2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质 同步练习
一、单选题
1．（2019七上·黑龙江期末）如图所示，将长方形ABCD的一角沿AE折叠，若∠BAD′=40°，那么∠EAD′的度数为（ ）
A．20 B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】因为∠BAD′=40°，所以∠DAD =50°，
由折叠可知：∠DAE=∠D AE=∠DAD =25°。
故答案为：B。
【分析】根据折叠的性质可知∠DAE=∠D AE=∠DAD ，再通过计算即可。
2．（2019七上·武威期末）如图是一条停泊在平静湖面上的小船，那么表示它在湖中倒影的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，
易得船头应向左，红旗飘的方向应向右，
故答案为：B．
【分析】因为停泊在平静湖面上的小船与它在湖中倒影成轴对称，所以根据轴对称的性质即可判断求解。
3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）
A．形状没有改变，大小没有改变 B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变 D．形状有改变，大小有改变
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，
∴与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变。
故答案为：A。
【分析】轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形，根据性质可知选项A符合题意。
4．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）
A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直线l⊥BB′ D．∠A′=120°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】由图形可知：
A、点A和B对称点是点A′和B′，所以AB=A′B′．故A不符合题意；
B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以BC∥D′E′，DE∥B′C′．故B符合题意；
C、点B、E对称点分别是点B′、E′，所以BB’⊥直线l．故C不符合题意；
D、正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形，则∠A′=120°．故D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】由已知条件和图形可知：点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以根据轴对称的性质可得BC∥D′E′，DE∥B′C′，所以选项B符合题意。
5．（2019八上·黑龙江期末）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC=4cm，△ADC的周长为15cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．11cm C．13cm D．19cm
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由题意知沿DE折叠，故AD=BD，
又∵△ADC的周长=AD+DC+AC=15，
∴AD+DC=11，
即BC=BD+DC=11。
故答案为：B。
【分析】由折叠的性质可知：AD=BD，再根据三角形的周长为三边和通过转换即可求出BC。
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
⑴F，R，P，J，L，G，（ ）
⑵H，I，O，（ ）
⑶N，S，（ ）
⑷B，C，K，E，（ ）
⑸V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X
C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：⑴不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
⑵有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
⑶是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
⑷是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
⑸是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故答案为：D．
【分析】观察各组中字母的共同特点，找到规律.分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断.
7．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠1=∠3=∠4=40°
∴∠5=∠2==70°。
故答案为：D。
【分析】根据折叠的性质以及平行线的性质可得∠1=∠3=∠4，根据补角的性质求出∠2即可。
8．（2019八上·嘉荫期中）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】本题的依据就是两点之间线段最短.首先作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q就是最短的路程.
故答案为：D.
【分析】根据两点之间线段最短，可以作点P作关于l的对称点，连接Q点和对称点与河流有交点，该交点即为最佳的铺设点。
9．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′（2）∠BAC=∠B′A′C′（3）直线L垂直平分CC′（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）正确；
（2.）正确；
（3.）正确；
（4.）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．
故选B．
【分析】根据轴对称的性质求解．
10．已知△ABC关于直线MN对称，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC中必有一个顶点在直线MN上
B．△ABC中必有两个角相等
C．△ABC中，必有两条边相等
D．△ABC中必有有一个角等于60°
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵△ABC关于直线MN对称，
∴△ABC为等腰三角形，其对角线为底边上的高所在的直线．
A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上，故本选项正确；
B、△ABC中必有两个角相等，故本选项正确；
C、△ABC中，必有两条边相等，故本选项正确；
D、当该等腰三角形是等边三角形时，△ABC中有一个角等于60°，故本选项错误。
故答案为：D
【分析】轴对称图形的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。根据性质可知选项A、B、C都不符合题意，只有选项D符合题意。
二、填空题
11．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B=20°，则∠E= °．
【答案】20
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵风筝的图案是轴对称图形，
∴∠E=∠B=20°．
故答案为：20．
【分析】根据轴对称图形的性质得∠E=∠B，即可求得.
12．如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为 cm．
【答案】18
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
【分析】根据对称轴的性质，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长=PN+PM+MN，从而求解.轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等
13．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：
①∠1=∠2；②△ANC≌△AMB；③CD=DN．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②
【知识点】全等三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠MAD=∠NAD，∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD﹣∠MAD=∠FAD﹣∠NAD，
即：∠1=∠2，故正确；
②∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠B=∠C，AC=AB，
在△ANC与△AMB中，
，
∴△ANC≌△AMB，故正确；
③易得：CD=BD，
但在三角形DNB中，DN不一定等于BD，
故错误．
故答案为：①②．
【分析】根据轴对称的性质可得∠EAD﹣∠MAD=∠FAD﹣∠NAD，从而证得①正确；根据轴对称的性质和ASA可得②正确；根据轴对称的性质易得CD=BD，而DN不一定等于BD，可得③不正确.
14．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．
【答案】3
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则：
①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；
②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内．
所以跳行的最少步数为3步．
【分析】根据轴对称的基本性质解答.分两种来看：点A从右边通过3次轴对称后；点A从左边通过4次轴对称后。对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称的性质找到最短的路线是解题的关键.
15．（2018八上·天台月考）如图，P为△ABC内的一点，D，E，F分别是点P关于边AB，BC，CA所在直线的对称点，那么∠ADB+∠BEC+∠CFA= °.
【答案】360
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接PA，PB，PC，
∵点D，E，F分别是点P关于AB，BC，CA的对称点，
∴
∵∠APB+ ∠BPC+ ∠APC=360 ，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=360 .
故答案为：360 .
【分析】连接PA，PB，PC，由对称性可得 而∠APB+ ∠BPC+ ∠APC组成的是一个周角，依此可求得∠ADB+∠BEC+∠CFA的度数。
16．如图，石头A和石头B相距80cm，且关于竹竿l对称，一只电动青蛙在距竹竿30cm，距石头A为60cm的P1处，按如图所示的顺序循环跳跃．青蛙跳跃25次后停下，此时它与石头A相距 cm，与竹竿l相距 cm．
【答案】60；50
【知识点】轴对称的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，
青蛙跳跃25次后停下，停在P2处，P2A=P1A=60cm，
∵点B是P3P4的中点，点A是P2P1的中点，
∴AB是梯形P1P2P3P4的中位线，
∴P2P3+P1P4=2AB，即（P2P3+P1P4）÷2=80，（P2P3+60）÷2=80，
解得：P2P3=100．P2与竹竿l相距100÷2=50cm．
故答案为：60、50．
【分析】先根据对称的定义画出图形，找到25次后的位置P2，然后根据对称定义和梯形中位线定义求解距离.注意：对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等.
三、解答题
17．如图，点P是∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点E、F，连接EF交OA于M，交OB于N，EF=15，求△PMN的周长．
【答案】解：∵P点关于OA、OB的对称点分别为E、F，
∴PM=EM，PN=FN，
∴△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF，
∵EF=15，
∴△PMN的周长=15．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质“
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”可得
PM=EM，PN=FN， 由图可得
△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF。
18．（2018八上·泰州期中）如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【答案】解：设小河为直线MN，如图，
作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线．在Rt△A′DB中，由勾股定理得：
A′B= = =8（km）．
答：他要完成这件事情所走的最短路程是8km．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 利用轴对称求最短问题，设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线 ，根据勾股定理即可算出A'B的长，从而得出答案。
19．（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
【答案】（1）解：作点 关于角两边的对称点然后连接，交两边于
（2）解：作点 关于 的对称点 ，根据垂线段最短，作 与 的交点即为所求作的点
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先确定点M关于两边的对称点，然后连接两个对称点，与角的两边的交点即为P、Q，从而构成的三角形的周长最小；
（2）先做M关于OB的对称点，然后过对称点和P作垂线即可得出结论.
20．数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12×231=132×21；仿照上面的形式填空，并判断等式是否成立：
（1）12×462= × （ ），
（2）18×891= × （ ）．
【答案】（1）264；21；√
（2）198；81；√
【知识点】轴对称的性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据等号左边的式子与右边的式子关于等号对称，
（ 1 ）12×462=264×21，
∵12×462=5544，264×21=5544，
∴12×462=264×21正确；
（ 2 ）18×891=198×81，
∵18×891=16038，198×81=16038，
∴18×891=198×81，正确．
故答案为：264，21，√，198，81，√．
【分析】根据等号左边的式子与右边的式子关于等号对称，进行填空，然后计算判断即可.正确理解对称形式是解决本题的关键.
21．（2018八上·林州期末）如图,把△ABC沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内部的点A'处.
（1）写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角.
（2）设∠AED的度数为x,∠ADE的度数为y,那么∠1,∠2的度数分别是多少(用含有x或y的式子表示)
（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个规律.
【答案】（1）解：由轴对称的性质可得：△EAD≌△EA'D,其中∠EAD=∠EA'D,∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE
（2）解：结合（1）的结论，根据平角的定义可得：∠1=180°-2x，∠2=180°-2y
（3）解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°①；
在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED=180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；
①+②-③得，2∠A=∠1+∠2
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质得出 △EAD≌△EA'D,其对应角是∠EAD=∠EA'D,∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE；
（2）根据（1）得出∠AED=∠A'ED=x,,∠ADE=∠A'DE=y，利用平角的定义得出 ∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
（3）根据三角形的内角和得出 ∠A+∠B+∠C=180°①； ∠A+∠ADE+∠AED=180°②；根据四边形的内角和得出
∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；根据等式的性质，由①+②-③得出结论：2∠A=∠1+∠2。
22．（2017八上·广水期中）资料：小球沿直线撞击水平格档反弹时（不考虑垂直撞击），撞击路线与水平格档所成的锐角等于反弹路线与水平格档所成的锐角．以图（1）为例，如果黑球 沿从 到 方向在 点处撞击 边后将沿从 到 方向反弹，根据反弹原则可知 ，即 ．如图（2）和（3）， 是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球 和 ，小球沿直线撞击各边反弹时遵循资料中的反弹原则．（回答以下问题时将黑白两球均看作几何图形中的点，不考虑其半径大小）
（1）探究（1）：黑球 沿直线撞击台边 哪一点时，可以使黑球 经台边 反弹一次后撞击到白球 请在图（2）中画出黑球 的路线图，标出撞击点，并简单证明所作路线是否符合反弹原则.
（2）探究（2）：黑球 沿直线撞击台边 哪一点时，可以使黑球 先撞击台边 反弹一次后，再撞击台边 反弹一次撞击到白球 请在图（3）中画出黑球 的路线图，标出黑球撞击 边的撞击点，简单说明作法，不用证明．
【答案】（1）解：作法：如图以直线 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
则点 为撞击点， 和 为黑球 的路线.
证明：因为 和 关于直线 对称，点 在 上，
所以 和 也关于 对称，
因为 和 是对应角，
所以 ，
又 （对顶角相等），
所以 ，即符合反弹原则
（2）解：以直线
为对称轴作点 的对称点 ，再以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．
则点 为 边的撞击点， ， ， 为球 的路线.
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1） 如图以直线 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 则点 为撞击点， 和 为黑球 的路线，根据轴对称的性质得出 = ，根据等边对等角得出 ，又根据对顶角相等得出 ，故 符合反弹原则；
（2） 根据轴对称的性质，及等边对等角得出：以直线 为对称轴作点 的对称点 ，再以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ； 则点 为 边的撞击点， ， ， 为球 的路线.
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质 同步练习
一、单选题
1．（2019七上·黑龙江期末）如图所示，将长方形ABCD的一角沿AE折叠，若∠BAD′=40°，那么∠EAD′的度数为（ ）
A．20 B．25° C．40° D．50°
2．（2019七上·武威期末）如图是一条停泊在平静湖面上的小船，那么表示它在湖中倒影的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）
A．形状没有改变，大小没有改变 B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变 D．形状有改变，大小有改变
4．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）
A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直线l⊥BB′ D．∠A′=120°
5．（2019八上·黑龙江期末）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC=4cm，△ADC的周长为15cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．11cm C．13cm D．19cm
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
⑴F，R，P，J，L，G，（ ）
⑵H，I，O，（ ）
⑶N，S，（ ）
⑷B，C，K，E，（ ）
⑸V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X
C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
7．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．（2019八上·嘉荫期中）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′（2）∠BAC=∠B′A′C′（3）直线L垂直平分CC′（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知△ABC关于直线MN对称，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC中必有一个顶点在直线MN上
B．△ABC中必有两个角相等
C．△ABC中，必有两条边相等
D．△ABC中必有有一个角等于60°
二、填空题
11．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B=20°，则∠E= °．
12．如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为 cm．
13．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：
①∠1=∠2；②△ANC≌△AMB；③CD=DN．其中正确的结论是 ．（填序号）
14．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．
15．（2018八上·天台月考）如图，P为△ABC内的一点，D，E，F分别是点P关于边AB，BC，CA所在直线的对称点，那么∠ADB+∠BEC+∠CFA= °.
16．如图，石头A和石头B相距80cm，且关于竹竿l对称，一只电动青蛙在距竹竿30cm，距石头A为60cm的P1处，按如图所示的顺序循环跳跃．青蛙跳跃25次后停下，此时它与石头A相距 cm，与竹竿l相距 cm．
三、解答题
17．如图，点P是∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点E、F，连接EF交OA于M，交OB于N，EF=15，求△PMN的周长．
18．（2018八上·泰州期中）如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
19．（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
20．数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12×231=132×21；仿照上面的形式填空，并判断等式是否成立：
（1）12×462= × （ ），
（2）18×891= × （ ）．
21．（2018八上·林州期末）如图,把△ABC沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内部的点A'处.
（1）写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角.
（2）设∠AED的度数为x,∠ADE的度数为y,那么∠1,∠2的度数分别是多少(用含有x或y的式子表示)
（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个规律.
22．（2017八上·广水期中）资料：小球沿直线撞击水平格档反弹时（不考虑垂直撞击），撞击路线与水平格档所成的锐角等于反弹路线与水平格档所成的锐角．以图（1）为例，如果黑球 沿从 到 方向在 点处撞击 边后将沿从 到 方向反弹，根据反弹原则可知 ，即 ．如图（2）和（3）， 是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球 和 ，小球沿直线撞击各边反弹时遵循资料中的反弹原则．（回答以下问题时将黑白两球均看作几何图形中的点，不考虑其半径大小）
（1）探究（1）：黑球 沿直线撞击台边 哪一点时，可以使黑球 经台边 反弹一次后撞击到白球 请在图（2）中画出黑球 的路线图，标出撞击点，并简单证明所作路线是否符合反弹原则.
（2）探究（2）：黑球 沿直线撞击台边 哪一点时，可以使黑球 先撞击台边 反弹一次后，再撞击台边 反弹一次撞击到白球 请在图（3）中画出黑球 的路线图，标出黑球撞击 边的撞击点，简单说明作法，不用证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】因为∠BAD′=40°，所以∠DAD =50°，
由折叠可知：∠DAE=∠D AE=∠DAD =25°。
故答案为：B。
【分析】根据折叠的性质可知∠DAE=∠D AE=∠DAD ，再通过计算即可。
2．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，
易得船头应向左，红旗飘的方向应向右，
故答案为：B．
【分析】因为停泊在平静湖面上的小船与它在湖中倒影成轴对称，所以根据轴对称的性质即可判断求解。
3．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，
∴与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变。
故答案为：A。
【分析】轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形，根据性质可知选项A符合题意。
4．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】由图形可知：
A、点A和B对称点是点A′和B′，所以AB=A′B′．故A不符合题意；
B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以BC∥D′E′，DE∥B′C′．故B符合题意；
C、点B、E对称点分别是点B′、E′，所以BB’⊥直线l．故C不符合题意；
D、正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形，则∠A′=120°．故D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】由已知条件和图形可知：点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以根据轴对称的性质可得BC∥D′E′，DE∥B′C′，所以选项B符合题意。
5．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由题意知沿DE折叠，故AD=BD，
又∵△ADC的周长=AD+DC+AC=15，
∴AD+DC=11，
即BC=BD+DC=11。
故答案为：B。
【分析】由折叠的性质可知：AD=BD，再根据三角形的周长为三边和通过转换即可求出BC。
6．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：⑴不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
⑵有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
⑶是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
⑷是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
⑸是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故答案为：D．
【分析】观察各组中字母的共同特点，找到规律.分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断.
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠1=∠3=∠4=40°
∴∠5=∠2==70°。
故答案为：D。
【分析】根据折叠的性质以及平行线的性质可得∠1=∠3=∠4，根据补角的性质求出∠2即可。
8．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】本题的依据就是两点之间线段最短.首先作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q就是最短的路程.
故答案为：D.
【分析】根据两点之间线段最短，可以作点P作关于l的对称点，连接Q点和对称点与河流有交点，该交点即为最佳的铺设点。
9．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）正确；
（2.）正确；
（3.）正确；
（4.）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．
故选B．
【分析】根据轴对称的性质求解．
10．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵△ABC关于直线MN对称，
∴△ABC为等腰三角形，其对角线为底边上的高所在的直线．
A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上，故本选项正确；
B、△ABC中必有两个角相等，故本选项正确；
C、△ABC中，必有两条边相等，故本选项正确；
D、当该等腰三角形是等边三角形时，△ABC中有一个角等于60°，故本选项错误。
故答案为：D
【分析】轴对称图形的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。根据性质可知选项A、B、C都不符合题意，只有选项D符合题意。
11．【答案】20
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵风筝的图案是轴对称图形，
∴∠E=∠B=20°．
故答案为：20．
【分析】根据轴对称图形的性质得∠E=∠B，即可求得.
12．【答案】18
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
【分析】根据对称轴的性质，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长=PN+PM+MN，从而求解.轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等
13．【答案】①②
【知识点】全等三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠MAD=∠NAD，∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD﹣∠MAD=∠FAD﹣∠NAD，
即：∠1=∠2，故正确；
②∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠B=∠C，AC=AB，
在△ANC与△AMB中，
，
∴△ANC≌△AMB，故正确；
③易得：CD=BD，
但在三角形DNB中，DN不一定等于BD，
故错误．
故答案为：①②．
【分析】根据轴对称的性质可得∠EAD﹣∠MAD=∠FAD﹣∠NAD，从而证得①正确；根据轴对称的性质和ASA可得②正确；根据轴对称的性质易得CD=BD，而DN不一定等于BD，可得③不正确.
14．【答案】3
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则：
①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；
②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内．
所以跳行的最少步数为3步．
【分析】根据轴对称的基本性质解答.分两种来看：点A从右边通过3次轴对称后；点A从左边通过4次轴对称后。对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称的性质找到最短的路线是解题的关键.
15．【答案】360
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接PA，PB，PC，
∵点D，E，F分别是点P关于AB，BC，CA的对称点，
∴
∵∠APB+ ∠BPC+ ∠APC=360 ，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=360 .
故答案为：360 .
【分析】连接PA，PB，PC，由对称性可得 而∠APB+ ∠BPC+ ∠APC组成的是一个周角，依此可求得∠ADB+∠BEC+∠CFA的度数。
16．【答案】60；50
【知识点】轴对称的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，
青蛙跳跃25次后停下，停在P2处，P2A=P1A=60cm，
∵点B是P3P4的中点，点A是P2P1的中点，
∴AB是梯形P1P2P3P4的中位线，
∴P2P3+P1P4=2AB，即（P2P3+P1P4）÷2=80，（P2P3+60）÷2=80，
解得：P2P3=100．P2与竹竿l相距100÷2=50cm．
故答案为：60、50．
【分析】先根据对称的定义画出图形，找到25次后的位置P2，然后根据对称定义和梯形中位线定义求解距离.注意：对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等.
17．【答案】解：∵P点关于OA、OB的对称点分别为E、F，
∴PM=EM，PN=FN，
∴△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF，
∵EF=15，
∴△PMN的周长=15．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质“
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”可得
PM=EM，PN=FN， 由图可得
△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF。
18．【答案】解：设小河为直线MN，如图，
作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线．在Rt△A′DB中，由勾股定理得：
A′B= = =8（km）．
答：他要完成这件事情所走的最短路程是8km．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 利用轴对称求最短问题，设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线 ，根据勾股定理即可算出A'B的长，从而得出答案。
19．【答案】（1）解：作点 关于角两边的对称点然后连接，交两边于
（2）解：作点 关于 的对称点 ，根据垂线段最短，作 与 的交点即为所求作的点
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先确定点M关于两边的对称点，然后连接两个对称点，与角的两边的交点即为P、Q，从而构成的三角形的周长最小；
（2）先做M关于OB的对称点，然后过对称点和P作垂线即可得出结论.
20．【答案】（1）264；21；√
（2）198；81；√
【知识点】轴对称的性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据等号左边的式子与右边的式子关于等号对称，
（ 1 ）12×462=264×21，
∵12×462=5544，264×21=5544，
∴12×462=264×21正确；
（ 2 ）18×891=198×81，
∵18×891=16038，198×81=16038，
∴18×891=198×81，正确．
故答案为：264，21，√，198，81，√．
【分析】根据等号左边的式子与右边的式子关于等号对称，进行填空，然后计算判断即可.正确理解对称形式是解决本题的关键.
21．【答案】（1）解：由轴对称的性质可得：△EAD≌△EA'D,其中∠EAD=∠EA'D,∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE
（2）解：结合（1）的结论，根据平角的定义可得：∠1=180°-2x，∠2=180°-2y
（3）解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°①；
在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED=180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；
①+②-③得，2∠A=∠1+∠2
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质得出 △EAD≌△EA'D,其对应角是∠EAD=∠EA'D,∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE；
（2）根据（1）得出∠AED=∠A'ED=x,,∠ADE=∠A'DE=y，利用平角的定义得出 ∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
（3）根据三角形的内角和得出 ∠A+∠B+∠C=180°①； ∠A+∠ADE+∠AED=180°②；根据四边形的内角和得出
∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；根据等式的性质，由①+②-③得出结论：2∠A=∠1+∠2。
22．【答案】（1）解：作法：如图以直线 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
则点 为撞击点， 和 为黑球 的路线.
证明：因为 和 关于直线 对称，点 在 上，
所以 和 也关于 对称，
因为 和 是对应角，
所以 ，
又 （对顶角相等），
所以 ，即符合反弹原则
（2）解：以直线
为对称轴作点 的对称点 ，再以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．
则点 为 边的撞击点， ， ， 为球 的路线.
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1） 如图以直线 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 则点 为撞击点， 和 为黑球 的路线，根据轴对称的性质得出 = ，根据等边对等角得出 ，又根据对顶角相等得出 ，故 符合反弹原则；
（2） 根据轴对称的性质，及等边对等角得出：以直线 为对称轴作点 的对称点 ，再以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ； 则点 为 边的撞击点， ， ， 为球 的路线.
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