2021-2022学年浙江省宁波市江北区部分校七年级（下）期始考数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年浙江省宁波市江北区部分校七年级（下）期始考数学试卷
一、选择题（本大题有12小题，每题3分，共36分）
1．6的相反数是（　　）
A．﹣6 B． C．﹣ D．6
2．宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.845×1010元 B．84.5×108元
C．8.45×109元 D．8.45×1010元
3．下列不是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列说法中，错误的是（　　）
A．过两点有且只有一条直线
B．连接两点线段的长度叫两点间的距离
C．等角的补角互余
D．两点之间，线段最短
5．在实数，2.，0.1010010001中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．用加减法解方程组下列解法不正确的是（　　）
A．①×2﹣②×（﹣3），消去y B．①×2﹣②×3，消去y
C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×3﹣②×2，消去x
7．已知关于x的方程（a+1）x+（4a﹣1）＝0的解为﹣2，则a的值等于（　　）
A．﹣2 B．0 C． D．
8．下列某个方程与x﹣y＝3组成方程组的解为，则这个方程是（　　）
A．3x﹣4y＝10 B． C．x+3y＝2 D．2（x﹣y）＝6y
9．方程组有正整数解，则k的正整数值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．不存在
10．《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
A．a＝2b B．a＝3b C．a＝4b D．a＝b
二、填空题（本大题有6小题，每题3分，共18分）
13．把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝　 　．
14．若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a的值为 　 　．
15．已知二元一次方程＝1，则它的正整数解是　 　．
16．某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为　 　．
17．已知a、b在数轴上的位置如图所示：试化简|a+b|+|3a|﹣|b﹣a|＝　 　．
18．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　 　．
三、解答题（本大题有6小题，共46分）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解方组：
（1）；
（2）＝3；
（3）．
21．方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
22．已知方程组与方程组的解相同．求（2a+b）2021的值．
23．某通讯器材商场，计划从一厂家购进若干部新型手机以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部．商场在经销中，甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机可赚120元/部．
（1）若商场用6万元同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案；
（2）在（1）的条件下，求盈利最多的进货方案；
（3）若该商场同时购进三种手机，且购进甲，丙两种手机用了3.9万元，预计可获得5000元利润，问这次经销商共有几种可能的方案？最低成本（进货额）多少元？
24．已知点A，B在数轴上对应的实数分别是a，b，其中a，b满足|a﹣2|+（b+1）2＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程x﹣1＝x+1的解，在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（3）在（1）和（2）的条件下，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，设运动时间为t秒，试探究：随着时间t的变化，AB与BC满足怎样的数量关系？请写出相应的等式．
参考答案
一、选择题（本大题有12小题，每题3分，共36分）
1．6的相反数是（　　）
A．﹣6 B． C．﹣ D．6
【分析】依据相反数的定义求解即可．
解：6的相反数是﹣6．
故选：A．
2．宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.845×1010元 B．84.5×108元
C．8.45×109元 D．8.45×1010元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于84.5亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
解：84.5亿元用科学记数法表示为8.45×109元．
故选：C．
3．下列不是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的方程叫二元一次方程；
二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．
根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
解：由定义可知：是分式方程．
故选：C．
4．下列说法中，错误的是（　　）
A．过两点有且只有一条直线
B．连接两点线段的长度叫两点间的距离
C．等角的补角互余
D．两点之间，线段最短
【分析】根据直线的性质、补角的定义和性质、两点间的距离、线段的性质逐个判断即可．
解：A、过两点有且只有一条直线，故本选项不符合题意；
B、连接两点之间线段的长度叫两点之间的距离，故本选项不符合题意；
C、等角的补角相等，但不一定互余，故本选项符合题意；
D、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．在实数，2.，0.1010010001中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
解：＝﹣4，
无理数有，π，﹣，共有3个，
故选：C．
6．用加减法解方程组下列解法不正确的是（　　）
A．①×2﹣②×（﹣3），消去y B．①×2﹣②×3，消去y
C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×3﹣②×2，消去x
【分析】方程组利用加减消元法变形，即可做出判断．
解：用加减法解方程组，可以①×2﹣②×3，消去y；①×（﹣3）+②×2，消去x；①×3﹣②×2，消去x，
故选：A．
7．已知关于x的方程（a+1）x+（4a﹣1）＝0的解为﹣2，则a的值等于（　　）
A．﹣2 B．0 C． D．
【分析】把x＝﹣2代入方程，即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解．
解：把x＝﹣2代入方程（a+1）x+（4a﹣1）＝0，得
﹣2（a+1）+（4a﹣1）＝0，
整理，得
2a﹣3＝0，
解得 a＝．
故选：D．
8．下列某个方程与x﹣y＝3组成方程组的解为，则这个方程是（　　）
A．3x﹣4y＝10 B． C．x+3y＝2 D．2（x﹣y）＝6y
【分析】直接把x＝2，y＝﹣1代入各方程进行检验即可．
解：A、当x＝2，y＝﹣1时，3x﹣4y＝6+4＝10，故本选项符合题意；
B、当x＝2，y＝﹣1时，x+2y＝1﹣2＝﹣1≠3，故本选项不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，x+3y＝2﹣3＝﹣1≠2，故本选项不符合题意；
D、当x＝2，y＝﹣1时，2（x﹣y）＝2×3＝6≠﹣6＝6y，故本选项不符合题意．
故选：A．
9．方程组有正整数解，则k的正整数值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．不存在
【分析】首先由第二个方程得到x＝2y，代入第一个方程，求得y＝，根据4+k是6的正约数即可求解．
解：，
由②得：x＝2y，代入①得：4y+ky＝6，
则y＝，
则4+k＝1或2或3或6，
解得：k＝﹣3，或﹣2或﹣1或2．
又∵k是正整数，
∴k＝2．
故选：B．
10．《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组．
解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组：；
故选：B．
11．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y＝2a+1即可求解；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y＝3的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
解：①将a＝1代入原方程组，得 解得
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边，
左边＝3，右边＝3，
当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②解原方程组，得
若x，y是互为相反数，则x+y＝0，
即2a+1+2﹣2a＝0，方程无解．
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y为自然数的解有，，，．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
故选：D．
12．6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
A．a＝2b B．a＝3b C．a＝4b D．a＝b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝a，右下角阴影部分的长为PC，宽为2b，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+4b，BC＝BP+PC＝a+PC
∴AE+4b＝a+PC，
∴AE＝a﹣4b+PC，
∴阴影部分面积之差S＝AE AF﹣PC CG＝aAE﹣2bPC＝a（a﹣4b+PC）﹣2bPC＝（a﹣2b）PC+a2﹣4ab，
则a﹣2b＝0，即a＝2b．
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题，每题3分，共18分）
13．把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝　118.345°　．
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答．
解：∵1′＝60″，
∴42″＝0.7′，
∴20′+0.7′＝20.7′，
∵1°＝60′，
∴20.7′＝0.345°，
∴118°20'42''＝118.345°，
故答案为：118.345°．
14．若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a的值为 　﹣2　．
【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，求出即可．
解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，
∴a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．已知二元一次方程＝1，则它的正整数解是　　．
【分析】先将含x的项移到等式右边，再两边都乘以2即可得解．
解：∵＝1，
∴y＝2×（1﹣）＝2﹣，
正整数解为．
故答案为：．
16．某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为　+＝1000　．
【分析】利用梨树种植量比计划增长10%，苹果树种植量比计划减少5%，分别表示出苹果与梨树的棵数进而得出等式求出即可．
解：设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为：
+＝1000．
故答案为：+＝1000．
17．已知a、b在数轴上的位置如图所示：试化简|a+b|+|3a|﹣|b﹣a|＝　﹣3a﹣2b　．
【分析】在数轴上，右边的数要比左边的大．去掉绝对值与零有关系，即|a|＝a（a＞0），|a|＝0（a＝0），|a|＝﹣a（a＜0）．
【解答】由图可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，a+b＜0
原式＝﹣（a+b）﹣3a﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣b﹣3a﹣b+a
＝﹣3a﹣2b
18．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　．
【分析】第二格方程组方程组变形为，设x＝m，y＝n，得出，根据方程组的解是，求出此方程组的解是，得出x＝4，y＝10，求出即可．
解：方程组变形为：，
设x＝m，y＝n，
则，
∵方程组的解是，
∴的解是：，
即x＝4，y＝10，
解得：x＝9，y＝18，
故答案为：．
三、解答题（本大题有6小题，共46分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算乘方、开方、绝对值，再计算加减；
（2）用乘法的分配率进行计算．
解：（1）
＝﹣9+5﹣4+9
＝1；
（2）
＝12×﹣12×+12×
＝9﹣6+10
＝13．
20．解方组：
（1）；
（2）＝3；
（3）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组利用代入消元法求出解即可．
解：（1），
把②代入①得：2（y﹣1）+y＝4，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝2﹣1＝1，
则方程组的解为；
（2）根据题意得：，
①+②×2得：7s＝21，
解得：s＝3，
把s＝3代入①得：3+2t＝9，
解得：t＝3，
则方程组的解为；
（3），
①+②得：3x+y＝1④，
①+③得：4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：x＝1，
把x＝1代入④得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①得：1﹣4+z＝0，
解得：z＝3，
则方程组的解为．
21．方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．
解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
①，解得k＝﹣2；
②，无解，
所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k＝2，
所以k＝2时，方程为二元一次方程．
22．已知方程组与方程组的解相同．求（2a+b）2021的值．
【分析】由于这两个方程组的解相同，所以可以把这两个方程组中的第一个方程联立再组成一个新的方程组，然后求出x、y的解，把求出的解代入另外两个方程，得到关于a，b的方程组，即可求出a、b的值．
解：由于两个方程组的解相同，
所以解方程组，
解得，
把代入方程：ax﹣by＝﹣4与bx+ay＝﹣8中得：
，
解得：，
则（2a+b）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．
23．某通讯器材商场，计划从一厂家购进若干部新型手机以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部．商场在经销中，甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机可赚120元/部．
（1）若商场用6万元同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案；
（2）在（1）的条件下，求盈利最多的进货方案；
（3）若该商场同时购进三种手机，且购进甲，丙两种手机用了3.9万元，预计可获得5000元利润，问这次经销商共有几种可能的方案？最低成本（进货额）多少元？
【分析】（1）商场用6万元同时购进两种不同型号的手机有三类不同的方案：①购进甲乙两种，②乙、丙两种，③购进甲、丙两种．然后根据购进的两种手机的部数和＝40，购机两种手机用的总费用＝6万元，这两个等量关系来列出方程组，解方程组即可．
（2）根据（1）得出的方案，计算出各方案的盈利额，然后比较哪种盈利较多；
（3）根据题意列出方程得出z＝，y＝11﹣x的关系式讨论即可得出方案，再选择成本最低的方案．
解：设甲种型号手机x部，乙种手机y部，丙种手机z部．
（1）根据题意得：①．
解得．
②．
解得．
③．
解得（不合题意，舍去）．
答：有两种购买方案：甲种型号手机30部，乙种手机10部；或甲种型号手机20部，丙种手机20部；
（2）方案一盈利：200×30+100×10＝7000（元）
方案二盈利：200×20+120×20＝6400（元）
所以购买甲种型号手机30部，乙种手机10部所获盈利较大；
（3）由题意建立方程组为：，
由①得：z＝，
由②×10﹣①得：y＝11﹣x，
∵11﹣x≥0且x、y、z都是自然数，
∴x可以是15，5，
∴这次经销商共有2种可能的方案，
当x＝15时，y＝8，z＝10，
1800x+600y+1200z＝1800×15+600×8+1200×10＝43800（元）．
当x＝5时，y＝10，z＝25，
1800x+600y+1200z＝1800×5+600×10+1200×25＝45000（元）．
答：这次经销商共有2种可能的方案，最低成本（进货额）43800元．
24．已知点A，B在数轴上对应的实数分别是a，b，其中a，b满足|a﹣2|+（b+1）2＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程x﹣1＝x+1的解，在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（3）在（1）和（2）的条件下，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，设运动时间为t秒，试探究：随着时间t的变化，AB与BC满足怎样的数量关系？请写出相应的等式．
【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，继而可得出线段AB的长；
（2）先求出x的值，再由PA+PB＝PC，可得出点P对应的数；
（3）根据A，B，C的运动情况确定AB，BC的变化情况，再根据t的取值范围即可求出AB与BC满足的数量关系．
解：（1）∵|a﹣2|+（b+1）2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴线段AB的长为：2﹣（﹣1）＝3；
（2）解方程x﹣1＝x+1，得x＝3，
则点C在数轴上对应的数为3．
由图知，满足PA+PB＝PC时，点P不可能在C点右侧，不可能在线段AC上，
设点P对应的数为y，则
①如果点P在点B左侧时，
2﹣y+（﹣1）﹣y＝3﹣y，
解得：y＝﹣2；
②当P在A、B之间时，3﹣y＝3，
解得：y＝0．
故所求点P对应的数为﹣2或0；
（3）t秒钟后，A点位置为：2﹣t，
B点的位置为：﹣1+4t，
C点的位置为：3+9t，
BC＝3+9t﹣（﹣1+4t）＝4+5t，
AB＝|﹣1+4t﹣2+t|＝|5t﹣3|，
当t≤时，AB+BC＝3﹣5t+4+5t＝7；
当t＞时，BC﹣AB＝4+5t﹣（5t﹣3）＝7．
所以当t≤时，AB+BC＝7；当t＞时，BC﹣AB＝7．