2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（下）开学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年河南省南阳市南召县八年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．下列语句正确的是（　　）
A．的立方根是2
B．﹣3是27的负的立方根
C．4是16的算术平方根，即＝4
D．（﹣1）2的立方根是﹣1
2．下列计算正确的是（　　）
A．2x2 3x3＝6x6 B．x3÷x3＝0
C．（2xy）3＝6x3y3 D．（x3）m÷x2m＝xm
3．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．等角对等边
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0
D．全等三角形的对应边相等
4．下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+1 C．a2﹣2a+1 D．a2+2a+1
5．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．若x2+（a﹣1）x+25是一个完全平方式，则a值为（　　）
A．﹣9 B．﹣9或11 C．9或﹣11 D．11
7．已知a+b＝2，求代数式a2﹣b2+4b的值为（　　）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
8．△ABC中，有一点P在BC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，AP+BP+CP的最小值为（　　）
A．10 B．9.8 C．8.8 D．4.8
9．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE＝1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE＝BF；②AD＝3DF；③S△ABF＝6；④GE＝0.2，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．已知：m+＝3，则m2+＝　 　．
12．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长 　 　．
13．如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上，则∠1+∠2＝　 　．
14．如图∠AOP＝∠BOP＝22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD＝1，则PC等于 　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，点M，N分别在BC，CD边上，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM＝　 　．
三、解答题（10+10+9+9+9+9+9+10＝75分）
16．计算：
（1））；
（2）（6a4b2+8a3b4）÷2ab2﹣（﹣2ab）2．
17．因式分解：
（1）（m+n）2﹣4n2；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
18．先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中．
19．有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行随机抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为36°．
被抽取的体育测试成绩频数分布表
等级 成绩（分） 频数（人数）
A 36＜x≤40 19
B 32＜x≤36 b
C 28＜x≤32 5
D 24＜x≤28 4
E 20＜x≤24 2
合计 a
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）A等级的频率是 　 　；
（3）在扇形统计图中，B等级所对应的圆心角是 　 　度．
20．证明命题“全等三角形的面积相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．
下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，　 　
求证：　 　．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
21．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，而（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣4a+4＝0，则a＝　 　；b＝　 　．
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为 　 　．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0，求△ABC的周长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
23．【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图（1），四边形ABCD，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．
【实践操作】如图（2），在长方形ABCD中，AB＜AD．若在AD边上存在点F，边AB上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点，请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．（要求不写作法，保留作图痕迹．）
【思维探究】在上述的条件下，若AB＝8，AD＝10．请利用备用图求AE的长度．
参考答案
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．下列语句正确的是（　　）
A．的立方根是2
B．﹣3是27的负的立方根
C．4是16的算术平方根，即＝4
D．（﹣1）2的立方根是﹣1
【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可．
解：＝8，8的立方根是2，故A正确；
﹣3是﹣27的立方根，故B错误；
4是16的算术平方根，即＝4，故C错误；
（﹣1）2＝1，1立方根是1，故D错误．
故选：A．
2．下列计算正确的是（　　）
A．2x2 3x3＝6x6 B．x3÷x3＝0
C．（2xy）3＝6x3y3 D．（x3）m÷x2m＝xm
【分析】根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则进行判断即可．
解：A、2x2 3x3＝6x5，原式计算错误，故本选项错误；
B、x3÷x3＝1，原式计算错误，故本选项错误；
C、（2xy）3＝8x3y3，原式计算错误，故本选项错误；
D、（x3）m÷x2m＝xm，原式计算正确，故本选项正确；
故选：D．
3．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．等角对等边
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0
D．全等三角形的对应边相等
【分析】根据乘方法则、等腰三角形的判定和性质、有理数的乘法法则、全等三角形的判定和性质判断．
解：A、若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2，正确；
B、等角对等边的逆命题是等边对等角，正确；
C、若a＜0，b＜0，则ab＜0的逆命题是若ab＜0，则a＜0，b＜0，错误；
D、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；
故选：C．
4．下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+1 C．a2﹣2a+1 D．a2+2a+1
【分析】根据完全平方公式展开即可．
解：（﹣a+1）2＝a2﹣2a+1．
故选：C．
5．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
6．若x2+（a﹣1）x+25是一个完全平方式，则a值为（　　）
A．﹣9 B．﹣9或11 C．9或﹣11 D．11
【分析】根据完全平方公式的结构a2±2ab+b2，即可求解．
解：x2+（a﹣1）x+25＝x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，则（a﹣1）x＝±2 x 5，
解得：a＝﹣9或11．
故选：B．
7．已知a+b＝2，求代数式a2﹣b2+4b的值为（　　）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
【分析】由a+b＝2得：a＝2﹣b，代入所求的代数式，然后进行化简即可求解．
解：由a+b＝2得：a＝2﹣b，
则a2﹣b2+4b＝（2﹣b）2﹣b2+4b
＝4﹣4b+b2﹣b2+4b
＝4．
故选：B．
8．△ABC中，有一点P在BC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，AP+BP+CP的最小值为（　　）
A．10 B．9.8 C．8.8 D．4.8
【分析】根据等腰三角形的性质和垂线段最短解答即可．
解：如图，P在BC上运动时，由垂线段最短知，
当AP⊥BC时，AP最短，
作AM⊥BC，
∵AB＝BC，
∴BM＝MC＝BC＝3，
在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2，
即32+AM2＝52，
∴AM＝4，
即AP最最小值为4，
∴AP+BP+CP的最小值为6+4＝10．
故选：A．
9．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明△PFD≌△QCD，得FD＝CD，再由△APF是等边三角形，即可得出DE＝AC．
解：过P作BC的平行线交AC于F，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
在△PFD中和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴DE＝AC，
∵AC＝4，
∴DE＝2，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE＝1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE＝BF；②AD＝3DF；③S△ABF＝6；④GE＝0.2，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正确；根据S△ABF＝AB AF＝BF AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝AB AF＝4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB AF＝BF AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④，
故选：B．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．已知：m+＝3，则m2+＝　7　．
【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求式子的值．
解：将m+＝3两边平方得：（m+）2＝m2+2+＝9，
则m2+＝7，
故答案为：7．
12．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长 　5　．
【分析】由∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F得到∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF，再由DF∥BC得到∠DFB＝∠CBF，∠GCF＝∠EFC，得到∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，从而得到BD＝DF，EF＝EC，然后由BD＝8，DE＝3得到EF＝5，从而得到CE＝5．
解：∵∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠GCF＝∠EFC，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∵BD＝8，DE＝3，
∴EF＝5，
∴CE＝5，
故答案为：5．
13．如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上，则∠1+∠2＝　45°　．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案为：45°．
14．如图∠AOP＝∠BOP＝22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD＝1，则PC等于 　　．
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出PE，根据平行线的性质求出∠CPO，根据三角形外角性质求出∠ECP＝45°，解直角三角形求出PC即可．
解：
过P作PE⊥OB于E，
∵∠AOP＝∠BOP＝22.5°，PD⊥OA，PD＝1，
∴PE＝OD＝1，
∵PC∥OA，∠AOP＝22.5°，
∴∠CPO＝∠AOP＝22.5°，
∵∠BOP＝22.5°，
∴∠ECP＝∠CPO+∠BOP＝45°，
∵∠PEO＝90°，
∴CP＝＝，
故答案为：．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，点M，N分别在BC，CD边上，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM＝　120°　．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
三、解答题（10+10+9+9+9+9+9+10＝75分）
16．计算：
（1））；
（2）（6a4b2+8a3b4）÷2ab2﹣（﹣2ab）2．
【分析】（1）先算乘方、、，再利用平方差公式，最后加减；
（2）先利用多项式除以单项式法则、积的乘方法则，再合并同类项．
解：（1）原式＝﹣4+2+3﹣（2﹣1）
＝﹣4+2+3﹣2+1
＝0．
（2）原式＝3a3+4a2b2﹣4a2b2
＝3a3．
17．因式分解：
（1）（m+n）2﹣4n2；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）利用平方差公式分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可解答．
解：（1）（m+n）2﹣4n2
＝（m+n+2n）（m+n﹣2n）
＝（m+3n）（m﹣n）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
18．先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中．
【分析】直接利用乘法公式化简，进而合并，再把已知数据代入得出答案．
【解答】原式＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x
＝x2+3，
当时，
原式＝2022+3＝2025．
19．有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行随机抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为36°．
被抽取的体育测试成绩频数分布表
等级 成绩（分） 频数（人数）
A 36＜x≤40 19
B 32＜x≤36 b
C 28＜x≤32 5
D 24＜x≤28 4
E 20＜x≤24 2
合计 a
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝　50　，b＝　20　；
（2）A等级的频率是 　38%　；
（3）在扇形统计图中，B等级所对应的圆心角是 　144　度．
【分析】（1）根据扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为36°，表格中所给C等级的频数为5，可以先求出a，进而求出b；
（2）根据A等级的频数除以总数即可求解；
（3）根据B等级的频率乘以360度即可求出B等级所对应的圆心角的度数．
解：（1）a＝5÷＝50，
b＝50﹣（19+5+4+2）＝20；
故答案为50、20；
（2）A等级的频率是＝0.38（或38%）；
故答案为38%；
（3）B等级所对应的圆心角是×360°＝144°．
故答案为144．
20．证明命题“全等三角形的面积相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．
下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，　△ABC≌△A'B'C'　
求证：　S△ABC＝S△A'B'C'　．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【分析】要证面积相等，首先根据全等可知其底是相等的，所以只需证对应的高相等．
解：如下图作AD⊥BC，作A'D⊥BC'，垂足分别为D，D'，
∵△ABC≌△A'B'C'（已知），
∴AB＝A'B'，BC＝B'C'（ 全等三角形的对应边相等），
∠B＝∠B（全等三角形的对应角相等），
在△ABD 和△A'B'D'中，
∵，
∴ABD≌△A'B'D'（AAS），
∴AD＝A'D’（全等三角形的对应边相等），
∴S△ABC＝S△A'B'C'．
21．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，而（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣4a+4＝0，则a＝　2　；b＝　0　．
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为 　①、②、③、④　．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0，求△ABC的周长．
【分析】阅读材料可知：主要是对等号左边的多项式正确的分组，变形成两个平方式，根据平方的非负性和为零，转换成每个底数必为零求解；
第（1）题直接按材料方法计算，
第（2）题是把材料放到等边三角形中探究，
第（3）题求三角形的周长，必先求三边的长度，同时求c时依据三角形三边关系求解．
解：（1）根据材料得：
∵a2+b2﹣4a+4＝0，
∴（a2﹣4a+4）+b2＝0，
∴（a﹣2）2+b2＝0，
又∵（a﹣2）2≥0，b2≥0
∴a﹣2＝0且b＝0，
∴a＝2且b＝0．
故答案为2和0．
（2）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
又∵（a﹣b）2≥0且（b﹣c）2≥0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c
∴△ABC是等边三角形．
故答案为①、②、③、④．
（3）∵a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0
∴（a2﹣2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0
∴（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0
又∵（a﹣1）2≥0且（b﹣3）2≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝1，b＝3，
在△ABC中，a、b、c分别三角形的三边，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴2＜c＜4，
又∵c是正整数，
∴c＝3，
∴当c＝3时，△ABC的周长为：
l△ABC＝a+b+c＝1+3+3＝7．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　25　°，∠DEC＝　115　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　小　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．
∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
23．【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图（1），四边形ABCD，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．
【实践操作】如图（2），在长方形ABCD中，AB＜AD．若在AD边上存在点F，边AB上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点，请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．（要求不写作法，保留作图痕迹．）
【思维探究】在上述的条件下，若AB＝8，AD＝10．请利用备用图求AE的长度．
【分析】【实践操作】利用顶针点的性质，可知BC＝FC，这样就把F点给确定了，同理确定了F点，那么就可以把E点确定了．以C为圆心，CB为半径作弧交AD于F，确定F点；连接CF，作∠BCF的角平分线交AB于E，确定D点，显然EF＝BE，点E、F即为所求．
【思维探究连接EF，根据长方形的性质得出AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠D＝∠A＝90°，根据题意得出EB＝EF，BC＝CF＝10，根据勾股定理求出DF＝6，则AF＝4，令AE＝x，再根据勾股定理列方程，即可求解．
解：【实践操作】如图（2）所示，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作∠BCF 的角平分线交AB于E，点E、点F即为所求；
【思维探究】连接EF，如图（3）所示，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝8，AD＝10，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠D＝∠A＝90°，
∵点E与点C关于顶针线段BF互为勾股顶针点，
∴EB＝EF，BC＝CF＝10，
在Rt△CFD中，CD＝8，CF＝10，
∴DF＝＝＝6，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
令AE＝x，则BE＝EF＝8﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，列方程
x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即AE＝3
∴AE的长度为3．