2020年暑期衔接训练人教版数学七年级下册：第11讲 实数
一、单选题
1．（2020七下·唐山期中）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B．0.5 C．2π D．
2．（2020七下·廊坊期中）有下列实数： ，－π，3.141 59， ， ，12．其中无理数有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2020七下·吉林期中）如图，数轴上点P表示的数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七下·甘南期中）在以下实数： ， ，π2，3.1411， ， ，0.020020002…（每两个2之间零的个数依次增加1）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2020七下·甘南期中）如果 ， ，那么 约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
6．（2020七下·北京期中）估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和6之间 D．6和 之间
7．（2020七下·怀宁期中）设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020七下·上海期中）在数轴上，实数 对应的点在原点的 侧（填“左”或“右”）
10．（2020七下·上海期中）下列各数： （从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有 个．
11．（2020七下·武汉期中）比较两个数的大小： 8.（填“＞”、“＜”、“＝”）
12．（2020七下·咸阳期中）写出一个比 大且比 小的无理数 .
13．（2020七上·奉化期末） ．
14．（2020七下·北京期中）知 ， 为两个连续的整数，且 ，则 ．
15．（2020七下·怀宁期中）计算： - -1= ．
16．（2020七下·武鸣期中）在数轴上与表示 的点距离最近的整数点所表示的数为 ．
17．（2019七下·崇明期末）计算： ．
18．（2017七下·乌海期末）设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[-1.2)＝-1，则下列结论中正确的是 ．①[0)＝0；②[x)-x的最小值是0；③[x)-x的最大值是1；④存在实数x，使[x)-x＝0.5成立．
三、计算题
19．（2017七下·大冶期末）计算：| ﹣2|+ + + ．
20．（2017七下·宁江期末）计算： ﹣ +| ﹣1|．
四、解答题
21．（2019七下·玉州期中）将下列各数填入相应的集合内-7,0.32, ,0, , , , ,0.1010010001….
①有理数集合{ … }
②无理数集合{ … }
③负实数集合{ … }.
22．在数轴上表示下列各数，并用“＞”把它们连起来：
﹣0. ，﹣ ，0， ， ，π，﹣3.14．
23．把下列各数填入相应的括号里
﹣2，100π，﹣5 ，0.8，﹣|+5.2|，0，0.1010010001…，﹣（﹣4 ）
正有理数集合：{ }
整数集合：{ }
负分数集合：{ }
无理数集合：{ }．
24．（2019七上·浙江期中）把下列各数分别填在相应的括号内．
， ，0.57， ，0， ， 3.1415， ，80%，0.1010010001…(小数点后面两个1之间依次多一个0).
整数：{ …}；
无理数：{ …}；
非正数：{ …}．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A． 是无理数，故该选项不符合题意；
B． 0.5是有理数，不是无理数，故该选项符合题意；
C.2π是无理数，故该选项不符合题意；
D． 是无理数，故该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义及无理数的三种表现形式依次作出判断．
2．【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：在下列实数中， 是分数，3.14159是小数， =-3均是有理数，-π， 是无理数，
故答案为：A．
【分析】常见的无理数有三种形式：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③含有π的数，据此即可找出题目中的无理数，需要注意的是所有的分数都是有理数.
3．【答案】D
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D
【分析】由 可得答案．
4．【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】无理数有： …（每两个2之间零的个数依次增加1）；
共有3个无理数
故答案为：B.
【分析】无理数的形式包括：①含 的；②开方开不尽的根式；③无限不循环小数；
5．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【解答】∵ ，∴ = =1.333×10=13.33．
故答案为：C．
【分析】根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
6．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵16<23<25，
∴ ，即4< <5，
故答案为：B.
【分析】根据无理数的估算得出 的大小范围，即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】6< <7，
所以n=6，
故答案为：B.
【分析】本题考查的是无理数的估算，先判断41位于哪两个相邻的平方数之间，再进行开方即可.
8．【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
9．【答案】左
【知识点】实数在数轴上的表示；估算无理数的大小
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 对应的点在原点的左侧．
故答案为：左．
【分析】首先估算得出 ，再判断出 的正负，即可判断得出结论．
10．【答案】3
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】 ， ，0.1020304050607080 (从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零)是无理数，共3个．
故答案为：3．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
11．【答案】＞
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为：＞.
【分析】通过比较这两个数的平方进行判断.
12．【答案】
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小
∴所求的数的绝对值小于2且大于1
∴这样的无理数有无数个，如- 或- 等.
故答案为- .
【分析】由于两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以根据实数大小比较法则求解即可.
13．【答案】5
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】
故填：5.
【分析】
14．【答案】6
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵a，b为两个连续的整数，且 ，
∴a=2，b=3，
∴ 3×2=6．
故答案为：6．
【分析】直接利用 的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．
15．【答案】7-
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=8- -1=7-
故答案为：7- ．
【分析】利用算术平方根计算，然后合并同类项即可求出答案．
16．【答案】3
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9＜11＜12.25，
∴在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是3．
故答案是3．
【分析】根据一个数的平方，正确找到被开方数和哪个完全平方数接近即可．
17．【答案】
【知识点】计算器在数的开方中的应用；实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：-2
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
18．【答案】③④
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：①[0）=1，故本项错误；②[x）-x＞0，但是取不到0，故本项错误；③[x）-x≤1，即最大值为1，故本项正确；④存在实数x，使[x）-x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．
故答案为③④．
【分析】关于实数的新定义问题，根据定义进行判断即可。
19．【答案】解：原式= ﹣2+3+2﹣3=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，平方根、立方根定义计算即可得到结果．
20．【答案】解：原式=2﹣ + ﹣1
= ﹣
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】分别利用算术平方根、立方根、绝对值的性质进行化简，然后再依据实数的加减法则进行计算即可.
21．【答案】{- 7,0.32, ,0, ,…}|{ , ,π,0.1010010001…,…}|{- 7,…}
【知识点】实数及其分类
【解析】【解答】 , .
①有理数集合{- 7,0.32, ,0, ,…}
②无理数集合{ , ,π,0.1010010001…,…}
③负实数集合{- 7,…}
【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率都是无理数；实数包括无理数和有理数；据此判断即可.
22．【答案】解：如图，
π＞ ＞ ＞0＞﹣0. ＞﹣ ＞﹣3.14．
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较
【解析】【分析】数轴上的点与实数是一一对应的关系，数轴上的点比较大小的方法是：左边的数总是小于右边的数．
23．【答案】解：正有理数集合：{0.8，0，﹣（﹣4 ）…}；
整数集合：{﹣2，0，…}；
负分数集合：{﹣5 ，﹣ …}；
无理数集合：{100π，0.1010010001…}
【知识点】实数及其分类
【解析】【分析】根据大于0的有理数是正有理数，可得正有理数集合，根据分母为1的数是整数，可得整数集合，根据小于0的分数是负分数，可得负分数集合，根据无限不循环小数是无理数，可得无理数集合．
24．【答案】解：整数：{ ，0…}；
无理数：{ ，- ， ，0.1010010001…(小数点后面两个1之间依次多一个0). …}
非正数：{ - ，0，- ， 3.1415， …}
【知识点】实数及其分类
【解析】【分析】形如-3、-2、-1、0、1、2、3……是整数，=6，因此0和是整数；无限不循环小数是无理数，如π是无限不循环小数，所以是无理数，另外结果含根式的数为无理数；非整数包括0和负数.
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学七年级下册：第11讲 实数
一、单选题
1．（2020七下·唐山期中）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B．0.5 C．2π D．
【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A． 是无理数，故该选项不符合题意；
B． 0.5是有理数，不是无理数，故该选项符合题意；
C.2π是无理数，故该选项不符合题意；
D． 是无理数，故该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义及无理数的三种表现形式依次作出判断．
2．（2020七下·廊坊期中）有下列实数： ，－π，3.141 59， ， ，12．其中无理数有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：在下列实数中， 是分数，3.14159是小数， =-3均是有理数，-π， 是无理数，
故答案为：A．
【分析】常见的无理数有三种形式：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③含有π的数，据此即可找出题目中的无理数，需要注意的是所有的分数都是有理数.
3．（2020七下·吉林期中）如图，数轴上点P表示的数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D
【分析】由 可得答案．
4．（2020七下·甘南期中）在以下实数： ， ，π2，3.1411， ， ，0.020020002…（每两个2之间零的个数依次增加1）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】无理数有： …（每两个2之间零的个数依次增加1）；
共有3个无理数
故答案为：B.
【分析】无理数的形式包括：①含 的；②开方开不尽的根式；③无限不循环小数；
5．（2020七下·甘南期中）如果 ， ，那么 约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【解答】∵ ，∴ = =1.333×10=13.33．
故答案为：C．
【分析】根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
6．（2020七下·北京期中）估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和6之间 D．6和 之间
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵16<23<25，
∴ ，即4< <5，
故答案为：B.
【分析】根据无理数的估算得出 的大小范围，即可得答案.
7．（2020七下·怀宁期中）设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】6< <7，
所以n=6，
故答案为：B.
【分析】本题考查的是无理数的估算，先判断41位于哪两个相邻的平方数之间，再进行开方即可.
8．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
二、填空题
9．（2020七下·上海期中）在数轴上，实数 对应的点在原点的 侧（填“左”或“右”）
【答案】左
【知识点】实数在数轴上的表示；估算无理数的大小
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 对应的点在原点的左侧．
故答案为：左．
【分析】首先估算得出 ，再判断出 的正负，即可判断得出结论．
10．（2020七下·上海期中）下列各数： （从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有 个．
【答案】3
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】 ， ，0.1020304050607080 (从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零)是无理数，共3个．
故答案为：3．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
11．（2020七下·武汉期中）比较两个数的大小： 8.（填“＞”、“＜”、“＝”）
【答案】＞
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为：＞.
【分析】通过比较这两个数的平方进行判断.
12．（2020七下·咸阳期中）写出一个比 大且比 小的无理数 .
【答案】
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小
∴所求的数的绝对值小于2且大于1
∴这样的无理数有无数个，如- 或- 等.
故答案为- .
【分析】由于两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以根据实数大小比较法则求解即可.
13．（2020七上·奉化期末） ．
【答案】5
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】
故填：5.
【分析】
14．（2020七下·北京期中）知 ， 为两个连续的整数，且 ，则 ．
【答案】6
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵a，b为两个连续的整数，且 ，
∴a=2，b=3，
∴ 3×2=6．
故答案为：6．
【分析】直接利用 的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．
15．（2020七下·怀宁期中）计算： - -1= ．
【答案】7-
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=8- -1=7-
故答案为：7- ．
【分析】利用算术平方根计算，然后合并同类项即可求出答案．
16．（2020七下·武鸣期中）在数轴上与表示 的点距离最近的整数点所表示的数为 ．
【答案】3
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9＜11＜12.25，
∴在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是3．
故答案是3．
【分析】根据一个数的平方，正确找到被开方数和哪个完全平方数接近即可．
17．（2019七下·崇明期末）计算： ．
【答案】
【知识点】计算器在数的开方中的应用；实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：-2
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
18．（2017七下·乌海期末）设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[-1.2)＝-1，则下列结论中正确的是 ．①[0)＝0；②[x)-x的最小值是0；③[x)-x的最大值是1；④存在实数x，使[x)-x＝0.5成立．
【答案】③④
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：①[0）=1，故本项错误；②[x）-x＞0，但是取不到0，故本项错误；③[x）-x≤1，即最大值为1，故本项正确；④存在实数x，使[x）-x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．
故答案为③④．
【分析】关于实数的新定义问题，根据定义进行判断即可。
三、计算题
19．（2017七下·大冶期末）计算：| ﹣2|+ + + ．
【答案】解：原式= ﹣2+3+2﹣3=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，平方根、立方根定义计算即可得到结果．
20．（2017七下·宁江期末）计算： ﹣ +| ﹣1|．
【答案】解：原式=2﹣ + ﹣1
= ﹣
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】分别利用算术平方根、立方根、绝对值的性质进行化简，然后再依据实数的加减法则进行计算即可.
四、解答题
21．（2019七下·玉州期中）将下列各数填入相应的集合内-7,0.32, ,0, , , , ,0.1010010001….
①有理数集合{ … }
②无理数集合{ … }
③负实数集合{ … }.
【答案】{- 7,0.32, ,0, ,…}|{ , ,π,0.1010010001…,…}|{- 7,…}
【知识点】实数及其分类
【解析】【解答】 , .
①有理数集合{- 7,0.32, ,0, ,…}
②无理数集合{ , ,π,0.1010010001…,…}
③负实数集合{- 7,…}
【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率都是无理数；实数包括无理数和有理数；据此判断即可.
22．在数轴上表示下列各数，并用“＞”把它们连起来：
﹣0. ，﹣ ，0， ， ，π，﹣3.14．
【答案】解：如图，
π＞ ＞ ＞0＞﹣0. ＞﹣ ＞﹣3.14．
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较
【解析】【分析】数轴上的点与实数是一一对应的关系，数轴上的点比较大小的方法是：左边的数总是小于右边的数．
23．把下列各数填入相应的括号里
﹣2，100π，﹣5 ，0.8，﹣|+5.2|，0，0.1010010001…，﹣（﹣4 ）
正有理数集合：{ }
整数集合：{ }
负分数集合：{ }
无理数集合：{ }．
【答案】解：正有理数集合：{0.8，0，﹣（﹣4 ）…}；
整数集合：{﹣2，0，…}；
负分数集合：{﹣5 ，﹣ …}；
无理数集合：{100π，0.1010010001…}
【知识点】实数及其分类
【解析】【分析】根据大于0的有理数是正有理数，可得正有理数集合，根据分母为1的数是整数，可得整数集合，根据小于0的分数是负分数，可得负分数集合，根据无限不循环小数是无理数，可得无理数集合．
24．（2019七上·浙江期中）把下列各数分别填在相应的括号内．
， ，0.57， ，0， ， 3.1415， ，80%，0.1010010001…(小数点后面两个1之间依次多一个0).
整数：{ …}；
无理数：{ …}；
非正数：{ …}．
【答案】解：整数：{ ，0…}；
无理数：{ ，- ， ，0.1010010001…(小数点后面两个1之间依次多一个0). …}
非正数：{ - ，0，- ， 3.1415， …}
【知识点】实数及其分类
【解析】【分析】形如-3、-2、-1、0、1、2、3……是整数，=6，因此0和是整数；无限不循环小数是无理数，如π是无限不循环小数，所以是无理数，另外结果含根式的数为无理数；非整数包括0和负数.
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