§7、6二元一次方程与一次函数
【教学目标】
1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.
【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.
【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力
【教学过程】
忆一忆
同学们:什么叫二元一次方程的解?
一次函数的图像是什么?
如图,求一次函数的图像的解析式
试一试
问题：方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来
[方程x+y=5的解有无数多个，如：
x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3
y=6 y=5 y=4 y= 3 y=2 等
在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图像上吗？
在一次函数y=5－x的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图像相同吗？
做一做
在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图像，这两个图像有交点吗？交点的坐标与方程组 x+y=5
2x－ y=1 的解有什么关系？你能说明理由吗？
[一次函数y=5－x和y=2x－1的图像的交点为（2，3），因此， x=2 就是方程组
y=3
x+y=5
2x － y=1的解。]
用作图象的方法解方程组 x-2y= - 2
2x – y=2
解：由x-2y= - 2可得y= ，同理，
由2x – y=2可得y=2x – 2，在同坐标系中作出
一次函数y= 的图像和y=2x – 2的图像，
观察图像，得两直线交于点（2，2），所以方程组 x-2y= - 2
2x – y=2
的解是 x = 2
y= 3
同学们你从本题中感悟到什么？
原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：
把二元一次方程化成一次函数的形式
在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。
交点坐标就是方程组的解。
练一练
1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4
2x-3y=12
[由2x+y=4 得 y= -2x+4 由 2x-3y=12 可得 y= 在同一直角坐标系中作出函数y= -2x+4和函数y=的图像，观察图像可得交点为（3，-2），所以方程组
2x+y=4 的解是 x =3
2x-3y=12 y= - 2
2、在图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作 的解。
[答案： y=1+2x
y=4 - x
试一试
1、有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？
2、一次函数y=2 –x，y=5 - x的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？
[没有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5；一次函数y=2 –x，y=5 - x的图像是两条平等的直线。
我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点）
二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点）
二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点）
小结
二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像
2、用图像法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。
课件20张PPT。回顾思考1、方程组 有 个解；
2、方程组 有 个解；
3、方程组 有 个解；0无数一两条直线互相平行，有 交点；
两条直线重合，有 交点；
两条直线相交，有 交点；0个无数个一个知识源于悟 十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系。笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。
， 这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系。蜘蛛给笛卡尔什么启示:7.6 二元一次方程与一次函数（1）x+y=5这是什么？一次函数这是怎么回事？二元一次方程同学的争论方程x+y=5可以转化为
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.归纳:思考：是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？y=5-x师?1)方程X+Y=5的解有 无数多个解 , (0,5) 、(5,0) 、(1,4) 。。。。。。。.(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们都在函数Y=5-X上吗? (0,5) 、(5,0) 、(1,4) .都在函数Y=5-X的图象上.(3)在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点,它的坐标适合方程X+Y=5吗?在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点(0,5),它的坐标适合方程X+Y=5.(4)以方程X+Y=5的解为坐标的所有的点所组成的图象与一次函数Y=5-X的图象相同吗 ?过(0,5) 、(5,0) 两点的直线图象与一次函数Y=5-X的图象相同.归纳每个二元一次方程都可转化为一次函数师:通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与一次函数图象的关系吗?生:二元一次方程的解就是一次函数图象的点的 坐标;一次函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解.明确二元一次方程与一次函数的基本关系1) 在同一直角坐标系中分别作一次函数Y=5-X和Y=2X-1的图象,这两个图象有交点吗?
在同一直角坐标系中一次函数Y=5-X和Y=2X-1的图象有交点，交点坐标是（2，3）。P(2,2)y=2x-2 解 由（1）得进而作出 的图象（1）对应关系 ①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解． (2)图象法解方程组的步骤：自己总结你一定能行的！1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组 的解为 .2、若二元一次方程组 的解为 ,
则函数 与 的图象的交点坐标为 . （2，2）3．根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解?这些解是什么?求直线 与 直线的交点坐标。你有哪些方法?与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊． 解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形的问题归结为数的解决，便捷准确)
解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．(因作图误差可能有较大差别)探究知识的升华1) 二元一次方程与一次函数的区别与联系二元一次方程的解是一次函数上点的坐标; 一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.2) 二元一次方程组的解法总共学习了哪几种?加减法;代入法;图象法.3) 方法归纳用图象法解二元一次方程组
优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想.
不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代 数方法,进行细致计算.1、方程组 有 个解；
2、方程组 有 个解；
3、方程组 有 个解；0无数一想一想：从函数角度解释：课本:习题7.7 （1、2）再见第七章 二元一次方程组
7.6．二元一次方程与一次函数（二）
教学目标
知识与技能目标
1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.
2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.通过学生的思考和操作，力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法。同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。
过程与方法目标：
1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.
2.在对作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
情感与态度目标：
通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣，使学生体验数学活动充满探索与创造。
教学重点
1、二元一次方程和一次函数的关系。
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
教学难点
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
教学方法
学生操作------自主探索的方法
学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”----二元一次方程组和“形”----函数的图象（直线）之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。
一． 故事引入
迪卡儿的故事------蜘蛛给予的启示
十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系，在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立联系。迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。
二、设计实际问题情境，导入新课
1.议一议
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
通过实际问题情景，进一步加强函数与方程的联系，让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系. 通过“小明的方法求出的结果准确吗?”自然过渡到本节课的主要内容。
三、典型例题，探究一次函数解析式的确定
例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
写出y与x之间的函数表达式；
旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设，根据题意，可得方程组
解该方程组，得
所以
（2）当x=30时，y=0．
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
例2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.
分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
解：（1）当０≤x≤15时，设，根据题意得
，解得
所以当０≤x≤15时，；
当x＞15时，设，根据题意，可得方程组
解这个方程组，得
所以当x＞15时，．
（２）当x＝10时，代入中，得y=18．
当y=51时，代入中，得x=25．
四、练习与提高
１. 图中的两条直线，的交点坐标可以看做方程组 的解
答案：
2. 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂
物体质量x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量
为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3
千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的函数关
系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．
答案：
当x＝４是，y＝
3. 教材例2的再探索：
我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶，如图所示，，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A。
答案：直线的解析式：，直线的解析式：
15分钟
五、课堂小结
一、函数与方程之间的关系．
二、在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维．
三、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：；
2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3．解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
六、 布置作业
习题7.6 1、2题
教学反思
这节课由故事引入，激发了学生极大的学习兴趣。然后提出了三个尖锐的问题，让学生尝试探索，在探索中既体会到了探索的艰辛，又体会到了成功的喜悦。在应用和引申过程中，尽量让学生自主的发现问题，自主的解决问题。学生在紧张、愉快中完成了这节课的学习。
课件22张PPT。 二元一次方程
和一次函数（2）回顾与思考：一：二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点对应。以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3_－x 的图象. 二、因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。
三、用图象法解二元一次方程组的一般步骤:
1.把两个方程都化成函数表达式的形式。
2.画出两个函数的图象。
3.找出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。议一议：
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问：经过多长时间两人相遇 ? 议一议：
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问：经过多长时间两人相遇 ? 直线型图表示 A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问 经过多长时间两人相遇 ? 用图象法 解 行程问题图象表示 可以分别作出两人
s 与t 之间的关系图象，
找出交点的横坐标就行了！ 你明白他的想法吗？
用他的方法做一做，
看看和你的结果一致吗？ 小明的方法求出的结果准确吗？123 A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地同时相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问 经过多长时间两人相遇 ? 用方程 解 行程问题小彬 1 时后乙距A地
120千米,即乙的速度是 30千米/时,2 时后甲距A 地 40千米,故甲的速度是 20千米/时, 你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？?t=3 A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离s (千米) 都是骑车时间 t (时) 的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问 经过多长时间两人相遇 ? 求出s与t之间的关系式，联立解方程组 你明白他的想法吗？
用他的方法做一做，
看看和你的结果一致吗？ 对于乙，s 是t
的一次函数，
可设 s=kt+b。
当t=0时，s=150；
当t=1时，s=120。将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k、b的值，也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式。
同样可求出甲s与t之间的函数表达式。
再联立这两个表达式，求解方程组就行了。小颖提示用一元一次方程的方法可以解决问题用图象法可以解决问题用方程组的方法可以解决问题小明小彬小颖 用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。在以上的解题过程中你受到什么启发？例2、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元。
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？解（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0，k，b为常数）
根据题意，可得方程组：
解得：∴y=1/6x—5（2）当x=30时，y=0。
所以旅客最多可免费携带30千克的行李。P173引例.
如图，l11反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，当销售量为 时，销售收入等于销售成本。
l22反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：你有什么新的方法解决以前的问题吗？4000 下图中 l1 ，l2 分别表示 B 离岸起两船相对于海岸的距离ｓ与追赶时间ｔ之间的关系。根据图象回答下列问题：246810O2468t /分s /海里l11l22ＢＡ当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A。P174例2：你有什么新的方法解决以前的问题吗？思考题：
1、某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？（要求用图象法求解）
思考题：
1、某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？（要求用图象法求解）解：设：胜x场，负y场，则平2y场。
根据题意得：03518/3422xy17/2（2004年湖北省国家课改实验区中考题）
思考题：
2、已知方程组 ，所对应的一次函数的图象表示如图，试求出a-b的值。01/2-1XY（2004年贵阳市中考试题）这节课你有什么收获？ 学习目标
知识目标：
1、进一步理解一次函数与二元一次方程的关系；
2、掌握运用二元一次方程和一次函数解决实际问题的方法。
能力目标：
1、培养同学们分析问题、运用所学的知识解决实际问题的能力；
2、体会对应关系和数形结合思想。
情感目标：
体会数学知识间的联系与转化，培养探究创新精神。你一定能行的！随堂练习12342341-10-1l1l21134随堂练习随堂练习1234x0l1 2、在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。写出 y 与 x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。5y17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1当 x = 4 时, y = 16.5。0134课外思考题（备用题）1、用作图象法解方程组课外思考题（备用题）2、如图，L1和L2分别表示甲走路和乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，观察图象，回答下列问题：
（1）途中乙发生了什么事，
（2）他们是相遇还是追击；
（3）他们几时相遇。0ts108120.511.2ABDEP7.8---1、2。作业：谢谢你的合作！
再见！7.6 二元一次方程与一次函数
一、填空题:(每空2分,共22分)
1.一次函数y=3x-5的图象是______,它是由______个点组成,因此可以说,方程3x-y=5的解有______个.
2.二元一次方程x+2y=3化为关于x的一次函数式是_______, 函数图象上每一个点的坐标都是方程x+2y=3的_______.
3.一次函数y=2x-1和y=2x+3的图象是两条______直线,它们_____公共点( 填“有”或“没有”);二元一次方程组 的解的情形是_______.
4.已知一次函数y=2x-a与y=3x-b的图象交于x轴上原点外一点,则=_______.
5.当m=______时,直线y=3x+m与直线y=4-2x的交点在x轴上.
6.两条直线y=kx+1与y=x-k相交于点(-2,a),则k=______.
二、选择题:(每小题3分,共12分)
7.一次函数y=kx+b(b≠0)的自变量x的取值每增加1个单位,函数值y就相应地减少5个单位,则k的值为( )
A.5 B.-5 C. D.-
8.若 是方程组 的一个解,则a、b的值分别是( )
A.a=1,b=2 B.a=4,b=0; C.a=, b=-1 D.a=0,b-4
9.二元一次方程3x+2y=17的正整数解的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如果函数y=ax+2和y=bx-3的图象交于x轴上同一点,那么的值是( )
A.; B.- C.; D.-
三、解答题:(共16分)
11.(8分)用图象法解二元一次方程组.
12.(8分)已知直线y1=2x-1和y2=-x-1的图象如图所示,根据图象填空.
(1)当x____时,y1>y2;当x_____时,y1=y2;当x____时,y1 (2)方程组的解是_______.
答案:
一、1.一条直线,无穷多 无穷
2. 解
3.平行 没有 无解.
4. 5.-6 6.3
二、7.B 8.B 9.B 10.B
三、11.图象略,
12.(1)>0,=0,<0
(2) .
