2021-2022学年四川省宜宾市九年级上学期期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年四川省宜宾市九年级（上）期末数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
下列计算中，正确的是
A. B. C. D.
下列二次根式中与是同类二次根式的是
A. B. C. D.
下列方程中，是关于的一元二次方程是
A. B.
C. D.
已知是一元二次方程的一个解，则的值是
A. B. C. D. 或
下列事件是必然事件的是
A. 明天会下雨
B. 抛一枚硬币，正面朝上
C. 通常加热到，水沸腾
D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
方程的左边配成完全平方后所得方程为
A. B. C. D.
定义运算：例如：则方程的根的情况为
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图是一架人字梯，已知米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为
A. B. C. D.
将一矩形纸片沿折叠，点恰好落在边上的处，若：：，则的值为
A. ：
B. ：
C. ：
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
函数的自变量的取值范围是______．
已知，那么的值是______．
在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小刚每次换出一个球后放回通过多次摸球试验后发现摸到黄色球的频率稳定在，则布袋中白色球的个数很可能是______．
在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽度，根据题意，可列方程为______ ．
如图，双曲线经过斜边上的中点，与交于点，，则______．
如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与、分别交于点，对于下列结论：∽；；；；其中正确的结论有______写出所有正确结论的序号．
三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）
计算：；
计算：；
解方程：；
解方程：．
四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）
为了引导青少年学党史，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动，将成绩划分为四个等级：优秀、优良、合格、不合格小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了统计图部分信息未给出：
小李共抽取了______名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“优秀”等级对应的扇形圆心角度数为______，请补全条形统计图；
该校共有名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数；
已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率．
宜宾市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售．
求平均每次下调的百分率；
某人准备以开盘均价购买一套平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打折销售；不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月元．请问哪种方案更优惠？
如图，楼顶上有一个信号塔，从与楼相距的处观测信号塔顶部的仰角为，观测信号塔底部的仰角为，求信号塔的高度．结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，．
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若，求的值．
如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点．
求证：∽；
若，，求的面积．
如图，的顶点坐标分别为，，，动点、同时从点出发，分别沿轴正方向和轴正方向运动，速度分别为每秒个单位和每秒个单位，点到达点时，点、同时停止运动．过点作分别交、于点、，连接、设运动时间为秒．
求点的坐标用含的式子表示；
当为何值时，四边形的面积最大；
连接，是否存在点使，若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义进行解答．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3.【答案】
【解析】解：当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是分式方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.方程整理得，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
4.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的一个解，
将代入方程得：，
解得：．
故选：．
由是一元二次方程的一个解，将代入方程得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5.【答案】
【解析】解：明天会下雨，这是随机事件，故A不符合题意；
B.抛一枚硬币，正面朝上，这是随机事件，故B不符合题意；
C.通常加热到，水沸腾，这是必然事件，故C符合题意；
D.经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
故选：．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据新定义运算法则以及根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，属于基础题．
根据锐角三角函数的定义，进行判断，就可以解决问题．
【解答】
解：中，，、、所对的边分别为、、，
，即，故A选项不成立，选项成立；
，即，故C选项不成立，选项不成立．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，
，，
以原点为位似中心放大后得到，
与的相似比是：：，
与的面积的比是：．
故选：．
根据信息，找到与的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，
米，，
，
，
米，
米。
故选：．
直接利用等腰三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出答案。
此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出的长是解题关键。
11.【答案】
【解析】解：，，
在和中，，
∽，
，即，
解得：，
，
，
即树高．
故选：．
先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
由折叠可知，，
矩形中，，．
故选：．
，根据折叠的定义可以得到，则，即可求出的值，继而可得出答案．
本题考查折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，检测学生灵活运用知识的能力．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查函数自变量的取值范围，关键是二次根式的被开方数是非负数．
14.【答案】
【解析】
【分析】
直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确表示出，的值是解题关键．
【解答】
解：，
设，则，
那么．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：布袋中白色球的个数约为个，
故答案为：．
用球的总个数乘以白色球的频率即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16.【答案】
【解析】解：设花边的宽度为，根据题意得：
．
故答案为．
设丝绸花边的宽度为，根据丝绸花边的面积为，列出方程即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过作轴，垂足为，则，
，
∽，
，
点，分别在双曲线上，
，
，
，
，
故答案为．
过作轴于点，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，根据∽，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得的面积，从而求得的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形的判定和性质，能灵活运用相似三角形的性质得出比例式是解此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，
∽，
故正确；
∽，
，
，
∽，
，
，
故正确；
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故正确；
设与相交于点，
∽，
，
，
，
，
故错误，
所以，正确的结论有：，
故答案为：．
根据题意可得：，，利用两角成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明∽，从而得，然后利用两角相等的两个三角形相似证明∽，从而证明，利用的结论再证明∽，从而得，根据已知可知，然后利用射影定理证明，求出的度数即可判断．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握手拉手模型的相似三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
；
，
，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，．
【解析】首先化简二次根式，利用负整数指数幂的法则以及特殊角的三角函数值减小计算即可；
利用二次根式的混合运算法则计算即可；
利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算以及解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
20.【答案】
【解析】解：小李共抽取了：名，
则扇形统计图中“优秀”等级对应的扇形圆心角度数为：，
等级的人数为：名，等级的人数为：名，
故答案为：，，
补全条形统计图如下：
名，
即估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为名；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好回访到一男一女的结果有种，
恰好回访到一男一女的概率为．
由等级的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可解决问题；
由该校共有学生乘以成绩“优秀”的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好回访到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法以及条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：设平均每次下调的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：平均每次下调的百分率为．
选择方案所需费用为元；
选择方案所需费用为元．
，
方案更优惠．
【解析】设平均每次下调的百分率为，利用经过两次降价后的均价原均价平均每次下调的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
利用总价单价数量，结合开发商给予的两种优惠方案，即可分别求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：在中，，，
，
在中，，，
，
，
答：信号塔的高度约为．
【解析】在中求出，在中求出，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：
，
，
；
由题意可得
，，
又，
，
，
解得，，
又，
．
【解析】由一元二次方程的两个实数根，根据根的判别式的意义得到，即，解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系，，代入代数式求出的值即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
∽；
解：，
，
，
，
由得：∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
的面积，
答：的面积为．
【解析】利用一线三等角模型证明即可；
利用的结论可求出，的长，然后再利用字模型相似证明∽，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握一线三等角模型，字模型相似三角形是解题的关键．
25.【答案】解：过点作轴的垂线，交于点，交于点，
由题意得：，，，
，，，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
点的坐标是；
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
点到达点时，、同时停止，
，
时，四边形的最大面积为，
当时，点和点均在点处，，
此时点在点处，
点到的距离为边上的高，记为，
，
，
点到的距离为：；
当时，
，
，
又，
∽，
，
，
解得：，舍去．
，，，
，
，
，
，
设点到的距离为，
，
，
解得：；
当时，不符合题意；
综上所述：点到的距离为或．
【解析】过点作轴的垂线，分别交和轴于点和点，利用三角形相似写出点的坐标；
由，可得，由二次函数的性质可求解；
利用三角形相似解题，由和由题意可知，得证∽，再利用相似的性质求出对应的值，再由等面积法求高，求出点到的距离．
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
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