初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.3 垂径定理
一、单选题
1．（2020九上·营口期中）如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
2．（2020九上·江苏月考）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD=2 ，EM=5，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2020九上·凤山期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，水面宽 ，则截面圆心 到水面的距离 是（ ）
A．2 B．3 C． D．2.5
4．（2020九上·防城港期末）如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=8cm，则油面的深度为（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm
5．（2019九上·沙河口期末）如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（ ）
A．3cm B．3 cm C．4cm D．3 cm
6．（2019九上·沭阳月考）已知⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．（2020·常山模拟）如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE：AE=1：4，则CD的长为（ ）
A．10 B．12 C．8 D．9
8．（2020九下·盐都期中）如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
9．（2020九上·民勤月考）如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为 cm.
10．如图，AB为圆O的弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2 ，AB=8 ，则圆O的半径为 ．
11．（2019九上·邗江月考）运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB为8cm，小坑的最大深度为3cm，则该铅球的半径为 cm．
12．（2019九上·宜兴期末）如图，AB是 的直径，弦 于点E， ， ，则 cm.
13．（2019九上·沭阳月考）工程上常用钢珠来测量零件口宽，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠的顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个零件的口宽AB的长度是
三、解答题
14．（2020九上·民勤月考）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
15．（2020九上·兰山期中）往直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 ，求油的最大深度．
16．（2020九上·奉化期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
17．（2020九上·丰台期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径．
18．（2019九上·西城期中）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM= =8，
在Rt△OAM中，OA= =10，
∴圆的直径为20.
故答案为：C.
【分析】连接OA，即可证得△OMA是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长，即⊙O的半径.
2．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2 ，
∴CM=DM= ，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+（ ）2，
解得R=3.
故答案为：B.
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： ， 过圆心 点，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出 即可.
4．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=8cm，
∴AD= AB=4cm，
在Rt△AOD中，OD= = =3（cm），
∴油面深度为：5-3=2（cm）
故答案为：A．
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可求出AD的长，再在Rt△AOD中，利用勾股定理求出OD的长即可得到答案．
5．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解.
6．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM= AB，
由勾股定理可得，AM= =4，
所以AB=2AM=8.
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得出AM= AB，然后由勾股定理算出AM的长，从而即可得出AB的长.
7．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵BE：AE=1：4 ，设BE=x，AE=4x
∴AB=BE+AE=5x
∵AB=10
∴5x=10，即x=2
∵OC=OB=5
∴OE=OB-BE=5-2=3
∴在Rt△OCE中，
∴
∴CD=2CE=8
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理，首先根据线段的比例关系利用方程的思想求出线段OE的长度，再根据勾股定理求出CE的长度，最后根据垂径定理即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长.
9．【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
CE＝ CD＝ ×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为：2.
【分析】过O作OE⊥AB，垂足为E，根据垂径定理可得点E为CD、AB的中点，即可得AC的长度.
10．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA；
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2 ；
∵OC⊥AB，
∴AE=BE= ；
在Rt△AOE中： ，
解得：
故答案为： ．
【分析】连接OA，设圆的半径为x，借助垂径定理求出AE的长度，然后利用勾股定理列方程即可解决问题．
11．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：作OD⊥AB于D，
∵AB＝8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为3cm，
∴AD＝ AB＝4cm．
设OA＝rcm，则OD＝（r 3）cm，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（r 3）2＋42，
解得r＝ ，即该铅球的半径为 cm，
故答案为 ．
【分析】如图，作OD⊥AB于D．设OA＝rcm，则OD＝（r 3）cm，在Rt△OAD中，根据OA2＝OD2＋AD2，构建方程即可解决问题．
12．【答案】9
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： ，AB是直径，
，
在 中， ，
，
故答案为9.
【分析】根据垂径定理推出 ，再利用勾股定理求出OE即可解决问题.
13．【答案】8 mm
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm.
故答案为：8 mm.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得出AB=2AD，在Rt△AOD中，利用勾股定理算出AD的长，从而即可得出答案.
14．【答案】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AB于E，交CD于F ，根据垂径定理可得点E、F分别为AB、CD的中点，根据勾股定理可得OE、OF的长度，再分类讨论弦AB、CD在圆心的同侧 EF＝ OE-OF或弦AB、CD在圆心的异侧 EF＝ OE+OF即可.
15．【答案】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．
∵OC⊥AB于点D
∴BD＝ AB＝ ×60＝30cm，
∵⊙O的直径为68cm
∴OB=OC＝34cm
∵在Rt△ODB中，OD= （cm），
∴DC＝OC﹣OD＝34﹣16＝18（cm）；
答：油的最大深度为18cm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
16．【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302，解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】 设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x， 连结OA，OA'，利用垂径定理求出AM的长，结合已知量把QM用含x的代数式表示，在Rt△AMQ中，利用勾股定理列式求出x， 于是在Rt△A'ON中，由勾股定理列式可求A'N的长，则A'B'长可求，最后和30m作比较，可得判断.
17．【答案】解：连接
过圆心， 为 中点，
，
为 中点，
，
设半径为 分米，则 ，
，
，
在 中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是 分米．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】本题先利用垂径定理求出AC的长度，再利用勾股定理求解即可。
18．【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
答：这个孔道的直径为8mm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.3 垂径定理
一、单选题
1．（2020九上·营口期中）如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM= =8，
在Rt△OAM中，OA= =10，
∴圆的直径为20.
故答案为：C.
【分析】连接OA，即可证得△OMA是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长，即⊙O的半径.
2．（2020九上·江苏月考）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD=2 ，EM=5，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2 ，
∴CM=DM= ，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+（ ）2，
解得R=3.
故答案为：B.
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可.
3．（2020九上·凤山期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，水面宽 ，则截面圆心 到水面的距离 是（ ）
A．2 B．3 C． D．2.5
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： ， 过圆心 点，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出 即可.
4．（2020九上·防城港期末）如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=8cm，则油面的深度为（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=8cm，
∴AD= AB=4cm，
在Rt△AOD中，OD= = =3（cm），
∴油面深度为：5-3=2（cm）
故答案为：A．
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可求出AD的长，再在Rt△AOD中，利用勾股定理求出OD的长即可得到答案．
5．（2019九上·沙河口期末）如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（ ）
A．3cm B．3 cm C．4cm D．3 cm
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解.
6．（2019九上·沭阳月考）已知⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM= AB，
由勾股定理可得，AM= =4，
所以AB=2AM=8.
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得出AM= AB，然后由勾股定理算出AM的长，从而即可得出AB的长.
7．（2020·常山模拟）如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE：AE=1：4，则CD的长为（ ）
A．10 B．12 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵BE：AE=1：4 ，设BE=x，AE=4x
∴AB=BE+AE=5x
∵AB=10
∴5x=10，即x=2
∵OC=OB=5
∴OE=OB-BE=5-2=3
∴在Rt△OCE中，
∴
∴CD=2CE=8
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理，首先根据线段的比例关系利用方程的思想求出线段OE的长度，再根据勾股定理求出CE的长度，最后根据垂径定理即可得到答案.
8．（2020九下·盐都期中）如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长.
二、填空题
9．（2020九上·民勤月考）如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为 cm.
【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
CE＝ CD＝ ×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为：2.
【分析】过O作OE⊥AB，垂足为E，根据垂径定理可得点E为CD、AB的中点，即可得AC的长度.
10．如图，AB为圆O的弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2 ，AB=8 ，则圆O的半径为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA；
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2 ；
∵OC⊥AB，
∴AE=BE= ；
在Rt△AOE中： ，
解得：
故答案为： ．
【分析】连接OA，设圆的半径为x，借助垂径定理求出AE的长度，然后利用勾股定理列方程即可解决问题．
11．（2019九上·邗江月考）运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB为8cm，小坑的最大深度为3cm，则该铅球的半径为 cm．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：作OD⊥AB于D，
∵AB＝8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为3cm，
∴AD＝ AB＝4cm．
设OA＝rcm，则OD＝（r 3）cm，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（r 3）2＋42，
解得r＝ ，即该铅球的半径为 cm，
故答案为 ．
【分析】如图，作OD⊥AB于D．设OA＝rcm，则OD＝（r 3）cm，在Rt△OAD中，根据OA2＝OD2＋AD2，构建方程即可解决问题．
12．（2019九上·宜兴期末）如图，AB是 的直径，弦 于点E， ， ，则 cm.
【答案】9
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： ，AB是直径，
，
在 中， ，
，
故答案为9.
【分析】根据垂径定理推出 ，再利用勾股定理求出OE即可解决问题.
13．（2019九上·沭阳月考）工程上常用钢珠来测量零件口宽，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠的顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个零件的口宽AB的长度是
【答案】8 mm
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm.
故答案为：8 mm.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得出AB=2AD，在Rt△AOD中，利用勾股定理算出AD的长，从而即可得出答案.
三、解答题
14．（2020九上·民勤月考）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
【答案】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AB于E，交CD于F ，根据垂径定理可得点E、F分别为AB、CD的中点，根据勾股定理可得OE、OF的长度，再分类讨论弦AB、CD在圆心的同侧 EF＝ OE-OF或弦AB、CD在圆心的异侧 EF＝ OE+OF即可.
15．（2020九上·兰山期中）往直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 ，求油的最大深度．
【答案】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．
∵OC⊥AB于点D
∴BD＝ AB＝ ×60＝30cm，
∵⊙O的直径为68cm
∴OB=OC＝34cm
∵在Rt△ODB中，OD= （cm），
∴DC＝OC﹣OD＝34﹣16＝18（cm）；
答：油的最大深度为18cm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
16．（2020九上·奉化期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302，解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】 设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x， 连结OA，OA'，利用垂径定理求出AM的长，结合已知量把QM用含x的代数式表示，在Rt△AMQ中，利用勾股定理列式求出x， 于是在Rt△A'ON中，由勾股定理列式可求A'N的长，则A'B'长可求，最后和30m作比较，可得判断.
17．（2020九上·丰台期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径．
【答案】解：连接
过圆心， 为 中点，
，
为 中点，
，
设半径为 分米，则 ，
，
，
在 中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是 分米．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】本题先利用垂径定理求出AC的长度，再利用勾股定理求解即可。
18．（2019九上·西城期中）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．
【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
答：这个孔道的直径为8mm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
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