6．2一次函数
一、教学目标
1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
二、能力目标
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
三、情感目标
1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
四、教学重点
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
五、教学过程
1、新课导入
有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：
某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出x与y之间的关系式吗？
分析：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。
2、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升
你能写出x与y之间的关系吗？（y=100-0.18x或y=100-x）
3、一次函数，正比例函数的概念
上面的两个函数关系式为y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
4、例题讲解
例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x
A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④
例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
②圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
[（1）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；（2）y=πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；（3）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数]。
例3：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于800元但低于1300元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160-800）×5%=18（元）
①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式。
②某人某月收入为960元，他应缴所得税多少元？
③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？
分析：（1）当月收入大于800元而小于1300元时，
y=0.05×(x-800)；
（2）当x=960时，y=0.05×(960-800)=8(元)；
（3）当x=1300时，y=0.05×(1300-800)=25（元），25>19.2，因此本月工资少于1300元，设此人本月工资是x元，则0.05×(x-800)=19.2，x=1184。
5、课堂练习
随堂练习
（1）解：y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数。
（2）解：y=100+8x，y是x有一次函数。
补充练习
1、见下表：
x
-2
-1
0
1
2
……
y
-5
-2
1
4
7
……
根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y是否为x有正比例函数？
2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元。（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y是x的一次函数。②y=8-2.4=5.6（元）]
六、课后小节
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。
七、课后作业
6．2一次函数
根据本班学生实际情况可在教学过程中选择下述内容补充或拓展.
(1)基础训练
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）.
A. B. C. D.
2.若函数是正比例函数，则= .
3.某学生的家离学校2km，他以km/min的速度骑车到学校，写出他与学校的距离s（km）和骑车的时间t(min)的函数关系式为 ，s是t的 函数.
(2)提高训练
4.如图,在三角形ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P,
设∠A=,∠BPC=,当∠A变化时,求与之间的函数关
系式,并判断是不是的一次函数.
5.将长为13.5cm，宽为8cm的长方形白纸，按照图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为1.5cm.
（1）求5张白纸粘合后的长度；
（2）设张白纸粘合后的总长度为cm，求与之间的函数关系式.
(3)知识拓展
6.新华书店出售数学词典每本定价20元，代数习题集每售价5元，该店制定两种对学生的优惠政策：（1）买一本数学词典，赠送一本代数习题集；（2）如果不赠送，那么一律九折.某位同学购买4本数学词典和不少于4本的代数习题集.若以购买代数习题集为本、付款元分别建立以上两种优惠方案中的与的函数关系式，并讨论该生买同样多的习题集时，用哪种办法最省钱？
答案:
C.
.
，（）；一次函数.
，；是的一次函数.
61.5cm；.
，×；
当时，选择（2）方案；
当时，选择两个方案都一样；
当时，选择（1）方案.
课件16张PPT。北师大版八年级数学§6.2 一次函数2 数学源于生活，现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,请大家举一些例子3 在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.1.什么叫函数?
4
1．某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：（2）你能写出x与y之间的关系式吗？① y=0.5x+35 2.某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油10升。
（1）完成下表：（2）你能写出x与y之间的关系吗？② Y=－0.2X+100≠ 研讨一下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3 (2) y=－0.2x+100
结构特征有什么关系．
61．是含有两个变量x，y的等式;
2．自变量x和因变量y的指数都是一次;
3．自变量x的系数不为０ 。 7一次函数：8例1：下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①y=x-6； ②y= 2x2+3； ③y= ；
④y= ⑤y=5 ⑥y=x2 例2：在一次函数y=-3x-6中，自变量x的系数是 ，常数项是 。-3-6例3：若y=(m-2)x+ m2 -4是关于x的正比例函数，则m ；若是关于x的一次函数，则m . =-2≠2 9例4: 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
(2)圆的面积y (c m2)与它的半径x ( cm)之间的关系;
(3)一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米，x 月后这棵树的高度为y 厘米。解：(1) y=60x , y是x的 一次函数,也是x的正比例函数。
(2) y= πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数。(3) y=2x + 50, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数。 10例5:我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于2000元的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元的部分征收5%的个人所得税……如某人月收入1160元,他应缴个人工资、薪金所得税为: （1160-800）╳5%=18元。(1)当月收入大于800元而又小于1300元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.依法纳税光荣y=(x-800) ╳5% (800 19.2=0.05×(x-800),
x=1184
答:此人本月工资、薪金是1184元。(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？ 100 200 300 500依法纳税光荣1.P159 1，2。
12y=3x+1(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数。
(2)y=80x+100 ，y是x有一次函数。3.举一个以y=3x+2为解析式的一次函数。134. 某书店开设两种租书方式：一种零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，办费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本。
(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量为x（本）之间的函数关系式。
(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量为x（本）之间的函数关系式。
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么? 简解: (1) y1=x
(2) y2=0.4x+12
(3) 由 x =0.4x+12知,当x>20时合算.141、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。15 漏刻是我国古代发明的一种计时工具,它是劳动人民的智慧结晶，也是一次函数的一次创造性地使用.请读一读教材课后阅读资料或上网查阅相关材料．16再见6．2一次函数
一、填空题
1.以下函数：①y=2x2+x+1 ②y=2πr ③y= ④y=(－1)x ⑤y=－(a+x)(a是常数) ⑥s=2t是一次函数的是________.
2.当m=________时，y=(m－1)x是正比例函数.
3.当k=________时，y=(k+1)x+k是一次函数.
二、写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系.
答：_____________________________________
（2）等腰三角形的周长是18，若腰长为y，底边长为x，则y与x之间的关系.并求出x的取值范围.
答：_____________________________________
（3）有一个长为120米，宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，则y与x的关系.
答_________________________________
（4）据测试：拧不紧的水龙头每秒钟会滴下两滴水，每滴水约0.05毫升.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后水龙头滴了y毫升水.y与x之间的关系.
答：__________________________________
三、设某种储蓄的月利率为0.16%，现存入a(a＞0)元本金.
（1）写出本息和y（元）与所存月数x（月）之间的函数关系式.
（2）当a=20000时，计算10个月后的本息和是多少元？
四、容积为800公升的水池内已贮水200公升，若每分钟注入的水量是15公升，设池内的水量为Q（公升），注水时间为t（分）.
（1）请写出Q与t的函数关系式.
（2）注水多长时间可以把水池注满？
（3）当注水时间为0.2小时时，池中水量是多少？
五、暑假里，我校组织部分学生去某地参加数学素质杯夏令营.已知该校距目的地240千米，如果乘车去，汽车行驶的速度为每小时40千米.
（1）汽车出发后1小时、2小时、3小时……汽车分别行驶了多少千米？请填入下表：
出发后行驶时间
1小时
2小时
3小时
4小时
5小时
6小时
行驶路程
（2）如果汽车行驶x小时（0≤x≤6),行驶路程为y千米，你能写出y与x的关系式吗？
（3）如果汽车行驶x小时（0≤x≤6),距目的地还有y′千米，你能写出y′与x的关系式吗？
（4）以上两个关系式中y与x, y′与x的次数分别是多少？这两个关系式从形式上有什么共同特点？
参考答案
一、1.②④⑤⑥ 2.－1 3.1
二、(1)y=2.5x是一次函数，也是正比例函数
(2)y=9－x(0＜x＜9)是一次函数，不是正比例函数
(3)y=20－x是一次函数，不是正比例函数
(4)y=360x是一次函数，也是正比例函数
三、(1)y=a(1+0.16%x)或写成y=a+0.16%ax
(2)当a=20000,x=10时，y=20320
四(1)Q=200+15t
(2)注水40分钟可以把水池注满
(3)当注水0.2小时即12分钟时，池内有水380公升
五（1）
行驶时间（小时）
1
2
3
4
5
6
行驶路程（千米）
40
80
120
160
200
240
（2）y=40x(0≤x≤6)
（3）y′=240－40x(0≤x≤6)
（4）x与y,x与y′的次数都是1，都可以写成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式.
