§7、5里程碑上的数
【教学目标】
【知识目标】1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题
2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
【能力目标】让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤
【情感目标】在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
【教学过程】
想一想，忆一忆
同学们：解二元一次方程组的基本思路各基本方法是什么？
（解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”把“二元”化为“一元”，基本方法是代入法和加减法
创设情景，引入新课
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程碑上的数字情况如下：12∶00时，这是两位数，它的两个数字之和为7，13∶00时，十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；14∶00时，比12∶00时看到的两位数中间多了个0，你能确定小明在12∶00时看到的里程碑上的数字吗？
如果设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，那么
12∶00时小明看到的数可表示为
根据两个数字和是7，可列出方程
（10x+y； x+y=7）
13∶00时小明看到的数可表示为
12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程是
[10y+x；(10y+x)-(10x+y)]
14∶00时小明看到的数可表示为
13∶00~14∶00间摩托车行驶的路程是
[10x+y；(100x+y)-(10x+y)]
12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
[答：因为都匀速行驶1小时，所以行驶路程相等，可列方程
(100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y)，根据以上分析，得方程组：
x+y=7
(100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y)
解这个方程组得： x=1
y=6
因此，小明在12∶00时看到里程碑上数是16。
同学们：你能从此题中得到何种启示？
答：从中得到解数字问题常设十位数字为x，个位数字为y，这个两位数为10x+y。
练一练
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
设较大的两位为x，较小的两位数为y。
分析：
问题1：在较大数的右边写上较小的数，所写的数可表示为
[100x+y]
问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示 为
[100 y + x]
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。
x+y=68
（100x+y）-（100 y + x）=2178
化简，得： x+y=68
99x-99y =2178
即， x+y=68
x-y =222
解该方程组得 x=45
y =23
做一做
一个两伯数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
[解：设十位数为x，个位数为y，则
10x+y-3(x+y)=23
10x+y=5(x+y)+1
解之得： x=5 所以这个两位数是56
y=6
议一议
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？
1、“设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；
2、“列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
3、“解”：解这个方程组，求出未知数的值；
4、“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；
5、“答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称；
小结
通过这节课的学习你有什么收获？
（学生分小组讨论，并相互补充交流）
本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数表示相关数量，再列出方程。
用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：设、列、解、验、答
§7.5里程碑上的数
教学目的和要求：
进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
会列二元一次方程组解决有关数学的问题。
进一步领会列方程组解决实际问题的一般步骤。
教学重点和难点：
重点：
用二元一次方程解决实际问题。
体会方程（组）是刻画现实世界有有效数学模型，培养数学应用能力。
难点：
如何应用方程组解决实际问题。
数学应用能力的培养。
快速反应：
1．如果一个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，那么这个三位数可表示为
答案：100x+10y+z
2．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是多少？
(1)列方程所依据的相等关系有 、 。
(2)如果设李刚有7:00时看到的数的十位数字是x，个位的数字是y，那么
①7:00时，李刚看到的数可以表示为 ；
②8:00时，李刚看到的数可以表示为 ；
③9:00时，李刚看到的数可以表示为 ；
④根据(1)中的相等关系可得方程组为{ 。
答案：两数字之和为9，两时间段路程一样，10x+y,10y+x,8(10x+y),
自主学习：
1．一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果将十位数与个位数字对调后，所得的数比原数小27，求原来的两位数。
解：设原来两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意，得
答：原来的两位数为52。
2．甲、乙两人相距42Km，如果两人从两地相向而行，2小时后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，14h后乙追上甲，求二人的速度。
解：设甲的速度为x Km/h，乙的速度为y Km/h。根据题意，得
解方程组，得
答：设甲的速度为9 Km/h，乙的速度为12 Km/h。
3．有两种不同浓度的溶液，如果从第一种中取20L，从第二种中取30L，那么混合后得浓度为36%的混合液，如果从第一种中取40L，从第二种取50L，那么混合后得浓度为混合液，求两种溶液原来的浓度。
解：设第一种溶液原来的浓度为x%，第二种溶液原来的浓度为y%，则
答：第一种溶液原来的浓度为30%，第二种溶液原来的浓度为40%。
4．一个三位数，三个数位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位数大3，如果把百位上的数字与个位的数字对调，所得的新数比原数小198，求原数。
解：设这个三位数百位、十位、个位数字分别为x、y、z，根据题意得
答：这个三位数为917。
5．小张、小王和小李三人进行自行车比赛，小张比小王早12min到达终点，小王比小李早3min到达终点，他们算了一下，小张比小王每小时要快5Km，小王比小李每小时要快1Km，他们三人进行自行车比赛的路程有多长？
解：设小张所用时间为x h，速度为y Km/h，则小王所用时间为，速度为（y-5）Km/h，小李所用时间为，速度为（y-6）Km/h，于是由三个人赛程相同，有
答：他们三人进行自行车比赛的路程为30Km。
6．（1989年福建省中考题）某车间每天能生产甲各零件120个，或者乙种零件100个，或丙种零件200个，甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
解：设甲、乙、丙三种零件分别应生产x天、y天、z天，则三种零件依次生产了120x个，100y、200z个，由题意有：
解得：
答：甲、乙、丙三种零件分别应生产12天、12天、3天。
5、有甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g，乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g，，乙种盐水160g，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？
解：设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y，根据题意，得
解方程组得：
答：甲种盐水的浓度为6%，乙种盐水浓度为12%.
小结
在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题。
这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用。
课外作业：《畅游数学》“§7.5里程碑上的数”部分。
7.5 里程碑上的数
一、应用题:(12分)
1.某数学月刊,全年共出12期,每期定价2.5元,其中学八年级组织集体订阅, 有些学生订半年而另一些学生订全年,共需订费1320元;若订全年的同学都改为订半年,订半年的同学均改为订全年时,共需订费1245元,求该中学八年级订阅数学月刊的学生人数为多少?
二、创新题:(每小题10分,共30分)
(一)创造性数学题
2.编两道能用二元一次方程组解的应用题,使得这个方程组的解是19,20.
(二)新情境题
3.自行车在平路上每小时行驶16千米,上坡每小时行驶10千米,下坡每小时行驶20千米,若A、B两地相距35千米,从A地到B地去时用了两个半小时, 回来比去时多用9分钟,求从A地到B地上坡、平路、下坡的路程各是多少?
(三)数学生产管理题
4.某校办工厂要生产某种型号的学生服一批,已知每3米长的某种布料可以做上衣2件或裤子3条,一件上衣和一条裤子为一套,计划有600 米长的这种布料生产学生服,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?
三、中考题:(8分)
5.(2002年,青海省,8分)为了保证2002年5月12日-5月16日中国青海郁金香节的顺利进行,省园林局特地设置甲、乙两个郁金香幼苗培育基地,准备将这些幼苗移置到面积约为48000m2的土地上(每间隔0.2m种植一件),并要求甲培育的株数是乙培育株数的2倍,问甲、乙两地各培育多少株才能满足要求?
四、历史上的数学题:(10分)
6.传说有一年,清朝康熙皇帝微服南巡,遇见两位衙门的公差与商人争执, 商人哀求说:“两位大爷,按原来讲好的价钱,你们一位买四匹马、六头牛， 给四十八两银子；另一位买三匹马、五头牛，给三十八两银子，如今总共只给了八十两，我们可亏不起这么多。”康熙见状，挺身制止，公差气势汹汹地喝道：“你又不知道一匹马一头牛是什么价？少管闲事！为了获取证据,严惩两个贪官,你能否通过列方程组求解,帮助康熙皇帝处理这个问题?
答案:
一、
1.解:设订半年的学生有x人,订全年的学生有y人,则
6×2.5×x+12×2.5×y=1320.
6×2.5×y+12×2.5×x=1245.
解得x=26,y=31.∴x+y=57.
∴该中学八年级订阅数学月刊的学生有57人.
二、(一)
2.略.
(二)
3.解:设从A到B上坡路程为x千米,平路路程为y千米,下坡路程为z千米,则 解得 答:从A到B上坡路程为14千米,平路路程为4千米,下坡路程为17千米.
(三)
4.解:设分别用x米,y米布料生产上衣和裤子才能恰好配套,则 解得
答:用360米布料生产上衣,用240米布料生产裤子,共生产240套.
三、
5.解:由题意知:1m2的面积可种植郁金香25件,设甲、乙两幼苗培育基地各培育x株,y株,得方程组:
答:甲、乙两培育基地分别种植800000株,400000株即可满足要求.
四、
6.解:设买一匹马x两银子,买一头牛y辆银子,则
解得x=6,y=4.
答:买一匹马6两银子,买一头牛4两银子.
课件21张PPT。里程碑上的数1．如果一个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，那么这个三位数可表示为 .
快速反应2、如果一个两位数，若个位数字是a ，十位数字是b，则这个两位数为 .10b ＋a 100x +10y +z 3、X是一个两位数，Y是一个一位数，若Y放在X的左边，就构成了一个三位数，那么这个三位数可表示为 ，若Y放在X的右边，则这个三位数可表示为 .快速反应100y +x 10x +y 快速反应4、某种发电机原价是1380元，若价格上涨x %，则发电机的新价格为
元，若价格下降y % , 则发电机的价格为 元。1380(1+x %)1380(1—y %)5、去年国民收入为a 亿元，今年比去年增长了30%则今年的国民收入
为 亿元。(1+30 %)a 快速反应
6、今年国民收入为a 亿元，今年比去年增长了30%，则去年的国民收入为 . a/(1+30 %) 亿元里程碑上的数一辆匀速行驶的汽车从桐乡出发去杭州行驶一段时间看到里程碑上的数字是76，一小时后看到里程碑上的数字是114，你能获得哪些信息？想一想晓霞爸爸骑着摩托车带着晓霞在公路上匀速行驶，下图是晓霞每隔1时看到的里程情况。你能确定晓霞在12：00时看到的里程碑上的数吗？引例：12：00这是个两位数，
它的两个数字
之和为7。XY公里十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了。公里13：00比12：00时看到的两位数中间多了个0。0公
里14：00你能确定晓霞在12：00时看到的里程碑上的数吗？例1:两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。议一议： 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与你的同伴进行交流.例2: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地相向而行，2小时后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度?某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？练习自主学习1．1、一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果将十位数与个位数字对调后，所得的数比原数小27，求原来的两位数。
2、李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是多少？3. 小强和小明做算术题, 小强将第一个加数的后面多写一个零, 所得和是2342; 小明将第一个加数的后面少写一个零, 所得和是65.求原来的两个加数4. 甲、乙两人相距42Km，如果两人从两地相向而行，2小时后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，14小时后乙追上甲，求二人的速度。5、一个两位数减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各个数字之和，商是5，余数是1。这个两位数是多少？6、A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？已知：一个三位数十位上的数字比百位上的数字大3，个位上的数字比十位上的数字大2。（1）设百位上的数字为x，则这个三位数可表示为：已知：一个三位数十位上的数字比百位上的数字大3，个位上的数字比十位上的数字大2。(2)若各位上的数字之和不大于11，求这个三位数。7．5里程碑上的数
一、选择题
1.已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数.设甲数为x,乙数为y,由题意可得方程组（ ）
A. B.
C. D.
2.甲、乙两条绳共长17 m,如果甲绳减去，乙绳增加1 m,两条绳长相等，求甲、乙两条绳各长多少？若设甲绳长x m,乙绳长y m,则得方程组（ ）
A. B.
C. D.
3.一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ ）
A.3∶1 B.2∶1 C.1∶1 D.5∶2
4.甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数.如果甲数为x,乙数为y,则得方程组是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.学校总务处与教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发出一封信都只用1张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺.结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺；而教务处用掉了所有信笺，但余下50个信封.则两处所领的信笺张数、信封个数分别为（ ）
A.150，100 B.125，75 C.120，70 D.100，150
二、填空题
6.两数之差为7，又知此两数各扩大3倍后的和为45，则这样的两个数分别为________.
7.武炜购买8分与10分邮票共16枚，花了一元四角六分，购买8分和10分的邮票的枚数分别为_________.
8.在1996年全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了________场.
9.某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12只或螺母18只，要求一个螺栓配两个螺母，应分配______人生产螺栓，____人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套.
10.已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，1.8小时相遇.如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x千米和y千米，则x=________,y=________.
三、解答题
11.去年甲、乙两人总收入之比是8∶7，总支出之比是18∶17，已知在这一年里甲结余了1200元，乙结余了800元，求甲、乙两人去年的总收入各是多少？
12.一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数.
13.据报道，2000年一季度我国对外贸易进出口总额达980亿美元，比1999年同期增长40%，其中出口增长39%，进口增长41%.1999年一季度我国对外贸易出口多少亿美元？进口多少亿美元？
参考答案:
一、1.B 2.C 3.B 4.D 5.A
二、6. 11,4 7. 7,9 8. 6 9. 12,16 10. 4.5,5.5
三、11.4800 4200 12.41 13.350 350
