7.4 增收节支
【知识目标】会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。
【能力目标】培养学生分析问题和解决问题的能力。
【情感目标】让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
【教学过程】
议一议
增长（亏损）率问题的公式？
原量（1+增长率）=新量，或原量（1—亏损率）=新量，
2、银行利率问题中的公式？
利息=本金×利率×期数，本息和本金+利息
新授、
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年
（小组讨论，完成上表）
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年
（1+20%）x
（1—10%）y
780
根据题意得： x－y =200 ，解之得： x=2000
120%－90%y=780 y=1800
答：去年的总产值为2000万元，总支出1800万元，
变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
简析：如果设今年的总产值为万元，总支出为万元，则
让学生动手解这个方程组， 体验这种解法的繁琐，再让学生探索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤x万元，总支出为y万元，计算方便。
三、做一做
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解：设每餐需甲、乙两种原料各x、y克，则有下表：
甲原料各x克
乙原料各y克
所配制营养品
其中所含营养品
0.5x单位
0.7y单位
(0.5x+0.7y)单位
其中所含铁质
x单位
0.4y单位
(x+0.4y)单位
根据题意，可得方程组
0.5x+0.7y=35
x+0.4y=40
化简，得 5x+7y=350 ①
5x+2y=200 ②
①－②，得 5y=150
y=30
将y=30代入①，得x=28。
所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。
解此题需要注意以下两点：
甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁质）的含量。
甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁质。
例2、甲、乙两相距6千米，两人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，两人的平均速度各是多少？
解：设甲的平均速度是每小时行x千米，乙的平均速度是每小时行y，根据题意，得： 3x=3y+6
x+y=6 解这个方程组，得： x= 4
y=2
答：平均每小时甲行4千米，乙行2千米。
练一练
1、一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班的学生的体育达标率为87.%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？
解：可设班有x人，二班有y人，则有方程组
x+y=6 x= 48
87.5%+75%=81(x+y) y=52
2、甲、乙两相距36千米两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发2.5时后相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发3时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？
解：设甲、乙两人每小时分别行走x千米、y千米。根据题意可得：
4.5x+2.5y=36 x= 6
3x+5ky=36 解此方程可得 ： y=4
所以甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。
小结
1、做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。
设未知数有两种方法：（1）直接设元
（2）间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。
作业
习题2 、3
7.4 增收节支
●教学目标
(一)教学知识点
1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组.
2.继续熟练二元一次方程组的解法和基本思路.
(二)能力训练要求
1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力.
2.加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略.
(三)情感与价值观要求
1.通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.
2.培养学生的创新、开拓、克服学习中困难的科学精神.
●教学重点
用列表的方式分析题目中的各个量的关系.加强学生列方程组的技能训练.
●教学难点
借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系.
●教学方法
学生自主活动探究的方法.
学生在列一元一次方程解决实际问题经验的基础上，根据基本量关系，由学生自主探索，列表分析问题中所蕴涵的数量关系.从而列出二元一次方程组，解决实际问题.
●教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.4 A)；
第二张：例1(记作§7.4 B).
●教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
［师］我们来看一组填空题.(出示投影片§7.4 A)填空：
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，今年的总产值为_________.
(2)某工厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出为_________.
(3)某工厂今年的利润为780万元，根据(1)、(2)可得_________=780万元(利润=总产值－总支出).
下面我们就一起分析上面的三个填空.
［师生共析］(1)今年的总产值比去年增加了20%，即今年的总产值=去年的总产值×(1+20%)=(1+20%)x万元.
(2)今年的总支出比去年减少了10%，即今年的总支出=去年的总支出×(1－10%)=(1－10%)y万元.
(3)今年的利润为780万元，由(1)、(2)可得今年的利润又可表示为［(1+20%)x－(1－10%)y］万元，所以(1+20%)x－(1－10%)y=780
这节课我们就来研究一下增收节支的问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来看一个生活中实例：我校校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加了10%，总支出节约了20%，因而总收入比总支出多100万元.求去年我校校办工厂的总收入和总支出各多少万元？
［师生共析］我们可以注意到这个例子中蕴涵的数量关系比较复杂，我们是否可以用列表的形式将今年和去年的总支出和总收入列表进行对比，从而使他们的关系一目了解.
［议一议，试一试］如果设去年的总产值是x万元，总支出是y万元，根据题意，填充下面表格：
总收入/万元
总支出/万元
去年
x
y
今年
(1+10%)x
(1－20%)y
所以根据题意可填入表格，今年的总产值为(1+10%)x万元，总支出为(1－20%)万元，由条件就可得到方程组
［师］下面我们就来解上面这个方程组，分组来完成，看哪一个组做得快.
［生］老师，我们组解出来了.解法如下：
解：化简方程组，得
由①得x=50+y ④
把④代入③，得
1.1(50+y)－0.8y=100,
0.3y=45
y=150
把y=150代入④，得x=200
所以方程组的解为
即去年的总产值是200万元，总支出为150万元.
［生］我们组也解出来了.我觉得刚才的一组在处理方程组中的方程②处理得不彻底，因此，系数是小数，给解方程带来了不必要的麻烦.我们组的解法如下：
解：由②，得1.1x－0.8y=100
方程两边再同时乘以10，得
11x－8y=1000 ③
由①，得x=50+y ④
把④代入③，得3y=450
y=150
把y=150代入④，得x=200.
［师］不错.能够恰当地利用等式的性质，使问题简化，值得提倡.
［生］我们组用的不是代入消元法，我们组是在第二组解法的基础上，用的加减消元法.
［师］我们已能用多种方法解方程组，看来我们最关键的一步应是如何根据题意，列出方程组，下面我们再来看一个例子.
出示投影片§7.4
［例1］医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位蛋白质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位蛋白质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
［师生共析］我们可以设每餐甲、乙两种原料各x、y克恰好满足病人的需要.根据题意可知每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，所以x克甲原料含0.5x单位蛋白质和x单位铁质.每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，所以y克乙原料含0.7x单位蛋白质和0.4x单位铁质，因此，我们可列出下列表格：
甲原料x克
乙原料y克
所配制的营养品
其中所含的蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
35单位
其中所含的铁质
x单位
0.4y单位
40单位
根据题意，得
化简，得
①－②，得5y=150
y=30
将y=30代入①，得
x=28
所以每餐需甲原料28克，乙原料30克.
Ⅲ.随堂练习
1.解：设一、二两班学生数分别为x名、y名，填写下表：
一班
二班
两班总数
学生数/名
x
y
100
达标学生数/名
87.5%x
75%y
81%(x+y)
根据题意，得
化简，得
③+①×60，得125x=6000
x=48
把x=48代入①，得y=52
所以一班有48人，二班有52人.
2.解：设甲、乙两人每时分别行走x千米，y千米，填写下表并求x、y的值.
甲行走的路程
乙行走的路程
两人行走的路程和
第一种情况(甲先走2小时)
(2+2.5)x
2.5y
(2+2.5)x+2.5y
第二种情况(乙先走2小时)
3x
(2+3)y
3x+(2+3)y
根据题意可得：
化简，得
③×2－④得6x=36
x=6
把x=6代入④，得y=3.6
所以，甲乙两人每小时各走6千米，3.6千米.
Ⅳ.课时小结
这节课我们借助于列表分析具体问题中蕴涵的数量关系，使题目中的相等关系随之而清晰地浮现出来.同时，我们通过解二元一次方程组使问题得以解决，提高了列方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本习题7.5.
2.总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
Ⅵ.活动与探究
现有两种溶液，甲种溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙种溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，问两种溶液各需多少升？
过程：题目中的数据较多，我们可以将它们统一列在表格中，从而使它们之间的关系一目了然，便于寻找等量关系.
首先有：
酒精(升)
水(升)
溶液(升)
浓度
甲
1
3
4
25%
乙
3
2
5
60%
设甲、乙两种溶液分别需要x,y升，则：
溶液(升)
浓度
酒精(升)
甲
x(x≤4)
25%
x·25%
乙
y(y≤5)
60%
y·60%
合计
7
50%
3.5
有等量关系：
结果：解：设甲、乙两种溶液x升、y升，根据题意，可得：
解得
所以需甲种溶液2升，乙种溶液5升(全部溶液)，可配制成50%的酒精溶液7升.
●板书设计
§7.4 增收节支
一、例1(P200)增收节支
分析：用表格分析题意：
解：(学生板演)
二、随堂练习
(由学生板演)
三、课时小结
7.4增收节支
根据本校学生及教学情况，可在教学过程中，选择以下内容进行补充或拓展
基础训练
①为了拓展销路，商店对某种照相机的售价了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价为多少元？
②某种商品进价为a元，商店将价格提高30％作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80％）的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为 （ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
提高训练
③ 新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
最优化决策：
聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
拓展提升
④ 打广告（金帝美滋滋巧克力广告视频）
金帝美滋滋巧克力想电视台在黄金时段的2min 广告时间内， 计划插播长度为15s和30s
两种广告．据了解15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每1播次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，你能帮助决策
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式吗？
（2）电视台选择哪种方式播放收益较大呢？
参考答案
基础训练
①1710元
② C
提高训练
③ （1）解：设书包单价为x元，则随身听单价为y元,根据题意可列出方程：
解之得：
答：书包单价92元，随身听单价360元。
（2）提示：书包单价92元，随身听单价360元。
在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×=361.6（元）
∵ 361.6<400 ∴可以选择在人民商场购买。
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）。
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。
拓展提升
④ 解:设播长度为15s的广告x次,30s的广告Y次,收入为W,根据题 意
解得：
W=0.6x+ y =0.6x+(120-15x)÷ 30
=0.1x+4.
所以当x=4时,W取得最大值W=0.1×4+4=4.4万元.
课件19张PPT。某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;
若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;
若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________________.
(1+20%) x(1+20%) x- (1-10%) y=780(1-10%) y别忘了:增长部分=原总量×增长率增收节支 某工厂去年的利润（总产值-总支出)为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780元。去年的总产值、总支出各是多少万元？分 析：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有(1+20%)x(1-10%)y780解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有x - y=200(1+20%)x-(1-10%)y=780整理得:x - y=2004x - 3y=2600解得:x =2000y=1800答:去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元例题: 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?分析:设每餐甲、乙两种原料分别需x克和y克,那么0.5 x单位x单位0.7 y单位0.4 y单位35单位40单位解：设每餐需甲种原料x克、乙种原料y克，则有0.5x + 0.7y=35X + 0.4y=40化简得:5x + 7y=3505x + 2y=200解得:y =30x=28答:每餐需甲种原料28克、乙种原料30克练习1 (P232/) : 一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班的达标率为75%，那么一、二两班的学生数各是多少?设一、二两班学生数分别为x名、y名，填写下表并求出x、y的值x87.5%xy75%y10081%×100练习2 (P232/):甲、乙两人从相距36米的两地相向而行。如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？36千米甲先行2时走的路程乙出发后甲、乙2.5时共走路程甲乙相遇相遇36千米甲出发后甲、乙3时共走路程乙先行2时走的路程若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米2x+2.5x2.5y363x2y+3y36解：设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米，则有2x +2.5x + 2.5y = 363X + 3y + 2y = 36化简得:9x + 5y=723x + 5y=36解得:x =6y=3.6答:甲种溶液需2升,乙种溶液需5升补充例题
有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由酒精3升,水2升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两种溶液应各取几升?分析:由条件知,甲种溶液的浓度是 1÷(1+3)=25%乙种溶液的浓度是 3÷(3+2)=60%若设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升x25%25% xy60%60% y750%50%×7解：设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，
则有x + y=725%X + 60%y=50%×7化简得:x + y=75x + 12y=70解得:y =5x=2答:甲种溶液需2升,乙种溶液需5升补充练习:
1.某人以两种形式8000元,一种储蓄的年利率为10%,另一种储蓄的年利率为11%.一年到期后,他共得利息855元(没有扣除利息税),问两种储蓄他各存了多少钱?设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.则:X + y=800011%x+10%y=855补充练习:
2. 某公司用30000元购进甲乙两种货物.货物卖出后,甲种货物获利10%,乙种货物获利11%,共得利润3150元,问两种货物各进多少钱的货?设甲种货物进x元的货,乙种货物进 Y元的货.则:X + Y=3000010%X + 11%Y=3150补充练习:
3. 用含糖分别为35%和40%的两种糖水混合,配制成含糖36%的糖水50千克,每种糖水应各取多少千克?设应取35%的糖水x千克,40%的糖水Y千克.则:X + Y=5035%X + 40%Y=50×36%化简得:X + Y =507x+5Y=360补充练习:
4.有两种不同浓度的溶液，如果从第一种中取20L，从第二种中取30L，那么混合后得浓度为36%的混合液，如果从第一种中取40L，从第二种取50L，那么混合后得浓度为 混合液，求两种溶液原来的浓度。
设第一种溶液的浓度为x,第二种溶液的浓度为Y.则:20X + 30Y=36%(X+Y)40X + 50Y= (X+Y)小结与收获1：经过本节课的学习，你有那些收获？2：列二元一次方程组解实际问题的一般步骤：（1） 审题,弄清题目中的数量关系，找出未
知数，用x、y表示所要求的两个未知数。 （2）找到能表示应用题全部含义的两个等量
关系；（3）根据等量关系列方程，联立方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答。布置作业1：课本数学理解第1题
问题解决第2题2：预习7.5里程碑上的数 3: 完成练习册相应部分的习题.再见7.4 增收节支
一、选择题:(每小题3分,共6分)
1.某校150名学生参加数学考试,每人平均55分,其中及格学生平均77分,不及格学生平均47分,则不及格学生的人数为( )
A.49 B.101 C.110 D.40
2.小李以两种形式储蓄300元,一种储蓄的年利率为10%,另一种为11%,一年后本息和为331.5元,则两种储蓄的存款分别为( )
A.100元,200元 B.150元,150元; C.200元,100元 D.50元,250元
二、解答题:(54分)
3.(7分)一、二两班有95人, 体育锻炼的平均达标率是60%, 如果一班达标率是40%,二班达标率是78%,求一、二两班的人数各是多少?
4.(7分)甲、乙二人去年共收入19000元,今年共收入26400元, 已知今年甲的收入比去年增加5%,乙比去年增加30%,去年甲、乙各收入多少元?
5.(10分)光明中学现有学生4200人,计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校在校生将增加10%,试问现在光明中学的初中在校生和高中在校生各是多少人?
6.(10分)某人骑车从甲地到乙地,以12千米/时的速度在预定时间里还差3 千米才能到达;若以15千米/时的速度可以提前24分钟到达, 问原来预定时间是几小时到达,甲、乙两地相距多远?
7.(10分)甲、乙两种铜块分别含铜80%和60%,应各取多少熔化在一起,才能得到500千克含铜74%的铜块?
8.(10分)两个物体在周长为999米的圆周上同向匀速运动,每隔37分钟相遇一次,已知第一个物体的速度是第二个物体的4倍,则这两个物体的速度分别是多少?
答案:
一、
1.C 2.B
二、
3.解:设一班的人数为x人,二班的人数为y人,
则, 解得x=45,y=50.
答:一班有45人,二班有50人.
4.解:设去年甲收入x元,乙收入y元,
则, 解得x=8500,y=10500
答:去年甲收入8500元 ,乙收入10500元.
5.解:设现在光明中学的初中在校生为x人,高中在校生为y人,
则, 解得x=1400,y=2800
答:初中在校生为1400人,高中在校生为2800人.
6.解:设原来预定x个小时到达,甲、乙两地相距y千米,
则 , 解得x=3,y=39.
答:原来预定3个小时到达,甲、乙两地相距39千米.
7.解:设取甲铜块x千克,乙铜块y千克,
则
解得x=350,y=150
答:取甲铜块350千克,乙铜块150千克.
8.解:设第一个物体的速度是x米/分,第二个物体的速度是y米/分,
则, 解得x=36,y=9
答:第一个物体的速度是36米/分,第二个物体的速度是9米/分.
