2021-2022学年人教版八年级下册数学18.2.3正方形巩固练习（Word版含答案）

2021-2022学年八年级下册数学巩固练习（人教版）
18.2.3正方形
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A. B. C. D.
2.在四边形ABCD中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是( )
A. B. C. D.
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从
①，
②，
③，
④四个条件中，
选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④
4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角都是直角 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
5.正方形的对角线长为a则它的两条对角线的交点到它的一边的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则( )
A. B. C. D.
7.如图在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分，垂足为点G，则的度数为( )
A.45° B.30° C.60° D.40°
8.如图，以正方形的边为一边向外作等边，则的度数为( )
A．55° B.45° C．40° D．42.5°
9.如图,正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将绕着点D顺时针旋转45°得到，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；
②的面积是；
③；
④.
其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
10.如图，正方形ABCD中，点P在AC上，，垂足分别为E、F,，则PD的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
二、填空题
11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的顶点A在第二象限，顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，若正方形ABOC的面积等于7，则点A的坐标是____________.
12.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边，连接DE，CE，则的度数为__________.
13.如图，是正方形的对角线上的两点，，则四边形的周长是______.
14.如图，四边形是矩形，对角线、相交于点，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是________．
15.如图，以边长为1的正方形ABCD的边为对角线作第2个正方形，再以BE为对角线作第3个正方形，如此下去，…则所作的第n个正方形的面积___________.
三、解答题
16.已知：如图，在中，，垂足为点D，AN是外角的平分线，垂足为点E，连接DE交AC于点F.
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若，求正方形ADCE周长.
17.如图，在平行四边形中，点分别在边上，，，且平分.
(1)求证：
(2)若.求证：四边形是正方形.
18.探究：如图,分别以的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE交于点P.
（1）求证：
（2）应用：Q是线段BC的中点，若则__________.
19.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且，N是AC上的一动点，求的最小值.
20.如图，点分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且.把绕点A顺时针旋转90°得到.
（1）求证：.
（2）若，求正方形ABCD的边长.
参考答案
1.答案：C
解析：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：（1）有一个内角是直角；（2）对角线相等，即或.故选C.
2.答案：D
解析：，四边形ABCD是矩形，当时，四边形ABCD是正方形，故选D.
3.答案：B
解析：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选②③不能得出四边形ABCD是正方形.故选B.
4.答案：C
解析：A.正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意；B.正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意；C.正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项符合题意；D.正方形和矩形的对角线都相等，故本选项不符合题意.故选C.
5.答案：C
6.答案：D
解析：本题考查全等三角形的判定、图形折叠的性质.
四边形ABCD是边长为的正方形，，.
由折叠的性质知：，，，.
.在与中，
，
，故选D.
7.答案：A
解析：在正方形ABCD中，，
，
，
EA平分，，
.
在与中，，
，
，
，
故选A.
8.答案：B
9.答案：B
解析：四边形ABCD是正方形，，，.
由旋转得到，，
在和中，，，，
同理，，四边形AEGF是菱形，①正确，，③错误.
根据题意可求得，
在等腰直角三角形EGB中，可求得，故，所以，即可得的面积是，②正确.
由①的证明过程可得，所以，即可得，④正确.
综上，正确的结论为①②④.故选B.
10.答案：D
解析：如图，连接PB，
在正方形ABCD中，，又，.，四边形BFPE是矩形，，故选D.
11.答案：
解析：正方形ABOC的面积等于7，正方形ABOC的边长为，正方形ABOC的顶点A在第二象限，点A的坐标是.
12.答案：150°
解析：四边形ABCD是正方形，
.
是等边三角形，
，
，
，
.
13.答案：
解析：本题考查正方形的性质、菱形的判定及性质、勾股定理.如图，连接交于点O，在正方形中，，，，，∴四边形是菱形.又与互相垂直平分，，在中，由勾股定理得四边形的周长为
14.答案：
解析：∵四边形是矩形，
∴当时，四边形是正方形，
故答案为：
15.答案：
解析：第1个正方形的边长为1，面积；第2个正方形的边长为，面积；第3个正方形的边长为，面积；第4个正方形的边长为，面积，…，则第n个正方形的面积.
16.答案：（1），，
，AN是外角的平分线，
.与互为补角，，
，
，，
，
四边形ADCE为矩形.
（2）当时，四边形ADCE是一个正方形.证明如下：
且，.
，.
，.
四边形ADCE为矩形，四边形ADCE为正方形.
（3）由勾股定理，得.
，即，，
正方形ADCE周长.
17.答案：(1)∵四边形是平行四边形
∴
(2) ∵四边形是平行四边形
又
∴四边形为平行四边形
∵EG平分
又∵
∴平行四边形是正方形
18.答案：（1）四边形ANMB和ACDE是正方形，，.
，，
.
在和中，
，
.
（2）设AB与NC相交于点O.四边形NABM是正方形，
.，，
，，
Q为BC中点，，.
19.答案：如答图，连接BN，BD.
因为正方形是轴对称图形，点B与点D关于直线AC对称，
所以由对称性可知，
所以.
连接BM交AC于点P.
因为N为AC上的一动点，
所以由三角形两边之和大于第三边知，当点N运动到点P时，取得最小值，即BM的长.
因为四边形ABCD为正方形，
所以，，，
所以，所以（负值已舍去），
即的最小值为10.
20.答案：（1）证明：如图，由旋转知，
.
。，
.
在和中
(2)由(1)知即
.
.
设正方形的边长为a，
则
在中,
.
解得（舍去）.
故正方形的边长为6.