人教A版（2019）数学必修第一册4.3对数
一、单选题
1．（2019高一上·苍南月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·吉林期中）已知 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一上·友好期中） （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2019高一上·哈尔滨期末） （ ）
A．2 B．-3 C．7 D．1
5．（2018高一上·会泽期中）方程 的解是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
6．（2018·泸州模拟）正数 ， ， 满足 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018·宁县模拟）若 ， ，则
A．11 B．13 C．30 D．40
8．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）已知lg3＝a，lg4＝b，则log312等于（ ）
A． B． C． D．
9．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2018高一上·牡丹江期中）如果关于 的方程 的两根是 ，则 的值是（ ）
A． B． C．35 D．
11．（2017-2018学年高中文数高考复习专题03：函数的应用）某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到（ ）
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
12．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）设 ，则f[f(2)]的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2019高三上·衡水月考）已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2019高一上·安平月考）当生物死亡后，其体内原有的碳 的含量大约每经过 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的 ，则该生物生存的年代距今约（ ）
A． 万年 B． 万年 C． 万年 D． 万年
二、填空题
15．（2019高三上·吉林月考）若 ， ，则 ．
16．（2019高一上·南京期中）计算 的值是 .
17．（2019·浙江模拟）若 ＝6，则 ＝ ； ＝
18．（2018高一上·武邑月考）设 ，则 .
19．（2018高一上·定远期中）已知函数 a>0且a≠1)的图象过点P(4， )，则f(x)的解析式为 ．
20．（2019高一上·沈阳月考）若 ,求
三、解答题
21．（2017高一上·定远期中）计算下列各式的值：
（1）（ln 5）0+（ ）0.5+ ﹣2log42；
（2）log21﹣lg 3 log32﹣lg 5．
22．（1）若6x=24y=12，求的值；
（2）解方程：log2（2x+8）=x+1．
23．（高中数学人教A版必修一 2.2.1对数与对数运算 同步练习）若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
24．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 则
故答案为：C
【分析】利用指对互化求解即可.
2．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
，
故答案为：C
【分析】根据对数的性质及指数幂的运算法则求解即可.
3．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】根据对数运算性质化简求值即可.
4．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】根据根式和对数的运算法则直接求解即可.
5．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】∵2 ＝2－2，
∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝ .
故答案为：A
【分析】 根据， 得log3x＝－2，解对数方程，即可得到该方程的解.
6．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ，且
故答案为：B
【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算性质，即可确定正确的关系式.
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据对数的运算性质求得。
8．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】log312＝ ＝ .
故答案为：A
【分析】利用对数的运算公式计算出结果即可。
9．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 ，
从而 ， 故答案为：D．
【分析】根据题意结合对数的运算性质计算出结果即可。
10．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7 lg5=0的两根为α、β，
∴lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7 lg5=0的两根，
∴lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），
∴lgαβ=﹣lg35，
∴α β的值是 ．
故答案为：D．
【分析】结合对数运算和一元二次方程根与系数关系，建立等式，即可得出答案。
11．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300. 故答案为：A
【分析】根据对数的运算性质代入数值即可得出结果。
12．【答案】C
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】f(2)=log3(22 1)=log33=1，则f[f(2)]=2. 故答案为：C
【分析】根据题意代入合适的解析式利用对数的定义计算出结果即可。
13．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意 ，故函数 是周期为4的函数，
由 ，则 ，即 ，
又函数 是定义在R上的奇函数，
则 ，
故答案为：A.
【分析】利用周期性和奇函数的性质可得， ，再根据指数运算和对数运算即可求得结果
14．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设该生物生存的年代距今是第 个5730年，
到今天需满足 ，
解得： ，
万年.
故答案为：C.
【分析】根据实际问题，可抽象出 ，按对数运算求解.
15．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ， .又 ， .
【分析】由指对关系，把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算。
16．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：2.
【分析】由对数的运算性质 ，换底公式 ，代入运算即可得解.
17．【答案】；
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题可得： ， ，所以 = ，
= 。
【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算，即可求出相应式子的值.
18．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
，
故答案为2.
【分析】利用对数的运算法则结合指数恒等式转化为一元二次方程，再利用一元二次方程的求根的方法结合对数函数的定义域的要求，从而求出x的值。
19．【答案】f(x)＝log16x
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题得 .
故答案为：f(x)＝log16x
【分析】将点的坐标代入，根据指数式与对数式的转化，求出a值，即可得到f（x）的解析式.
20．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： ， ，
， ，
则 ．
故答案为： ．
【分析】把指数式转化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．
21．【答案】（1）解：∵2log42= =
∴原式=1+ + ﹣
=
（2）解：log21﹣lg3 log32﹣lg5．
原式=0﹣ log32﹣lg5
=0﹣ ﹣lg5
=0﹣lg2﹣lg5
=﹣（lg2+lg5）
=﹣lg10
=﹣1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】对数运算中换底公式可以使得看似不能进行的计算得以进行.
22．【答案】解：（1）6x=24y=12，
∴x=log612，y=log2412，
∴=log126+log1224=log12（6×24）=log12122=2，
（2）log2（2x+8）=x+1．
∴2x+8=2x+1=2×2x，
∴2x=8=23，
∴x=3．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据对数的定义，求出x，y，再根据换底公式求出，，根据对数的运算性质计算即可；
23．【答案】解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝ .又因为a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，所以t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ .所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝2× ＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】利用对数的运算法则，结合韦达定理，即可得出结论。
24．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据已知条件利用对数的运算性质，计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。(3)根据题意利用对数的原式性质整理化简代数式计算出结果即可。
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一、单选题
1．（2019高一上·苍南月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 则
故答案为：C
【分析】利用指对互化求解即可.
2．（2019高一上·吉林期中）已知 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
，
故答案为：C
【分析】根据对数的性质及指数幂的运算法则求解即可.
3．（2019高一上·友好期中） （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】根据对数运算性质化简求值即可.
4．（2019高一上·哈尔滨期末） （ ）
A．2 B．-3 C．7 D．1
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】根据根式和对数的运算法则直接求解即可.
5．（2018高一上·会泽期中）方程 的解是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】∵2 ＝2－2，
∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝ .
故答案为：A
【分析】 根据， 得log3x＝－2，解对数方程，即可得到该方程的解.
6．（2018·泸州模拟）正数 ， ， 满足 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ，且
故答案为：B
【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算性质，即可确定正确的关系式.
7．（2018·宁县模拟）若 ， ，则
A．11 B．13 C．30 D．40
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据对数的运算性质求得。
8．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）已知lg3＝a，lg4＝b，则log312等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】log312＝ ＝ .
故答案为：A
【分析】利用对数的运算公式计算出结果即可。
9．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 ，
从而 ， 故答案为：D．
【分析】根据题意结合对数的运算性质计算出结果即可。
10．（2018高一上·牡丹江期中）如果关于 的方程 的两根是 ，则 的值是（ ）
A． B． C．35 D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7 lg5=0的两根为α、β，
∴lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7 lg5=0的两根，
∴lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），
∴lgαβ=﹣lg35，
∴α β的值是 ．
故答案为：D．
【分析】结合对数运算和一元二次方程根与系数关系，建立等式，即可得出答案。
11．（2017-2018学年高中文数高考复习专题03：函数的应用）某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到（ ）
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300. 故答案为：A
【分析】根据对数的运算性质代入数值即可得出结果。
12．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）设 ，则f[f(2)]的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】f(2)=log3(22 1)=log33=1，则f[f(2)]=2. 故答案为：C
【分析】根据题意代入合适的解析式利用对数的定义计算出结果即可。
13．（2019高三上·衡水月考）已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意 ，故函数 是周期为4的函数，
由 ，则 ，即 ，
又函数 是定义在R上的奇函数，
则 ，
故答案为：A.
【分析】利用周期性和奇函数的性质可得， ，再根据指数运算和对数运算即可求得结果
14．（2019高一上·安平月考）当生物死亡后，其体内原有的碳 的含量大约每经过 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的 ，则该生物生存的年代距今约（ ）
A． 万年 B． 万年 C． 万年 D． 万年
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设该生物生存的年代距今是第 个5730年，
到今天需满足 ，
解得： ，
万年.
故答案为：C.
【分析】根据实际问题，可抽象出 ，按对数运算求解.
二、填空题
15．（2019高三上·吉林月考）若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ， .又 ， .
【分析】由指对关系，把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算。
16．（2019高一上·南京期中）计算 的值是 .
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：2.
【分析】由对数的运算性质 ，换底公式 ，代入运算即可得解.
17．（2019·浙江模拟）若 ＝6，则 ＝ ； ＝
【答案】；
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题可得： ， ，所以 = ，
= 。
【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算，即可求出相应式子的值.
18．（2018高一上·武邑月考）设 ，则 .
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
，
故答案为2.
【分析】利用对数的运算法则结合指数恒等式转化为一元二次方程，再利用一元二次方程的求根的方法结合对数函数的定义域的要求，从而求出x的值。
19．（2018高一上·定远期中）已知函数 a>0且a≠1)的图象过点P(4， )，则f(x)的解析式为 ．
【答案】f(x)＝log16x
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题得 .
故答案为：f(x)＝log16x
【分析】将点的坐标代入，根据指数式与对数式的转化，求出a值，即可得到f（x）的解析式.
20．（2019高一上·沈阳月考）若 ,求
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： ， ，
， ，
则 ．
故答案为： ．
【分析】把指数式转化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．
三、解答题
21．（2017高一上·定远期中）计算下列各式的值：
（1）（ln 5）0+（ ）0.5+ ﹣2log42；
（2）log21﹣lg 3 log32﹣lg 5．
【答案】（1）解：∵2log42= =
∴原式=1+ + ﹣
=
（2）解：log21﹣lg3 log32﹣lg5．
原式=0﹣ log32﹣lg5
=0﹣ ﹣lg5
=0﹣lg2﹣lg5
=﹣（lg2+lg5）
=﹣lg10
=﹣1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】对数运算中换底公式可以使得看似不能进行的计算得以进行.
22．（1）若6x=24y=12，求的值；
（2）解方程：log2（2x+8）=x+1．
【答案】解：（1）6x=24y=12，
∴x=log612，y=log2412，
∴=log126+log1224=log12（6×24）=log12122=2，
（2）log2（2x+8）=x+1．
∴2x+8=2x+1=2×2x，
∴2x=8=23，
∴x=3．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据对数的定义，求出x，y，再根据换底公式求出，，根据对数的运算性质计算即可；
23．（高中数学人教A版必修一 2.2.1对数与对数运算 同步练习）若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【答案】解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝ .又因为a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，所以t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ .所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝2× ＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】利用对数的运算法则，结合韦达定理，即可得出结论。
24．（高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据已知条件利用对数的运算性质，计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。(3)根据题意利用对数的原式性质整理化简代数式计算出结果即可。
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