2021-2022年北师大版七年级数学下册2.3平行线的性质解答题优生辅导训练（Word版含答案）

2021-2022年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》解答题优生辅导训练（附答案）
1．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，则∠1与∠2是否相等？说说你的理由．
2．如图，BE平分∠ABC交CD的延长线于E，∠ABC＝2∠E，∠ADE＝∠BCD．
（1）请说明AB∥EF的理由；
（2）若AF平分∠BAD交DC的延长线于F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
3．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．
（提示：三角形的内角和等于180°）
①填空或填写理由
解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180° 　 　
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴　 　∥　 　，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD+　 　＝180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°
②依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
③观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不说明理由．
4．课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝　 　，∠C＝　 　．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
提示：过点C作CF∥AB．
深化拓展：
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为　 　°．
5．（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明理由吗？
（2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？
（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？
（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？
（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？
6．（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图①，如果AB∥CD，求证：∠APC＝∠A+∠C．
证明：过P作PM∥AB．
∴∠A＝∠APM，（　 　）
∵PM∥AB，AB∥CD（已知）
∴PM∥CD，（　 　）
∴∠C＝　 　（　 　）
∵∠APC＝∠APM+∠CPM，
∴∠APC＝∠A+∠C（等量代换）
（2）如图②，AB∥CD，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C＝　 　．
（3）如图③，AB∥CD，若∠ABP＝x，∠BPQ＝y，∠PQC＝z，∠QCD＝m，你能用x，y，z表示m的大小吗？试说明理由．
7．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；
（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；
（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
8．已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD．
（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
9．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
10．已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．
①求证：PM⊥PN；
②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．
11．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．
12．[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠PFD＝130°（已知），
∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．
即∠EPF＝90°（等量代换）．
[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是　 　°．
13．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
14．三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．
（1）如图1，求证：CF∥AB；
（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．
15．已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（ⅰ）求∠EOC的度数；
（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；
（ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于　 　．（在横线上填上答案即可）
16．（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是　 　；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝　 　°．
（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．
17．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　；请说明理由；
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
18．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E＝90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE＝∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
（2、3小题只需选一题说明理由）
19．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC+∠ACE＝90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠E＝90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E点移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？写出结论，并加以证明．
20．如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．
（1）求证：GH∥MN；
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG＝∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接写出∠GAC的度数　 　．
参考答案
1．解：∠1＝∠2，
理由是：
∵∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠P＝∠Q，
∴∠PBC＝∠QCB，
∴∠ABC﹣∠PBC＝∠BCD﹣∠QCB，
即∠1＝∠2．
2．解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF；
（2）AF与BE的位置关系是垂直，理由如下：
∵∠ADE＝∠BCD．
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABC＝2∠ABE，∠BAD＝2∠BAF，
∴2∠ABE+2∠BAF＝180°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AF⊥BE．
3．解：①猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD+∠CDP＝180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°
②猜想∠BPD＝∠B+∠D
理由：过点P作EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD＝∠D
∴∠BPD＝∠B+∠D
③与②的作法相同，过点P作EP∥AB，可得：（3）∠BPD+∠B＝∠D，（4）∠BPD＝∠B﹣∠D
4．解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DCA，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
（2）过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠B＝∠BCF，∠C＝∠DCF，
∴∠B+∠BCD+∠D＝∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°．
（3）如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°
故答案为：65；
5．解：（1）如图1，作EF∥AB，，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠2，
∴∠B+∠D＝∠1+∠2，
又∵∠1+∠2＝∠E，
∴∠B+∠D＝∠E．
（2）如图2，作EF∥AB，，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠1，
∵∠E＝∠1+∠2＝∠B+∠D，
∴∠D＝∠2，
∴EF∥CD，
又∵EF∥AB，
∴AB∥CD．
（3）如图3，过E作EF∥AB，，
∵EF∥AB，
∴∠BEF+∠B＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∵∠BEF+∠DEF＝∠E，
∴∠E+∠B+∠D＝180°+180°＝360°．
（4）如图4，，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠D+∠E＝∠BFD，
∴∠D+∠E＝∠B．
（5）如图5，作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，，
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D，
∴∠1+∠2+∠5+∠6＝∠B+∠3+∠4+∠D；
∵∠1+∠2＝∠E，∠5+∠6＝∠G，∠3+∠4＝∠F，
∴∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D．
6．解：（1）证明：过P作PM∥AB，
∴∠A＝∠APM，（两直线平行，内错角相等），
∵PM∥AB，AB∥CD（已知），
∴PM∥CD，（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CPM（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠APC＝∠APM+∠CPM，
∴∠APC＝∠A+∠C（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两直线平行，∠CPM，两直线平行，内错角相等；
（2）∠A+∠P+∠Q+∠C＝540°，
故答案为：540°；
（3）m＝x+z﹣y，
理由是：如图③，过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠ABP＝∠BPM＝x，∠C＝∠CQN，∠QPM＝∠PQN，
∴∠C＝∠CPQ﹣∠NPQ＝∠CPQ﹣∠QPM＝∠CQP﹣（∠BPQ﹣∠B）＝z﹣（y﹣x）＝x+z﹣y．
7．解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，
如图1，过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
∵AB∥EH，
∴∠APE＝∠PEH，
又∵CD∥EH，
∴∠CQE＝∠HEQ，
∵∠PEQ＝∠PEH+HEQ，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）如图2，由（1）得，∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝130°；
∵∠APE+∠BPE＝180°，∠CQE+∠DQE＝180°，
∴∠BPE+∠DQE＝360°﹣130°＝230°，
又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝（∠BPE+∠DQE）＝×230°＝115°，
在四边形PEQF中，
∠PFQ＝360°﹣（∠1+∠2+∠PEQ）＝360°﹣（115°+130°）＝115°；
（3）140°，如图3，延长PF交CD与点M，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠BPE＝∠DNE，∠2＝∠PMC＝∠1，
又∵∠DQE＝∠DNE+∠E，即2∠4＝2∠1+80°，
∴∠4﹣∠1＝40°，
∴∠PFQ＝∠FQD+∠PMC＝180°﹣∠4+∠1＝180°﹣（∠4﹣∠1）＝180°﹣40°＝140°．
8．（1）证明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，
∴∠BGE＝∠DHE，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠AGM＝32°，∠MHC＝68°，
∴∠GMH＝100°．
（3）解：∠QHN的度数不发生改变，理由如下，
由（2）得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，
∴∠MGH+∠MHG＝80°，
∵GP、HQ分别平分∠MGA和∠MHD，
∴∠MGP＝∠MGA，∠MHQ＝∠MHD＝（180°﹣∠MHC）＝90°﹣∠MHC，
∴∠PGH＝∠MGP+∠MGH＝∠MGA+∠MGH，
∵HN∥PG，
∴∠GHN＝∠PGH＝∠MGA+∠MGH，
∴∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ＝（∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）＝∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG＝∠MGA+80°﹣∠MHQ，
∴∠QHN＝∠MGA+80°﹣（90°﹣∠MHC）＝﹣10°+（∠MGA+∠MHC）＝﹣10°+×100°＝40°．
9．解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点N作NK∥CD，
∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，
设∠4＝x，∠7＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，
（3）
∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，
∴x＝，
∴x﹣y＝﹣y＝45°
∴y＝27°，x＝72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，
∴，
故答案为．
10．证明：（1）∵∠1＝∠HGB，∠1+∠2＝180°，
∴∠HGB+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
（2）①过Q作QK∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴QK∥AB∥CD，
∴∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，
∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝∠BMQ+∠DNQ，
同理，∠MPN＝∠BMP+∠DNP，
设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，
则∠MQK＝x，∠KQN＝y，∠PMQ＝2x，∠PNQ＝2y，
∵∠MQN＝30°，
∴x+y＝30°，
∴∠MPN＝3x+3y＝90°，
∴PM⊥PN；
解：（2）②如图2，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，
∵AB∥CD，
∴SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，
∵GL平分∠EGB，
∴可设∠EGL＝∠LGB＝x，
同理，∠MPL＝∠TPL＝45°，可设∠CNK＝∠KNP＝y，
∵IS∥AB∥PW′，
∴∠ILG＝∠LGB＝x，
∠SLP＝∠LPW′，
∵PW′∥CD，
∴∠W′PN＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2y，
∴∠W′PL＝180°﹣∠W′PN﹣∠LPT＝2y﹣45°，
∴∠SLP＝∠LPW′＝2y﹣45°，
∴∠GLP＝180°﹣∠ILG﹣∠SLP＝225°﹣x﹣2y，
∵AB∥KW∥CD，
∴∠AGK＝∠GKW＝∠EGB＝2x，∠WKN＝∠KNC＝y，
∴∠EKN＝∠GKW+∠WKN＝2x+y，
∵∠EKN+∠GLP＝170°，
∴2x+y+225°﹣x﹣2y＝170°，
∴y﹣x＝55°，
∴∠PNH﹣∠EHD＝2y﹣2x＝110°．
11．证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，
∴∠BCM＝3α，
∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，
∴AB∥CD．
解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，
∵AB∥OF，
∴∠B＝∠BOF，
CD∥OF，
∴∠FOD＝∠D，
∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．
证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠QPC＝∠PCD＝α，
∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，
∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，
且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，
∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，
又∵EP平分∠OEB，
∴∠COE＝2∠EPC+∠B．
12．[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．
故答案为：35．
13．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
14．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠BCF+∠ADE＝180°．
∴∠BCF+∠B＝180°．
∴CF∥AB；
（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，
∴∠BEK＝∠ABE＝40°，
∵CF∥AB，
∴CF∥EK，
∴∠CEK＝∠ACF＝60°，
∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；
（3）∵BE平分∠ABG，
∴∠EBG＝∠ABE＝40°，
∵∠EBC：∠ECB＝7：13，
∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，
∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，
∴13x+7x+100＝180，
解得x＝4，
∴∠EBC＝7x°＝28°，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，
∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．
15．解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A＝∠B，
∴∠A+∠O＝180°，（等量代换）
∴OB∥AC．（同旁内角互补，两直线平行）
（2）（ⅰ）∵∠A＝∠B＝100°，
由（1）得∠BOA＝180°﹣∠B＝80°；
∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°．
（ⅱ）∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2．
（ⅲ）∵OB∥AC，
∴∠OCA＝∠BOC，
设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝80°，
∴α＝β＝20°，
∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．
故答案是：60°．
16．解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，
∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．
由题可知：∠BAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝40°+45°＝85°．
故答案为：∠1+∠2＝∠3，85°．
（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
17．解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案为110°．
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，
∠CPD＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，
∠CPD＝∠α﹣∠β．
18．解：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAE+∠MCD＝90°；
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠E＝90°，
∴∠BAE+∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ＝180°，
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC．
19．解：（1）AB∥CD，
理由：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠ACD＝2∠ACE，∠BAC＝2∠EAC，
又∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACD+∠BAC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAE+∠ECD＝90°，
理由：延长AE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AFC，
∵∠AEC是△EFC的一个外角，
∴∠AEC＝∠AFC+∠ECD＝90°，
∴∠BAE+∠ECD＝90°；
（3）∠CPQ+∠CQP＝∠BAC，
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACG，
∵∠ACG是△PCQ的一个外角，
∴∠ACG＝∠CPQ+∠CQP，
∴∠CPQ+∠CQP＝∠BAC．
20．解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，
∵∠ACD＝∠D，
∴AP∥BD，
∴∠NBD＝∠NPA，
∵∠GAC＝∠NBD，
∴∠GAC＝∠NPA，
∴GH∥MN；
（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，
∵∠E+∠EAQ+∠AQE＝180°，∠EQA+∠AQD＝180°，
∴∠AQD＝∠E+∠EAQ，
∵AC∥BD，
∴∠AQD＝∠BDQ，
∴∠BDQ＝∠E+∠EAQ，
∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，
∴∠GAC＝2∠EAQ，∠CDB＝2∠BDQ，
∴∠CDB＝2∠E+∠GAC，
∵∠AED＝∠GAC，∠ACD＝∠CDB，
∴∠ACD＝2∠GAC+∠GAC＝3∠GAC；
（3）当K在直线GH下方时，设射线BF交GH于I，
∵GH∥MN，
∴∠AIB＝∠FBM，
∵BF平分∠MBD，
∴∠DBF＝∠FBM＝，
∴∠AIB＝∠DBF，
∵∠AIB+∠KAG＝∠AKB，∠AKB＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠DBF+∠KAG，
∵∠KAG＝∠GAC，∠GAC＝∠NBD，
∴∠GAC+＝∠ACD＝3∠GAC，
即∠GAC+∠GAC＝3∠GAC，
解得∠GAC＝．
当K在直线GH上方时，同法可得∠GAC＝（）°．
故答案为或（）°