2021-2022学年北师大数学八年级下册1.4角平分线+课后训练A（Word版含答案）

北师大数学八年级下册第一章 三角形的证明 1.3角平分线 课后训练A（含答案）
姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2．如图，已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（ ）
①作射线；②在射线和上分别截取、，使；③分别以、为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
3．如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）
A．：： B．：：
C．：： D．：：
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
5．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC
C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
7．如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
8．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若，，则BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
10．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④：：；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；
②；
③点D在AB的中垂线上；
④：：．
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是________．
14．如图，在中，，平分，，点到的距离为5.6，则___．
15．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，且EFBC，垂足为点F，，则EF的值为___________．
16．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 _____．
17．如图所示，在ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，作DE⊥AB于点E．若CD＝3，那么DE的长为___．
18．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF//BC交AB于E，交AC于F，过点G作于D，下列五个结论：①；②；③；④点G到△ABC各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论是______（请填写序号）．
19．如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为______．
20．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是 _____．
三、解答题
21．已知：如图，是的角平分线．
求证：．
22．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等．
23．如图，在中，．
(1)过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
(2)若，，求的面积．
24．如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．
求证：
25．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：CE平分∠BCD；
(2)求证：AD+BC=CD．
26．在中，，，于D，过C点引射线交延长线于F点．过B点作于E点、分别交、于点G，H．
(1)求证：；
(2)若；
①判断是否是的角平分线，并说明理由；
②说明．
27．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若AB＝5，BC＝8，求DE的长．
参考答案：
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．D
13．33
14．
15．4
16．2
17．3
18．①③④
19．
20．4
21．证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分，DE⊥AB，，
∴DE=DC，
∵在直角三角形BED中，，
∴，
∴．
22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
23．(1)∠ABC的平分线如图所示．
(2)作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD=DH=3，
∴△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC CD+AB DH=×3BC+×3AB=×3（BC+AB）=×3×16=24．
24．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
25．(1)证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
(2)证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB，
在Rt△DEA和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL），
∴DA＝DM，
同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL），
∴CB＝CM，
∴CD＝DM+MC＝AD+BC．
26．(1)证明：∵BE⊥CF于E点，
∴∠BEC=90°，
∴∠BAC=90°=∠BEC
∵∠ABH+∠BHA=90°，∠ACF+∠CHE=90°，∠BHA=∠CHE，
∴∠ABH=∠ACF
在△ABH和△ACF中
∵
∴△ABH≌△ACF（AAS）．
(2)解：①BE是CBF是角平分线．
理由如下：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGD，
∴∠AHG=∠BGD
∵AD⊥BC于D点，
∴∠GBD+∠BGD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABH+∠AHB=90°，
∴∠GBD=∠ABH，
∴BE是△CBF是角平分线．
②证明：∵△ABH≌△ACF，
∴BH=CF，
∵BE是△CBF是角平分线，
∴，
在△BCE和△BFE中
∵
∴△BCE≌△BFE，
∴EF=CE=，
∴BH=2CE．
27．(1)证明：如图，连接AD，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
(2)解：∵AB＝AC，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，
∴AD＝＝＝3，
∴S△ABD＝AB DE＝BD AD，
∴5DE＝4×3，
∴DE＝．
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