第一节 探索勾股定理（一）
一、学习目标
1、用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2、经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
3、进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
4、在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过了解勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．
二、学习方法：自主探究与合作交流相结合．
三、学习重难点：勾股定理的简单计算和实际运用
四、学习过程
模块一 预习反馈
1、你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
2、（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图
右图
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（多种方法）
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
3、（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou-gu theorem）：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，
那么有．即直角三角形两直角边的 等于斜边的 ．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）
模块二 合作探究
1、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
3、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？（提示：计算对角线的长度）
模块三 形成提升
一、选择题：
1、如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（ ）．
（A）（B）材（C） （D）无法确定
2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm，cm，则Rt△ABC的面积为（ ）．
（A）24cm2 （B）36cm2 （C）48cm2 （D）60cm2
二、填空题：
1、为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．
2、如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为 m．
三、解答题：
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
模块四 小结评价
1、这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2、对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．
知识：
方法：
课外作业
1、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．
2、底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为 cm．
3、一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km．
4、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端滑动 m．
5、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是 cm2．
6、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝. 他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则
登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km．
7、如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
8、观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.
第一章 勾股定理
1．探索勾股定理（一）
教学目标
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点
重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
教学过程
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。出示投影2。（书中 P3 图1一2）并回答：
1、观察图1一2，正方形A中有 个小方格，即A的面积为个 面积单位。
正方形 B 中有 个小方格．即B的面积为 个面积单位。
正方形 C 中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
在学生交流后形成共识老师板书。A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？
二、做一做出示投影3（书中P3 图1一2，图1一3）
提问： 1、图1一 2中，A 、B、C之间有什么关系？
2、图1 一 3中，A 、 B 、C 之间有什么关系？
3、 从图1一1、1一2 、1一3中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：
以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议
1、图1一1、1一2、1一3中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来．
3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）4，（想一想）：课本第5页随堂练习2中的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？
四、巩固练习精选练习，掌握应用：
勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：
练习1(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
练习2(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；
②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
练习3
已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
(1)高AD的长；
(2)△ABC的面积。
五、作业
课本 P7习题1.1 1、2题
六、教学反思：本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流。适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容在加深。
课件13张PPT。1.1 探索勾股定理(1)八年级数学毕达哥拉斯（公元前572—前497年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.（一）新知引入黑白相间的地砖
相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。
数学小故事 （一）新知引入ABC（二）自主探索一SA+SB=SCa2+b2=c2请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表格，探究规律。 直角三角形三边数量关系SA+SB=SCa2+b2=c2割补思想（二）自主探索二你还能数出图中正方形A、B、C各占多少个小格子吗？完成表格，探究规律。直角三角形
三边数量关系（二）自主探索三a2+b2=c2？勾股弦（三）归纳结论直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。勾股定理：（四）实践应用一，定理应用1、在△ABC中，∠C=90°。若a=6，b=8，则
c= 。
2、在△ABC中，∠C=90°。若c=13，b=12，则
a= 。
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25105D实践应用二：探索情境1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处。大树在折断之前高多
少？实践应用二：探索情境2、某楼发生火灾，消防车立即赶到距大
楼6米的地方搭建云梯，升起云梯到达火灾窗口。已知云梯长10米，问发生
火灾的窗口距离地面多高？
（不计消防车的高度）1、你这节课的主要收获是什么？
2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元
素之间的关系？
3、在探索和验证定理的过程中，我们运用
了哪些方法？
4、你最有兴趣的是什么？你有没有感到困
难的地方？ （五）回顾反思，提炼精华实践应用三：拓展提高1、小明妈妈买来一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？
(582=3364 462=2116 74.032≈5480)1.1探索勾股定理
一、选择题：
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2. △ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（ ）
A． B.
C. D.
3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
二、填空题：
4．在中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
(4) 如果a=15，b=20，则c= .
5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
三、解答题：
6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
参考答案：
一、选择题：1.D 2. B 3.C 二、填空题：4.5; 10; 13; 25 5.169 三、解答题：6.中空正方形的面积为，也可表示为，∴=，整理得.
第一节 探索勾股定理（二）
一、学习目标
1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。，
3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。
二、学习方法
自主探究与合作交流相结合
三、学习重难点：
能熟练应用拼图法（用面积）证明勾股定理．
四、学习过程
模块一 预习反馈
1、查阅资料，网络搜索有关勾股定理的知识。
2、画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，选择自己最喜欢的拼图方法，验证勾股定理。
3、你还知道其它验证勾股定理的方法吗？
归纳梳理：
① 用语言表达勾股定理
② 用式子表达勾股定理
③ 运用勾股定理时该注意些什么?
4、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=5，b=12，则c=________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
（提示先构好图）
4、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
模块二 合作探究
1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
2、如下图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？
3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
4、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？
提示：
① AD 与BD有何关系？
② 设CD=x,则AD=
③ 在△ACD中根据勾股定理可列出
构造方程来解。
模块三 形成提升
1、如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于多少？
2．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
3、如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，
请你说明AB2=AC2+BC·BD
模块四 小结评价
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
知识：
方法：
本节易错点：
课外作业：
A层：
填空题
1．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、、之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是 三角形，其中边是 边，边所对的角是
2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________
3、直角三角形的周长是24cm，斜边上的中线长为5cm，则此三角形的面积是 。
4、在直角三角形中，如果两直角边之和为17，两直角边之平方差为119，求斜边的长
5．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
6．如图1，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．
7．如图2，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
B层：
1．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
2．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？
3.如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
4、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF//BC交于AC于M，若CM=5，求CE2 +CF2的值。
第一章 勾股定理
１．探索勾股定理（二）
教学目标
1、知识与技能
学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想。
2、过程与方法
经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法。
3、情感态度与价值观
培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用。
重点难点
重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．
难点：用面积证勾股定理．
课前准备：四个全等的直角三角形纸片。
教学过程
一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题
（1）回顾上节探究勾股定理的过程，导入新课。
二、出示学习目标
能用拼图法验证勾股定理并会应用。
三、新课
（一）探究勾股定理
如图，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流。在同学操作的过程中，教师提问：大正方形的面积可表示为什么？
同学们回答有两种可能：（1） （2）
在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
请同学们对上式进行化简，得到：
即
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。课件展示历史上国内外验证勾股定理的方法及历史。
（二）、讲解例题
例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的∠C＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ ABC的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得
即 BC=3千米
飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：
（千米／时）
答：飞机每小时飞行 540千米。12999
例2.
我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
（学生自己画图完成，全班交流）
三、拓展练习及课堂练习
1.(ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
2.( ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
1.在( ABC中, ∠C=90°,
(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.
(2)若a=9,b=40,则c=______.
2.在( ABC中, ∠C=90°,若AC=6,CB=8,则(ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
2、拓展练习
1.一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
四、学生谈收获
五、布置作业
P11 知识技能 1题
课件16张PPT。 1.1 探索勾股定理（2）八年级数学请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
∵ c2= 4? ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为c24?ab/2-(b- a)2
∵ (a+b)2 = c2 + 4?ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为(a+b)2c2 +4?ab/2 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……
“总统”证法勾股定理的 于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。? ????1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。? ??? 1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 美国总统证法：例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？40005000比比谁算得快 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2=172-152
x2=64答：正方形的面积是64平方厘米。练一练补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ）
A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ）
A、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米；D、 60/13厘米；
CD 课堂练习： 一、判断题. 1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___. (2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在? ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.?6841?244.8小结1、本节课学习了直角三角形的哪些知识？
2、通过这节课的学习，你在解题思路和方法上有什么收获？ 1.一轮船以16海里/小时的速度离A港向东北方向航行，另一艘轮船同时以12海里/小时的速度离A港向西北方向航行，2小时后，两船相距多少海里？2、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积8DABC解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为X，则AB为（16-X）， 由勾股定理得：
X2+82=(16-X)2即X2+64=256-32X+X2∴ X=6∴ S?ABC=BC?AD/2=2 ?6 ?8/2=483.如图在△ABC中，∠ACB=90o， CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.
求① △ABC的面积；
②斜边AB的长；
③斜边AB上的高CD的长。1.1探索勾股定理
基础训练
1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .
3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 .
4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（ ）.
A．30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2
提高训练
5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B，求AB两地间的距离.
6．一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？
知识拓展
7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，
若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
参考答案：
1．（1）13；（2）8；（3）6，8．
2．2.5m．
3．cm．
4．D．
5．25km．
6．4．
7．3 cm．
第一章 勾股定理
１．探索勾股定理（三）
教学目标：
知识与技能：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
过程与方法：经历探索勾股定理的过程，体验数学学习探究的方法。经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想。
情感态度与价值观：
进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感。
教学重点：
重点：勾股定理的发现及其简单应用
难点：勾股定理的发现
教学方法与教学手段
本课运用“探究式”“启发式”“开放式”的教学方法，运用多媒体等手段充分调动学生参与课堂学习的积极性，鼓励学生积极思考并实现合作学习。
教学过程：创设情境，引发思考――自主探索，合作交流――追溯历史，激发情感――应用拓展，能力提升――回顾反思，提炼升华――布置作业，课堂延伸
（一）、创设情境，引发思考
五巧板的制作（动手操作，合作探究）
·教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。
·步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI， CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
1．利用五巧板拼“青朱出入图”。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？
3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？
4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？
可能的拼图方案：
（二）、自主探索，合作交流
探究活动1
问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系？
问题2：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？
问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？
教师与学生行为：对于问题（2）、（3）教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论。问题（3）可让学生在自己准备好的小方格上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，用字母表示三个正方形面积之间的数量关系，进而发现了等腰直角三角形三边的特殊关系。并在小组内交流，教师适当引导，深入学生当中，倾听他们的想法。
教学效果预估与对策：对等腰直角三角形三边性质的探索，学生们探究欲望会很强烈，小组交流想法也会达成共识，对于验证三个正方形面积之间的关系，在方法上会各有千秋。教师同时辅之多媒体的动态演示，使教学效果更直观，利于学生接受，顺利突破难点。
设计意图：通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进。经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律。探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力。
探究活动2：
做一做：
问题1：请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？
问题2：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
教师与学生行为：教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程。计算正方形C的面积不易求出，教师及时点拨，同时借助多媒体动态演示。
教学效果预估与对策：根据探索等腰直角三角形三边关系过程，学生在对探讨一般直角三角形三边性质有了一定基础。计算正方形C的面积利用分割法和把它看做边长是整数的大正方形面积的一半很容易想到，但拼凑法会有一定困难，教师利用多媒体动态演示，从而化难为易，得出直角边为整数的直角三角形三边的特殊关系。
设计意图：此环节设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，让学生经历从特殊到一般的过程，体会事物由特殊到一般的变化规律,发展学生的合情推理能力。
议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2 +b2=c2
教师与学生行为：学生观察计算，教师多媒体动态演示。
教学效果预估与对策：此环节在探究1、2的基础上，预计学生能大多数独立解决，从而进一步验证了有且只有直角三角形才满足a2+b2=c2。
设计意图：经历从特殊到一般的探索过程，学生以初步认识到直角三角形的特有性质，但学生已有的认知基础会不断地向学生提示锐角、钝角三角形是否也具有这样的性质？此环节的设计符合学生的认知特点，通过与锐角三角形、钝角三角形的对比，进一步强调直角三角形三边关系的特征。
（三）、追溯历史，激发情感
介绍勾股定理的历史，列举了东西文化中对勾股定理的发现，介绍了一些著名的人物、著作和学派。如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……这些知识足以激发他们的兴趣，让学生更深刻的体会勾股定理所蕴涵的文化价值。
商 高 《周髀算经》 毕达哥拉斯
教师与学生行为：老师介绍有关勾股定理的历史，学生认真对比中西方文化，增强对勾股定理的进一步了解。
教学效果预估与对策：教师利用多媒体辅助演示，使知识更系统。
设计意图：介绍有关勾股定理的历史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础。
（四）、应用拓展，能力提升
例1：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠
已知：a=6, b=8，求c
已知：b=5，c=13，求a
练习1：在Rt△ABC中，
已知：∠A=30°，a=2，求b,c;
已知：∠A=45°，c=2，求a,b。
练习2：错例辨析
△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。
若已知△ABC为直角三角形，则第三边为5
例2：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水深为X尺，则芦苇长为（X＋1）尺，由勾股定理得
（X＋1）2＝X2＋（）2
解得 X＝12
∴X＋1＝13
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。
教师与学生行为：教师出示问题，学生解决问题。对于个别有困惑的同学，教师及时点拨。
教学效果预估与对策：对于例1学生很容易独立完成。练习1学生有可能考虑不到直角的两种情况，思维定势在∠C就是直角。练习2的完成学生间相互讨论，能够明晰。例2由师生共同分析完成。
设计意图：设计了一个层层深入的问题串，引导学生由浅入深地思考问题，悟出一类问题的解题规律。另外，由于学生对知识的理解程度有所差异，因此，习题的设置体现层次性。在新知运用过程中，也设计小组合作交流，鼓励学生主动参与学习活动，尝试用自己的方式去解决问题，发表自己的看法。
（五）、回顾反思，提炼升华
小结：通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟！
教师与学生行为：教师引导学生从知识、过程、方法、情感态度等方面发表看法，学生积极进行自我总结，相互补充，巩固探究成果。
故事引入——探索勾股定理—— ——
——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方——定理的应用与拓展
教学效果预估与对策：预计学生总结的是本课知识方面的收获与探索过程中的经验和教训，以及在与他人合作中得到的快乐。教师要加以引导，师生之间相互加以完善。
设计意图：学生通过对本节知识的提炼，归纳出有关知识与技能方面的一般结论以及在做数学活动中所遇到的困惑，感悟到古代数学家在探索新知的领域中所付出的艰辛，做学问有乐趣亦有苦趣，培养学生良好的个性和思维品质。
（六）、布置作业，课堂延伸
习题1.3 1题
课件14张PPT。1.1 探索勾股定理（3）八年级数学勾股定理abc勾股弦 商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。” 后来人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理. 赵爽：东汉末至三国时代吴国人
为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》。
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系。毕达哥拉斯 在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 刘徽九章算术
青朱出入图 abc无字证明无字证明青出青朱出入图五巧板的制作ABCEDFGHIabc对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？那剩余的空白部分的面积呢？c著名画家达芬奇欣赏课堂小结你都学到了些什么？让你感触最深的是哪一种证法？
有哪些地方还是让你感到疑惑的？
你还想知道有关勾股定理的其它的证法吗？1．1探索勾股定理（3）
1.填空题
(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.
(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.
(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.
图1
2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.
3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.
（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.
4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.
参考答案
1.(1)2.5 (2)30 (3)30米
2.如图：等边△ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm
作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm
在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64
∴AD=8 cm
∴S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm2)
3.解：(1)∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1 cm，BC=2.8 cm
∴AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25
∴AB=3.5 cm
∵S△ABC=AC·BC=AB·CD
∴AC·BC=AB·CD
∴CD===1.68(cm)
(2)在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD2+CD2=AC2
∴AD2=AC2－CD2=2.12－1.682
=(2.1+1.68)(2.1－1.68)
=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21
=22×9×0.21×0.21
∴AD=2×3×0.21=1.26(cm)
∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24(cm)
4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m2)
5.解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE
设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，
∴BF=6 cm
∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42
∴64－16x+x2=x2+16
∴x=3(cm),即CE=3 cm
