2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第5讲 勾股定理
一、单选题
1．（2020八下·武汉期中）已知直角三角形的两边长分别为3，5，则第三边长为（ ）
A．4 B．4或 C． D．4或
2．（2020八下·哈尔滨期中）将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
3．（2020八下·长沙期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 ，则正方形A，B，C，D的面积之和为( )
A． B． C． D．
4．（2020八下·滨州月考）边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上， 其中A点表示数-2，C点表示数6，则BD=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2020八下·武汉期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
6．（2020八下·新疆月考）下列说法正确的是（ ）
A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
7．（2020八下·临汾月考）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2，3)，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020八上·邳州期末）如图，一棵大树在离地面3 ，5 两处折成三段，中间一段 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6 处，则大树折断前的高度是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020八上·徐州期末）如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为 的线段有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
11．（2019八上·盐田期中）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高为8，点A离点C的距离是3，点B离点D的距离是2.一只蚂蚁沿长方体表面从点A爬到点B，其最短距离是（）
A． B． C． D．10
12．（2019八下·武安期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．55
二、填空题
13．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ (填“能”或“不能”)．
14．（2020·北京模拟）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为
4 的正方形ABCD的边AB在轴x上，AB的中点是坐标原点O固定点A，B， 把正方形沿箭头方向推，使点
D落在y 轴正半轴上点 D′处，则点C的对应点C′的坐标为
15．（2019八上·朝阳期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是边AB、AC的点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A′恰好落在BC的中点处．若AB＝10，BC＝6，则AE的长为 ．
16．（2019七下·丹阳期中）如图，用两个边长分别为a、b、c的直角三角形（c为斜边）和一个腰长为c的等腰直角三角形拼成一个梯形，用两种不同方法计算这个图形的面积，得到的一个关于a、b、c的等式是 ．
17．（2020八上·乌拉特前旗期末）如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 ．
18．（2018八上·金堂期中）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1= ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2= ；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2019= ．
19．（2019八上·安国期中）如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为 ．
20．（2020·北京模拟）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 向点 运动，同时点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 向点 运动，当点 到达点 时，点 ， 同时停止运动．连接 ， ，设点 运动的时间为 ，若 是以 为底的等腰三角形，则 的值为 ．
三、作图题
21．（2019八上·泰州月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， ， .
四、解答题
22．（2020八下·云县月考）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B.已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.Okm，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
23．（2020八下·凉州月考）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
24．（2019八上·陕西月考）如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF，通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证一条我们学过的定理，该定理的名称是 ，请你写出证明的过程。
25．（2019八下·石台期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．
26．（2019八下·大连月考）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）
27．（2020八下·海安月考）如图，两条公路 、 交予点 ，在公路 旁有一学校 ，与 点的距离为 ，点 （学校）到公路 的距离 为 .一大货车从 点出发，行驶在公路 上，汽车周围 范围内有噪音影响.
（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
（2）若汽车速度为 ，则学校受噪音影响多少秒钟？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当5是直角边时，第三边 ，
当5是斜边时，第三边 ，
所以，第三边长为4或 .
故答案为：D.
【分析】分类讨论：分5是直角边和斜边两种情况讨论求解.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长
由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故答案为：C
【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵A点表示数-2，C点表示数6
∴AC=8
∵AD=5
∴BD=2=6
故答案为：B.
【分析】根据题意，即可得到点A以及点C表示的数，即可根据勾股定理得到BD的长度。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
，
解得，AC2+BC2＝16，
则AB2＝AC2+BC2＝16，
解得，AB＝4，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，根据圆的面积公式计算，得到答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】A. 若 a、b、c是△ABC的三边，但△ABC不一定是直角三角形，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
B. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边，但不确定哪条边为斜边，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
C. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2，故本选项正确；
D. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则c2＋b2＝a2，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方逐一判断即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为(-2，3)
∴利用勾股定理得：OP=
∴OA=OP=
∵点A在x轴的负半轴
∴点A的横坐标为-。
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出OP，进而得OA的长，然后根据点A在x轴的位置得出其横坐标即可。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=5-3=2m，
∵OC=6m，
∴DC=6-2=4m，
∴由勾股定理得：BC= =5m，
∴旗杆的高度为5+5=10m，
故答案为：D.
【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=2m，然后根据OC=6米，得到DC=4 m，最后利用勾股定理得BC的长度即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴是直角边为2、3的直角三角形的斜边长度，
如图所示，AB、CD、BE、DF的长都等于.
故答案为：C
【分析】是直角边长为2,、3的直角三角形的斜边，据此画两条以个点为端点且长度为的线段即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：将长方体的侧面展开，连接AB，根据勾股定理可得，AB=
故答案为：B。
【分析】根据题意，将长方形展开，连接AB两个点即为最短距离，根据勾股定理求出答案即可。
12．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故答案为：C．
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
13．【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
14．【答案】（4， ）
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，AD′＝AD＝4，
AO＝ AB＝2，
∴OD′＝ ，
∵C′D′＝4，C′D′∥AB，
∴C′（4， ），
故答案为：（4， ）．
【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝4，AO＝ AB＝2，根据勾股定理得到OD′＝ ，于是得到结论．
15．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC 8．
∵A'为BC的中点，∴A'C=3，设AE=x，则CE=8﹣x，A'E=x．
∵Rt△A'CE中，CE2+A'C2=A'E2，∴（8﹣x）2+32=x2，解得：x ，∴AE ．
故答案为： ．
【分析】依据勾股定理即可得到AC的长，设AE=x，则CE=8﹣x，A'E=x，利用Rt△A'CE中，CE2+A'C2=A'E2，列方程求解即可．
16．【答案】a2+b2＝c2
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：图形的面积第一种计算方法： ×（a+b）×（a+b），
图形的面积第二种计算方法： ×a×b+ ×c×+ ×a×b，
则 ×（a+b）×（a+b）＝ ×a×b+ ×c×+ ×a×b，
a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
故答案为a2+b2＝c2．
【分析】根据梯形的面积公式求出图形的面积，再利用三角形的面积公式求出图形的面积，计算即可．
17．【答案】15
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，
∵网格中的每个小正方形的边长为1，
∴S△ABC= ×4×3=6，
，
，
∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．
故答案为：15．
【分析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB= ，然后即可确定C点的位置；然后分别计算三个三角形的面积，相加即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得：OP4= ，
∵OP1= ；得OP2= ；
依此类推可得OPn= ，
∴OP2019=
故答案为：
【分析】根据勾股定理分别求出OP4的长，再由OP1 ，OP2，OP3的长找出规律OPn= ，继而求出OP2019的值.
19．【答案】25cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B= = =25（cm）．
故答案为：25cm．
【分析】根据圆柱的侧面积为长方形，两点之间直线最短，可利用勾股定理解出最短距离。
20．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于 ，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
，故答案为： ．
【分析】如图，过点 作 于 ，可得 ， ，由勾股定理可求 的值．
21．【答案】（1）解：如图1所示：正方形ABCD即为所求
（2）解：如图2所示：三角形ABC即为所求.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案；（2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案
22．【答案】解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km.∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，∴AC2+AE2=BE2+DB2，∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，解得：x=1.
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可.
23．【答案】解：设旗杆高AB=xm，则绳子长为AC=(x+2)m.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
所以x2+82=(x+2)2.
解得x=15.
所以旗杆的高度为15米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度AB=x米，则绳子的长度AC=(x+2)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度.
24．【答案】勾股定理
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】证明：∵长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，
∴AC=CF=c，∠ACF=90°,AB=CE=b，BC=EF=a，
∴S梯形ABEF=S△ABC+S△ACF+S△CEF
=
=
=
S梯形ABEF=
=
∴
整理得：a2+b2=c2.
故答案为：勾股定理.
【分析】利用旋转的性质，可证得AC=CF=c，∠ACF=90°,AB=CE=b，BC=EF=a，再由S梯形ABEF=S△ABC+S△ACF+S△CEF，可得到此梯形的面积等于；然后利用梯形的面积公式，可证得此梯形的面积为，继而可证得a，b，c之间的关系，即可证得结论。
25．【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25．
∵BD＞0，
∴BD=1.5米．
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
答：小巷的宽度CD为2.2米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
26．【答案】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=5，CD=3，
根据勾股定理得：BD=4，
∵AB=1，
∴AD=5，
AC= ，
∴这棵数原来的高度=1+ ，
答：这棵树原来的高度为（1+ ）米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 在Rt△BDC中利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ACD中根据勾股定理算出AC的长，从而利用AC+AB即可算出树甲的高度。
27．【答案】（1）解：∵
∴货车开过学校会受噪音影响.
（2）解：以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC.
∵
∴
∴ ，
∴
∵
∴
故若汽车速度为 ，则学校受噪音影响 .
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，即可判断货车开过学校会受噪音影响.（2）以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC，根据勾股定理求出CM、BM的长，即可得到BC的长，即可求解学校受噪音影响的时间.
1 / 12020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第5讲 勾股定理
一、单选题
1．（2020八下·武汉期中）已知直角三角形的两边长分别为3，5，则第三边长为（ ）
A．4 B．4或 C． D．4或
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当5是直角边时，第三边 ，
当5是斜边时，第三边 ，
所以，第三边长为4或 .
故答案为：D.
【分析】分类讨论：分5是直角边和斜边两种情况讨论求解.
2．（2020八下·哈尔滨期中）将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长
由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故答案为：C
【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
3．（2020八下·长沙期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 ，则正方形A，B，C，D的面积之和为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题．
4．（2020八下·滨州月考）边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上， 其中A点表示数-2，C点表示数6，则BD=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵A点表示数-2，C点表示数6
∴AC=8
∵AD=5
∴BD=2=6
故答案为：B.
【分析】根据题意，即可得到点A以及点C表示的数，即可根据勾股定理得到BD的长度。
5．（2020八下·武汉期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
，
解得，AC2+BC2＝16，
则AB2＝AC2+BC2＝16，
解得，AB＝4，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，根据圆的面积公式计算，得到答案.
6．（2020八下·新疆月考）下列说法正确的是（ ）
A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】A. 若 a、b、c是△ABC的三边，但△ABC不一定是直角三角形，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
B. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边，但不确定哪条边为斜边，则a2＋b2不一定等于c2，故本选项错误；
C. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2＋b2＝c2，故本选项正确；
D. 若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则c2＋b2＝a2，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方逐一判断即可.
7．（2020八下·临汾月考）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2，3)，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为(-2，3)
∴利用勾股定理得：OP=
∴OA=OP=
∵点A在x轴的负半轴
∴点A的横坐标为-。
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出OP，进而得OA的长，然后根据点A在x轴的位置得出其横坐标即可。
8．（2020八上·邳州期末）如图，一棵大树在离地面3 ，5 两处折成三段，中间一段 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6 处，则大树折断前的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=5-3=2m，
∵OC=6m，
∴DC=6-2=4m，
∴由勾股定理得：BC= =5m，
∴旗杆的高度为5+5=10m，
故答案为：D.
【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=2m，然后根据OC=6米，得到DC=4 m，最后利用勾股定理得BC的长度即可.
9．（2020八上·徐州期末）如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为 的线段有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴是直角边为2、3的直角三角形的斜边长度，
如图所示，AB、CD、BE、DF的长都等于.
故答案为：C
【分析】是直角边长为2,、3的直角三角形的斜边，据此画两条以个点为端点且长度为的线段即可.
10．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
11．（2019八上·盐田期中）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高为8，点A离点C的距离是3，点B离点D的距离是2.一只蚂蚁沿长方体表面从点A爬到点B，其最短距离是（）
A． B． C． D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：将长方体的侧面展开，连接AB，根据勾股定理可得，AB=
故答案为：B。
【分析】根据题意，将长方形展开，连接AB两个点即为最短距离，根据勾股定理求出答案即可。
12．（2019八下·武安期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．55
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故答案为：C．
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
二、填空题
13．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ (填“能”或“不能”)．
【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
14．（2020·北京模拟）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为
4 的正方形ABCD的边AB在轴x上，AB的中点是坐标原点O固定点A，B， 把正方形沿箭头方向推，使点
D落在y 轴正半轴上点 D′处，则点C的对应点C′的坐标为
【答案】（4， ）
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，AD′＝AD＝4，
AO＝ AB＝2，
∴OD′＝ ，
∵C′D′＝4，C′D′∥AB，
∴C′（4， ），
故答案为：（4， ）．
【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝4，AO＝ AB＝2，根据勾股定理得到OD′＝ ，于是得到结论．
15．（2019八上·朝阳期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是边AB、AC的点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A′恰好落在BC的中点处．若AB＝10，BC＝6，则AE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC 8．
∵A'为BC的中点，∴A'C=3，设AE=x，则CE=8﹣x，A'E=x．
∵Rt△A'CE中，CE2+A'C2=A'E2，∴（8﹣x）2+32=x2，解得：x ，∴AE ．
故答案为： ．
【分析】依据勾股定理即可得到AC的长，设AE=x，则CE=8﹣x，A'E=x，利用Rt△A'CE中，CE2+A'C2=A'E2，列方程求解即可．
16．（2019七下·丹阳期中）如图，用两个边长分别为a、b、c的直角三角形（c为斜边）和一个腰长为c的等腰直角三角形拼成一个梯形，用两种不同方法计算这个图形的面积，得到的一个关于a、b、c的等式是 ．
【答案】a2+b2＝c2
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：图形的面积第一种计算方法： ×（a+b）×（a+b），
图形的面积第二种计算方法： ×a×b+ ×c×+ ×a×b，
则 ×（a+b）×（a+b）＝ ×a×b+ ×c×+ ×a×b，
a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
故答案为a2+b2＝c2．
【分析】根据梯形的面积公式求出图形的面积，再利用三角形的面积公式求出图形的面积，计算即可．
17．（2020八上·乌拉特前旗期末）如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 ．
【答案】15
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，
∵网格中的每个小正方形的边长为1，
∴S△ABC= ×4×3=6，
，
，
∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．
故答案为：15．
【分析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB= ，然后即可确定C点的位置；然后分别计算三个三角形的面积，相加即可.
18．（2018八上·金堂期中）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1= ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2= ；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2019= ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得：OP4= ，
∵OP1= ；得OP2= ；
依此类推可得OPn= ，
∴OP2019=
故答案为：
【分析】根据勾股定理分别求出OP4的长，再由OP1 ，OP2，OP3的长找出规律OPn= ，继而求出OP2019的值.
19．（2019八上·安国期中）如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为 ．
【答案】25cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B= = =25（cm）．
故答案为：25cm．
【分析】根据圆柱的侧面积为长方形，两点之间直线最短，可利用勾股定理解出最短距离。
20．（2020·北京模拟）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 向点 运动，同时点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 向点 运动，当点 到达点 时，点 ， 同时停止运动．连接 ， ，设点 运动的时间为 ，若 是以 为底的等腰三角形，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于 ，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
，故答案为： ．
【分析】如图，过点 作 于 ，可得 ， ，由勾股定理可求 的值．
三、作图题
21．（2019八上·泰州月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， ， .
【答案】（1）解：如图1所示：正方形ABCD即为所求
（2）解：如图2所示：三角形ABC即为所求.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案；（2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案
四、解答题
22．（2020八下·云县月考）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B.已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.Okm，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
【答案】解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km.∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，∴AC2+AE2=BE2+DB2，∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，解得：x=1.
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可.
23．（2020八下·凉州月考）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【答案】解：设旗杆高AB=xm，则绳子长为AC=(x+2)m.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
所以x2+82=(x+2)2.
解得x=15.
所以旗杆的高度为15米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度AB=x米，则绳子的长度AC=(x+2)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度.
24．（2019八上·陕西月考）如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF，通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证一条我们学过的定理，该定理的名称是 ，请你写出证明的过程。
【答案】勾股定理
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】证明：∵长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，
∴AC=CF=c，∠ACF=90°,AB=CE=b，BC=EF=a，
∴S梯形ABEF=S△ABC+S△ACF+S△CEF
=
=
=
S梯形ABEF=
=
∴
整理得：a2+b2=c2.
故答案为：勾股定理.
【分析】利用旋转的性质，可证得AC=CF=c，∠ACF=90°,AB=CE=b，BC=EF=a，再由S梯形ABEF=S△ABC+S△ACF+S△CEF，可得到此梯形的面积等于；然后利用梯形的面积公式，可证得此梯形的面积为，继而可证得a，b，c之间的关系，即可证得结论。
25．（2019八下·石台期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．
【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25．
∵BD＞0，
∴BD=1.5米．
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
答：小巷的宽度CD为2.2米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
26．（2019八下·大连月考）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）
【答案】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=5，CD=3，
根据勾股定理得：BD=4，
∵AB=1，
∴AD=5，
AC= ，
∴这棵数原来的高度=1+ ，
答：这棵树原来的高度为（1+ ）米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 在Rt△BDC中利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ACD中根据勾股定理算出AC的长，从而利用AC+AB即可算出树甲的高度。
27．（2020八下·海安月考）如图，两条公路 、 交予点 ，在公路 旁有一学校 ，与 点的距离为 ，点 （学校）到公路 的距离 为 .一大货车从 点出发，行驶在公路 上，汽车周围 范围内有噪音影响.
（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
（2）若汽车速度为 ，则学校受噪音影响多少秒钟？
【答案】（1）解：∵
∴货车开过学校会受噪音影响.
（2）解：以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC.
∵
∴
∴ ，
∴
∵
∴
故若汽车速度为 ，则学校受噪音影响 .
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，即可判断货车开过学校会受噪音影响.（2）以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC，根据勾股定理求出CM、BM的长，即可得到BC的长，即可求解学校受噪音影响的时间.
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