（3-k）x]2=（3-k）2 x2；令（3-k）2=1，3-k=±1，解得：k=4 或 2．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将3x-y看着整体，利用提公因式法可得结果。
（2）将y=kx代入，再根据使化简的结果为x2，由此可建立关于k的方程，解方程求出k的值。
24．（2020七下·鼎城期中）观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
45+44+43+42+4+1
= ×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）
= ×（46﹣1）
= ．
【答案】（1）解：x5﹣1
=x5﹣x+x﹣1
=x（x4﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）
（3）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(2)xn﹣1
=xn﹣x+x﹣1
=x（xn-1﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（xn-2+xn-3+…+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（xn-2+xn-3+…+x+1）+1]
=（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）；
【分析】（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘 即可．
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