第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
教学设计
一、教学目标
1.掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义.
2.能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果.
3.理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
二、教学重难点
1、教学重点
向量的数乘运算及其几何意义.
2、教学难点
向量的数乘运算的实际应用.
三、教学过程
1、新课导入
在前面的学习中，我们已经掌握了向量的加法、减法运算，向量之间还有哪些运算呢？类比数的乘法，这节课我们就来一起探究一下向量的数乘运算吧.
2、探索新知
一、向量的数乘
一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反.
由（1）可知，当时，.
由（1）（2）可知，.
二、向量数乘的运算律
设，为实数，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
特别地，我们有，.
三、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量a，b，以及任意实数，，，恒有.
例1 计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
例2 如图，的两条对角线相交于点M，且，，用a，b表示，，和.
解：在中，，.
由平行四边形的两条对角线互相平分，
得，，
，.
四、向量共线定理
事实上，对于向量，b，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知a与b共线.
反过来，已知向量a与b共线，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即，那么当a与b同方向时，有；当a与b反方向时，有.
综上，有如下定理：
向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
例3 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作，，.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上，在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立.
解：分别作向量，，，过点A，C作直线AC如图，
观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线.
事实上，因为，，
所以. 因此A，B，C三点共线.
例4 已知a，b是两个不共线的向量，向量，共线，求实数t的值.
解：由a，b不共线，易知为非零向量，
由向量，共线，
可知存在实数，使得，即.
由a，b不共线，必有，
否则，不妨设，则，
由两个向量共线的充要条件知a，b共线，与已知矛盾，
由，解得，
因此，当向量，共线时，.
3、课堂练习
1.在中，，，若点D满足，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意得.故选A.
2.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：当时，，，所以，此时m，n共线，故选D.
3.已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：
①；
②；
③若，则；
④若，则.
其中，正确的说法是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
答案：B
解析：①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当时，，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由，得，又因为，所以，即.故选B.
4、小结作业
小结：本节课学习了向量的数乘及运算律，掌握了向量的线性运算和向量共线定理.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
6.2.3 向量的数乘运算
1.向量的数乘：一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反.
由（1）可知，当时，；由（1）（2）可知，.
2.向量数乘的运算律：设，为实数，则
（1）；（2）；（3）.
特别地，有，.
3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，，，恒有.
4.向量共线定理：向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.(共33张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
学习目标
1.掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义.
2.能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果.
3.理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
探索新知
向量的数乘
向量数乘的运算律
向量的线性运算
例题剖析
向量共线定理
例题剖析
课堂小练
课堂小结：
你学到了那些新知识呢？
本节课学习了向量的数乘及运算律，掌握了向量的线性运算和向量共线定理.
C
3b
B
2b
A
b
a第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
学案
一、学习目标
1.掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义.
2.能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果.
3.理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
二、基础梳理
1.向量的数乘：一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反.
由（1）可知，当时，；由（1）（2）可知，.
2.向量数乘的运算律：设，为实数，则
（1）；（2）；（3）.
特别地，有，.
3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，，，恒有.
4.向量共线定理：向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
三、巩固练习
1.等于( )
A. B. C. D.
2.在中，，，若点D满足，则( )
A. B. C. D.
3.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：
①；
②；
③若，则；
④若，则.
其中，正确的说法是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
5.设D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知a，b是不共线的向量，,，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，D是边BC的中点，，则用向量，表示为( )
A. B.
C. D.
8.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①且；
②存在相异实数，，使；
③(其中实数满足)；
④已知梯形，其中，.
A.①② B.①③ C.② D.③④
9.若，b与a的方向相反，且，则_______.
10.若a，b为已知向量，且，则______________.
11.点C在线段AB上，且，则________，________.
12.已知向量a，b不共线，且，.若c与d同向，则实数的值为______________.
13.如图，在中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且，设，.求证：.
14.解答：
(1)化简；
(2)已知向量a，b，且，求.
15.如图，C是点B关于点A的对称点，D是线段OB靠近点B的三等分点，设，.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若，求证：C，D，E三点共线.
答案以及解析
1.答案：B
解析：原式.故选B.
2.答案：A
解析：由题意得.故选A.
3.答案：D
解析：当时，，，所以，此时m，n共线，故选D.
4.答案：B
解析：①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当时，，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由，得，又因为，所以，即.故选B.
5.答案：A
解析：因为D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，
所以
.故选A.
6.答案：B
解析：因为A，B，C三点共线，所以向量.令，，.由a，b是不共线的向量，得，解得，.故选B.
7.答案：A
解析：由题意可得
.故选A.
8.答案：A
解析：由得，故①正确；由，得，故②正确；若，，但b与a不一定共线，故③错误；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④错误.故选A.
9.答案：
解析：与a方向相反，设，，，，又，.
10.答案：
解析：，，，，化简，.
11.答案：；
解析： 设，则，，，.
12.答案：1
解析：由于c与d同向，设，于是，整理得，由于a，b不共线，所以，整理得，所以或，又因为，所以，故.
13.解析：因为，所以，，
所以.
14.解析：(1)原式.
(2)将两边同乘2，得.
与相加，得，.
.
15.解析：(1)，，，
.
(2)，
，.
又与CD有共同点C，
，D，E三点共线.
