2021-2022学年广东省佛山市顺德区九年级（下）开学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年广东省佛山市顺德区九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（12个题，每题3分，共36分）
1．下列关系式能表示y关于x的反比例函数的是（　　）
A． B． C．y＝2022x+1 D．y＝2022x2+1
2．如图是由两个大小不一样的圆柱组成的几何体，几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD
4．方程x2﹣6x+4＝0的根是（　　）
A． B． C． D．
5．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在平行四边形ABCD中，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则S△DEF：S△BAF为（　　）
A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．4：1
7．若关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，某一结果出现如图所示的统计图，符合这一结果的实验可能是（　　）
A．从标有1，2，3，4，5，6的卡片中任抽一张是偶数
B．同时抛掷两枚相同硬币出现的结果是一正一反
C．从一副去掉大小王的扑克中任抽一张牌的花色是红桃
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子得到向上的面点数小于3
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　）
A．∠AED＝∠B B．
C．AD BC＝DE AC D．∠ADE＝∠C
10．探索一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个正数解的过程如表：可以看出方程的一个正数解的取值范围为（　　）
x ﹣1 0 1 2 3 4
ax2+bx+c ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．﹣1＜x＜5
11．若A（﹣2，a），B（1，b），c（2，c）为反比例函数（k为常数）的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
12．如图，∠ABD＝∠CBE＝90°，AB＝BD，∠CAB＝∠E．若BE＝10，AD＝4，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（5个题，每题4分，共20分）
13．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D＝90°，∠B'＝108°，∠C'＝92°，则∠A＝　 　°．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AB的长为 　 　．
15．在一个不透明的布袋里装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，若先摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好一红一白的概率是 　 　．
16．某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量y（件）与销售价x（元）的变化关系如下表，写出y与x之间的函数关系式 　 　．
售价x（元） 200 240 250 400
日销售量y（件） 30 25 24 15
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tanA＝，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A的对应点为A'，若P为A'B'的中点，连接BP，则线段BP长度的最大值为 　 　．
三、解答题（6个题，共64分）
18．某校园有旗杆AB在阳光下某一时刻的影子长为AG．高1.6米的标杆EF在同一时刻的影子为EM（其中AB，EF都与地面垂直）．通过测量获得数据AG＝7.5，EM＝1米．
（1）在图中画出旗杆的影子；
（2）求旗杆AB的高度．
19．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
20．如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使FE＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若∠DAB＝60°，菱形ABCD的面积为，求矩形OCED的周长．
21．某商品的进价是每件40元，当售价每件60元时，当天可售出300件．进行不同程度的涨价后，发现每涨价1元，当天销售量减少10件．设商品售价每件涨价x元（x为正整数）时，当天售出商品的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如何定价，才能使商品当天的销售利润达到6250元？
22．如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝26，AC＝15，BD⊥AC，垂足为D，E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求∠CBD的正切值；
（2）求的值．
23．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．
（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；
（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN MD时，求AE的值．
参考答案
一、选择题（12个题，每题3分，共36分）
1．下列关系式能表示y关于x的反比例函数的是（　　）
A． B． C．y＝2022x+1 D．y＝2022x2+1
【分析】根据反比例函数的定义直接解答即可．
解：A、y2是x的正比例函数，故本选项不合题意；
B、y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
C、y是x的一次函数，故本选项不合题意；
D、y是x的二次函数，故本选项不合题意．
故选：B．
2．如图是由两个大小不一样的圆柱组成的几何体，几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，底层是较大的矩形，上层中间是一个较小的矩形．
故选：A．
3．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD
【分析】先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断B正确．
解：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CD，∠D＝90°，AC＝BD，
故A，C，D不符合题意，
当AB＝AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
故C符合题意，
故选：B．
4．方程x2﹣6x+4＝0的根是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：∵x2﹣6x+4＝0，
∴x2﹣6x＝﹣4，
∴x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
故选：C．
5．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：∵直角三角形两条直角边长分别是6和8，
∴斜边＝＝10，
∴斜边上的中线长＝×10＝5．
故选：C．
6．如图，在平行四边形ABCD中，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则S△DEF：S△BAF为（　　）
A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．4：1
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：∵DE：EC＝4：1，
∴DE：CD＝4：5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
故选：C．
7．若关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣5）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4k＞0，
解得k＜．
故选：A．
8．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，某一结果出现如图所示的统计图，符合这一结果的实验可能是（　　）
A．从标有1，2，3，4，5，6的卡片中任抽一张是偶数
B．同时抛掷两枚相同硬币出现的结果是一正一反
C．从一副去掉大小王的扑克中任抽一张牌的花色是红桃
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子得到向上的面点数小于3
【分析】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数的概率是＝，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、同时抛掷两枚相同硬币出现的结果是一正一反的概率是，不符合这一结果，故此选项符合题意；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝0.25，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子得到向上的面点数小于3：＝，符合这一结果，故此选项符合题意；
故选：D．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　）
A．∠AED＝∠B B．
C．AD BC＝DE AC D．∠ADE＝∠C
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A正确，不符合题意；
∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B正确，不符合题意；
∵AD BC＝DE AC，
∴，无法判断△ADE∽△ACB，
故C符合题意，
∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
10．探索一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个正数解的过程如表：可以看出方程的一个正数解的取值范围为（　　）
x ﹣1 0 1 2 3 4
ax2+bx+c ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．﹣1＜x＜5
【分析】根据表格中的数据，可以发现当x＝1时，ax2+bx+c＝﹣1＜0，当x＝2时，ax2+bx+c＝5＞0，从而可以得到整数a、b的值．
解：由表格可得，
当x＝1时，ax2+bx+c＝﹣1＜0，当x＝2时，ax2+bx+c＝5＞0，
∴x2+3x﹣5＝0的一个正数解为1和2之间，
即方程的一个正数解的取值范围为1＜x＜2，
故选：C．
11．若A（﹣2，a），B（1，b），c（2，c）为反比例函数（k为常数）的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）所在的象限，确定a、b、c大小关系．
解：∵k为常数，
∴k2+1＞0，
∴反比例函数（k为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
因此点A（﹣2，a）在第三象限，而B（1，b），C（2，c）在第一象限，
∴a＜0，b＞c＞0，
∴a＜c＜b，
故选：C．
12．如图，∠ABD＝∠CBE＝90°，AB＝BD，∠CAB＝∠E．若BE＝10，AD＝4，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先由AB＝BD，∠ABD＝90°，根据勾股定理求出AB的长为4，再证明△ABC∽△EBD，则＝＝＝，得出问题的答案．
解：如图，∵AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴AD2＝AB2+BD2＝2AB2，
∵AD＝4，
∴（4）2＝2AB2，
∴AB＝4，
∵∠CBE＝90°，
∴∠ABC＝∠DBE＝90°﹣∠CBD，
∵∠CAB＝∠E，
∴△ABC∽△EBD，
∵BE＝10，
∴＝＝＝，
∴的值为，
故选：D．
二、填空题（5个题，每题4分，共20分）
13．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D＝90°，∠B'＝108°，∠C'＝92°，则∠A＝　70　°．
【分析】根据相似多边形的对应角相等可得．
解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′
四边形ABCD的内角和是360°，
因而∠A＝360°﹣90°﹣108°﹣92°＝70°．
故答案为：70．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AB的长为 　8　．
【分析】在直角三角形中，利用∠A的正弦、BC与AB间关系，计算得结论．
解：Rt△ABC中，
∵sinA＝＝，BC＝2，
∴AB＝2×4＝8．
故答案为：8．
15．在一个不透明的布袋里装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，若先摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好一红一白的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好一红一白的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好一红一白的结果有4种，
∴两次摸出的球恰好一红一白的概率为＝，
故答案为：．
16．某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量y（件）与销售价x（元）的变化关系如下表，写出y与x之间的函数关系式 　　．
售价x（元） 200 240 250 400
日销售量y（件） 30 25 24 15
【分析】根据表格数据可得日销售量y（件）与销售价x（元）的乘积总为6000，则可求得此题结果．
解：由题意得，日销售量y（件）与销售价x（元）的乘积总为6000，
即xy＝6000，
变形得，y＝，
故答案为：y＝．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tanA＝，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A的对应点为A'，若P为A'B'的中点，连接BP，则线段BP长度的最大值为 　4+　．
【分析】连接CP，由勾股定理求出AB＝2，由旋转的性质得出A'B'＝AB＝2，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出CP＝A'B'＝，由题意得出点P在以C为圆心，4为半径的圆上运动，则可求出答案．
解：连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，tanA＝，
∴BC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，
∴A'B'＝AB＝2，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，
∵P为A'B′的中点，
∴CP＝A'B'＝，
∴在旋转的过程中，点P在以C为圆心，4为半径的圆上运动，
∴当B，C，P三点共线时，BP有最大值，
∴BP的最大值为4+．
故答案为：4+．
三、解答题（6个题，共64分）
18．某校园有旗杆AB在阳光下某一时刻的影子长为AG．高1.6米的标杆EF在同一时刻的影子为EM（其中AB，EF都与地面垂直）．通过测量获得数据AG＝7.5，EM＝1米．
（1）在图中画出旗杆的影子；
（2）求旗杆AB的高度．
【分析】（1）根点B作BG∥FM交ZM于点G，线段AG即为所求；
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
解：（1）如图，线段AG即为所求；
（2）∵AB，EF在同一时刻的阳光下，
∴BG∥FM，故∠BGA＝∠FME．
∵∠BAG＝∠FEM＝90°，
∴△BAG∽△FEM，
∴＝，即＝，
∴AB＝12（米）．
答：旗杆AB的高度为12米．
19．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．
解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，﹣3），
∴﹣3＝．
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
∵B（m，﹣1）在y＝﹣上，
∴m＝3．
∴B点坐标为（3，﹣1）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4．
∴D点坐标为（0，﹣4）．
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝﹣＝4．
20．如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使FE＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若∠DAB＝60°，菱形ABCD的面积为，求矩形OCED的周长．
【分析】（1）由已知CF＝DF，EF＝OF，得到四边形OCED是平行四边形，由菱形的性质得到AC⊥BD，即可证得四边形OCED是矩形；
（2）由已知及菱形的性质证得△ABD是等边三角形，由含30度直角三角形的性质得到AD＝2OD，设OD＝k，则AD＝2k，由勾股定理求得AO＝k，由菱形的面积公式求出k，进而可求出矩形OCED的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∵CF＝DF，EF＝OF，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，∠DAO＝∠BAO＝30°，
∴AD＝2OD，
设OD＝k，则AD＝2k，
∴BD＝2k，
在Rt△AOD中，
AO＝＝＝k，AC＝2k．
∵S菱形ABCD＝AC BD，
∴×2k×2k＝8，
∴k2＝4，
∵k＞0，
∴k＝2，
∴CO＝2，OD＝2，
∴矩形OCED的周长＝2（OD+OC）＝2（2+2）＝4+4．
21．某商品的进价是每件40元，当售价每件60元时，当天可售出300件．进行不同程度的涨价后，发现每涨价1元，当天销售量减少10件．设商品售价每件涨价x元（x为正整数）时，当天售出商品的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如何定价，才能使商品当天的销售利润达到6250元？
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，即可列出函数关系式；
（2）令y＝6250，解关于x的方程即可得答案．
解：（1）根据题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+6000．
（2）令y＝6250，则﹣10x2+100x+6000＝6250，
解得x1＝x2＝5，
此时60+x＝60+565（元），
∴当售价为65元时，当天的利润达到6250元．
22．如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝26，AC＝15，BD⊥AC，垂足为D，E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求∠CBD的正切值；
（2）求的值．
【分析】（1）由根据余弦的定义以及勾股定理分别求出AD与BD的长，再由AC＝15求得CD的长即可求解；
（2）过E作EM∥DC交BC于M，由EM∥CA得△EMF∽△ACF，从而得出比例式求解即可．
解：（1）Rt△ADB中，AB＝26，cos∠BAC＝，
∴AD＝24，
由勾股定理，得BD＝＝10，
∵AC＝15，
∴CD＝9，
∴tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD的正切值为；
（2）过E作EM∥DC交BC于M，
∵E是BD的中点，
∴EM＝DC＝4.5，DE＝5，
∵EM∥CA，
∴△EMF∽△ACF，
∴＝＝＝，
∴＝，
23．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．
（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；
（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN MD时，求AE的值．
【分析】（1）利用矩形的性质证明△DFG≌△AEF（AAS），得AF＝DG，AE＝DF，可得答案；
（2）延长NF，EA相交于H，首先利用ASA证明△HFE≌△NFE，得FH＝FN，HE＝NE，再利用AAS证明△HFA≌△NFD，得AH＝DN，可得结论；
（3）过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，利用△MGN∽△MDG，得∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，再利用AAS证明△PFG≌△AEF，得AF＝PG，AE＝PF即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DFN＝∠AEF．
∴△DFG≌△AEF（AAS），
∴AF＝DG，AE＝DF，
∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；
（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，
∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，
∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，
∴△HFE≌△NFE（ASA），
∴FH＝FN，HE＝NE，
∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，
∴△HFA≌△NFD（AAS），
∴AH＝DN，
∵EH＝AE+AH＝AE+DN，
∴EN＝AE+DN；
（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴∠P＝90°，
∵MG2＝MN MD，
∴＝，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，
∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，
∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠PFG＝∠AEF，
∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，
∴△PFG≌△AEF（AAS），
∴AF＝PG，AE＝PF，
∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．