2021-2022学年湘教版八年级数学下册 2.6菱形同步自主达标测试题 （word版含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-6菱形》同步自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（　　）
A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF
2．菱形ABCD的边长为8，有一个内角为120°，则较长的对角线的长为（　　）
A． B．8 C． D．4
3．如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．（2，2）
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（　　）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
5．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　）
A．16 B．16 C．32 D．32
6．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD．上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则FG的长为（　　）
A． B． C．1 D．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（　　）
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，点F分别在边AB和边AD上，BE＝AF，则∠AEC+∠AFC的度数为 　 　．
10．菱形ABCD的面积为24，对角线AC的长为6，则对角线BD的长为 　 　．
11．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 　 　cm2．
12．已知菱形ABCD两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，则菱形EFGH两条对角线的长分别是 　 　．
13．如图，菱形ABCD边长为4，∠B＝60°，DE＝AD，BF＝BC，连接EF交菱形的对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于 　 　．
14．在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，OE为△BOC中BC边上的高．若△ABC的两条边长分别为8和6，则线段CE的长为 　 　．
15．如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA的大小为 　 　．
16．如图，BD为边长为a的菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB，BD向终点B和D运动，连接DM和AN，DM和AN相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分48分）
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　 　°时，四边形BFDE是菱形．
18．已知，如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．
19．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F使得OE＝EF，连接FD，FC，FC交BD于点G．
求证：（1）△FGD≌△CGO；
（2）当AB与AC有怎样的数量关系时，四边形FOCD是菱形，并说明理由．
20．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F，连接BF，DE．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
21．如图，过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
22．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，
A、添加∠BAE＝∠FCD，利用ASA能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
B、添加∠BEA＝∠DFC，利用AAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
C、添加AE＝CF，不能得出△ABE≌△CDF，符合题意；
D、添加BE＝DF，利用SAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
故选：C．
2．解：在菱形ABCD中，∠BAO＝∠BAD＝×120°＝60°，
又在△ABC中，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝60°，
∠ABC＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝8，
∴AO＝4，
∴BO＝，
∴BD＝2BO＝8，
故选：A．
3．解：过C作CD⊥OA于D，如图：
则∠ODC＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝4，
∵∠AOC＝60°，
∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴DD＝OC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故选：A．
4．解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC AE，
∴AE＝×＝9.6，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，CD＝DE，
∵PF⊥CD，
∴△DPF是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，PD＝PF，
设PF＝DF＝x，则PD＝x，
∵△PDF的周长为8，
∴x+x+x＝8，
解得：x＝8﹣4，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF＝x，
∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，
∴BC＝CD＝DE＝8，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，
故选：D．
6．解：过点E作EM∥BC交AC于M，EN⊥BC于N，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝∠FAC＝∠BAD＝60°，AD∥BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵EM∥BC，
∴EM∥AD，∠AEM＝∠B＝60°＝∠BAC，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∵EM∥AD，
∴FG＝EF，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∵EN⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BEN＝30°，
∴BN＝BE＝，
∴EN＝BN＝，CN＝BC﹣BN＝4﹣＝，
∴EF＝CE＝＝＝，
∴FG＝EF＝，
故选：A．
7．解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．
8．解：设GF和AC的交点为点P，如图：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②正确，
∴∠EGF＝∠GEB，GF＝BE，
∴GF∥BE，
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG＝EG＝AB，
∴EG＝EF，即①正确，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF＝BE，
∵GP＝BE＝GF，
∴GP＝FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE＝∠FPE＝90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP＝∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④正确．
∵BG＝FE，GF＝BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝CD，∠BAC＝60°＝∠D，
∵BE＝AF，
∴AE＝DF，
在△ACE和△DCF中，
，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠AEC＝∠DFC，
∵∠DFC+∠AFC＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
故答案为：180°．
10．解：菱形ABCD的面积S＝AC BD＝24，
∵AC＝6，
∴BD＝＝8，
故答案为8．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4．
12．解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∴菱形ABCD的周长是：5×4＝20，面积是：×6×8＝24．
∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，
∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，
∴菱形EFGH的边长是10，
设菱形EFGH的对角线为2a，2b，
∴a2+b2＝100，×2a×2b＝48，
∴a＝﹣，b＝+，
∴菱形EFGH两条对角线的长分别是2﹣2，2+2，
故答案为：2﹣2，2+2．
13．解：连接CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，∠DAC＝∠ACB，
∴S△ADC＝×AD2＝4，
∵DE＝AD，BF＝BC，
∴AE＝CF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AO＝CO，
∵DE＝AD，
∴S△CDE＝S△ADC＝，S△ACE＝3，
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE＝，
∴阴影部分面积＝4﹣＝，
故答案为：．
14．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，OE为△BOC中BC边上的高，
∴∠BOC＝∠OBC＝90°，
∵∠BCO＝∠OCB，
①当对角线AC为8，菱形的边长BC为6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC＝4，
∴，
解得：CE＝；
②当对角线AC为6，菱形的边长BC为8时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝AC＝3，
∴，
解得：CE＝，
故答案为：或．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，
∵△CBE是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE，CD＝CE，∠DCE＝140°，∠ABE＝160°，
∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠DCE）＝20°，∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣160°）＝10°，
∴∠DEA＝∠BEC﹣∠DEC﹣∠BEA＝30°，
故答案为：30°．
16．解：∵菱形ABCD中∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，AB＝AD，
∴AB＝AD＝BD＝a，∠DAM＝∠ABN＝60°，
∵点M和点N的时间和速度相同，
∴AM＝BN，
∴△DAM≌△ABN（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠DAP+∠BAN＝∠DAM＝60°，
∴∠PDA+∠PAD＝60°，
∴∠APD＝120°，
延长CD至点E，使得ED＝CD，连接AE，则△AED是等边三角形，
∴AE＝ED＝AD＝a，∠EAD＝∠EDA＝∠AED＝60°，
∴∠DEA+∠APD＝180°，∠EAD+∠DAP+∠EDA+∠ADP＝180°，
连接BO交⊙O于点P，此时BP最小，
过点O作OH⊥ED于点H，连接OD，则∠EOD＝2∠EAD＝120°，∠OHD＝90°，DH＝ED＝a，
∴∠HDO＝30°，
∴r＝OD＝，∠ODB＝∠EDA+∠ADB﹣∠ODE＝60°+60°﹣30°＝90°，
∴OB＝＝＝，
∴BP最小值＝OB﹣r＝﹣＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分48分）
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当∠ABE＝12°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1＝32°，∠ADB＝22°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠ADB＝10°，
∵∠ABE＝12°，
∴∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝22°，
∴∠DBE＝∠ADB＝22°，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为：12．
18．证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，
∴∠AEB＝∠ACF，
∴BD∥CF，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形．
19．（1）证明：在△ACD中，点O，E分别为边AC，AD中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE∥CD，，
又∵，
∴OF∥CD，OF＝CD，
∴四边形OCDF为平行四边形，
∴FD∥OC，FD＝OC，
∴∠GFD＝∠GCO，∠GDF＝∠GOC，
∴△FGD≌△HGO（ASA）；
（2）解：当时，四边形FOCD是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AB＝CD＝OC，
由（1）得：四边形OCDF为平行四边形，
∴平行四边形FOCD是菱形，
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：添加一个条件：EF⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
由（1）点：△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）如图所示：
由（1）得：△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴平行四边形PMQN是菱形．
22．解：（1）∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，
∵DE∥BC，
∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD（AAS）；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC＝AP，
由（1）可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP+PD＝AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
23．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．