2021-2022学年山东省德州市德城区九年级（下）开学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年山东省德州市德城区九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每题4分，共48分）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．0
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值（GDP）为900300亿元．用科学记数法表示900300亿是（　　）
A．9.003×1012 B．90.03×1012
C．0.9003×1014 D．9.003×1013
4．方程的解为（　　）
A． B．﹣4或1 C．﹣4 D．无解
5．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为（　　）
A．40 B．16 C．16或20 D．20
6．若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
7．不等式组的所有非负整数解的和是（　　）
A．10 B．7 C．6 D．0
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
9．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则A同学获胜；否则B同学获胜．则B同学获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣ B．2+2或2﹣2 C．2﹣ D．2+2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．+×﹣|tan45°﹣|＝　 　．
14．在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点（﹣3，y1），（1，y2），（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是　 　．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是　 　°．
17．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝1：8，则AD＝　 　cm．
18．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 　 　．
三、解答题（共7道大题，共78分）
19．（1）先化简，再求值：，在﹣1，1，0，2四个数中选一个合适的数代入求值．
（2）解方程：5x（x﹣3）＝6﹣2x．
20．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）某班有一小组在课外活动中讨论如何缓解考试压力，其中3名以“交流谈心”缓解考试压力，2名以“体育活动”缓解考试压力，从中抽取2名学生，请用列表法或树状图求所抽取的2名学生都是以“交流谈心”缓解考试压力的概率．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出kx+b＞中x的取值范围；
（3）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
22．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长．
23．某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
24．如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．
（1）BD与CE的数量关系是：BD　 　CE．
（2）把图①中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图②所示的图形．
①求证：BD＝CE．
②若延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由．
（3）若AD＝8，AB＝5，把图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），直接写出BD长度的取值范围．
25．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．0
【分析】根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行解答即可．
解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．是中心对称图形但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：B．
3．据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值（GDP）为900300亿元．用科学记数法表示900300亿是（　　）
A．9.003×1012 B．90.03×1012
C．0.9003×1014 D．9.003×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：将900300亿元用科学记数法表示为：9.003×1013．
故选：D．
4．方程的解为（　　）
A． B．﹣4或1 C．﹣4 D．无解
【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得：
6﹣3（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
∴x1＝﹣4，x2＝1，
当x＝﹣4时，（x+1）（x﹣1）≠0，
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴原分式方程的解为x＝﹣4，
故选：C．
5．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为（　　）
A．40 B．16 C．16或20 D．20
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解得到菱形的边长，进而求出周长即可．
解：方程x2﹣9x+20＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
所以x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝4，x2＝5，
当边长为4时，4+4＝8，不能构成三角形，舍去；
当边长为5时，5+5＞8，此时菱形的周长为20，
则该菱形的周长为20．
故选：D．
6．若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，
根据二次函数的图象可知a＞0，b＜0，
∴函数y＝kx+b的大致图象经过二、三、四象限，
故选：C．
7．不等式组的所有非负整数解的和是（　　）
A．10 B．7 C．6 D．0
【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
解：，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10，
故选：A．
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
9．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则A同学获胜；否则B同学获胜．则B同学获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得B同学获胜的概率
解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使B同学获胜的有4种结果数，
∴B同学获胜的概率为，
故选：C．
10．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π
【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6 （S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．
解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，
∴S阴＝6 （S半圆﹣S弓形AmB）＝6 （ π 22﹣π+4）＝24﹣4π，
故选：A．
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x＝，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b＝﹣a；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0＝4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是x＝，可知当x＝时，y有最大值．
解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴0＝4a+2b+c，
故③不正确；
又可知b＝﹣a，
∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且＝1，＝2，
∴y1＞y2，
故选④不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x＝，
∴当x＝时，抛物线y取得最大值ymax＝＝，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，
∴ymax＞ym，
故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣ B．2+2或2﹣2 C．2﹣ D．2+2
【分析】先求出点A，点B坐标，可得AC＝x＝OC，BC＝，由AC+BC＝4，可求x的值，由三角形的面积公式可求解．
解：设点C（x，0），
∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，
∴点A（x，x），点B（x，），
∴AC＝x＝OC，BC＝，
∵AC+BC＝4，
∴x+＝4，
∴x＝2±，
当x＝2+时，AC＝2+＝OC，BC＝2﹣，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2+2；
当x＝2﹣时，AC＝2﹣＝OC，BC＝2+，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2﹣2；
综上所述：△OAB的面积为2+2或2﹣2，
故选：B．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．+×﹣|tan45°﹣|＝　2+　．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解：原式＝1+3×+1﹣＝2+．
故答案为：2+．
14．在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点（﹣3，y1），（1，y2），（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为　y1＞y3＞y2　．
【分析】由抛物线开口向上，可知图象上的点与对称轴的距离越小，对应的函数值越小，只需判断三个点与对称轴x＝2的距离即可．
解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2，
由抛物线开口向上，
∴图象上的点与对称轴的距离越小，对应的函数值越小，
∵|﹣3﹣2|＞|4﹣2|＞|2﹣1|，
∴y1＞y3＞y2，
故答案为y1＞y3＞y2．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是　　．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴cosA＝＝．
故答案为．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是　135　°．
【分析】根据圆周角定理求出∠C＝90°，求出∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形的内切圆得出∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝CBA，求出∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝CBA，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
17．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝1：8，则AD＝　2或　cm．
【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．
解：∵S△ADE：S四边形BCED＝1：8，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴△ADE与△ABC相似比为：1：3，
①若∠AED对应∠B时，
则，
∵AC＝5cm，
∴AD＝cm；
②当∠ADE对应∠B时，则，
∵AB＝6cm，
∴AD＝2cm；
故答案为：．
18．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 　（，3）　．
【分析】分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H，易求得CH＝AF，求出反比例函数y＝，设点C坐标为（a，），通过证得△ODE∽△OBF，得到OF＝，即可求得OA＝OF﹣AF＝OF﹣HC＝﹣a，得到点B坐标为（，），然后根据平行四边形的面积公式得到关于a的方程，解方程可得出结果．
解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，
∵BH＝OF，
∴CH＝AF，
∵点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点，
∴k＝2×3＝6，即反比例函数解析式为y＝，
∴设点C坐标为（a，），
∵DE∥BF，
∴△ODE∽△OBF，
∴，
∴，
∴OF＝，
∴OA＝OF﹣AF＝OF﹣HC＝﹣a，
∴点B坐标为（，），
∵平行四边形OABC的面积是，
∴，
解得a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
∴点B坐标为（，3），
故答案为（，3）．
三、解答题（共7道大题，共78分）
19．（1）先化简，再求值：，在﹣1，1，0，2四个数中选一个合适的数代入求值．
（2）解方程：5x（x﹣3）＝6﹣2x．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的条件得出a的值，继而代入计算即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）原式＝（﹣）÷
＝
＝﹣，
∵a≠±1且a≠0，
∴a＝2，
则原式＝﹣1；
（2）∵5x（x﹣3）＝6﹣2x，
∴5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（5x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或5x﹣2＝0，
解得x1＝3，x2＝．
20．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）某班有一小组在课外活动中讨论如何缓解考试压力，其中3名以“交流谈心”缓解考试压力，2名以“体育活动”缓解考试压力，从中抽取2名学生，请用列表法或树状图求所抽取的2名学生都是以“交流谈心”缓解考试压力的概率．
【分析】（1）利用“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）用总人数乘以“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；
（3）用360°乘以“享受美食”所占的百分比计算即可得解；
（4）列图表，共有20种等可能性的结果，其中恰好都是以“交流谈心”缓解考试压力的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）一共抽查的学生：8÷16%＝50（名）；
（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%＝15（名），
补全统计图如图所示：
（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°；
（4）记3名以“交流谈心”缓解考试压力的学生分别为A1，A2，A3，2名以“体育活动”缓解考试压力记为B和D，
列表如下：
A1 A2 A3 B D
A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B） （A1，D）
A2 （A2，A1） （A2，A3） （A2，B） （A2，D）
A3 （A3，A1） （A3，A2） （A3，B） （A3，D）
B （B，A1） （B，A2） （B，A3） （B，D）
D （D，A1） （D，A2） （D，A3） （D，B）
共有20种等可能性的结果，其中恰好都是以“交流谈心”缓解考试压力的结果有6种，
则所抽取的2名学生都是以“交流谈心”缓解考试压力的概率为＝．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出kx+b＞中x的取值范围；
（3）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）把A（1，2）代入y＝即可求得m的值，进而得到B（﹣2，﹣1），然后利用待定系数法即可即可求得一次函数的表达式；
（2）根据图象，结合A、B的坐标即可求得；
（2）设M（x，0），因为△ACP的面积是4，直线AB交x轴于（﹣1，0），可得|x+1|×2＝4，解方程即可．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象过A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数为y＝，
把B（n，﹣1）代入得，﹣1＝，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数关系式为y＝x+1；
（2）由图象可知：kx+b＞中x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．
（2）在直线y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（x，0），x＞0，
∵△ACP的面积是4，
∴S△ACB＝|x+1|×2＝4，
解得x＝3或﹣5（不合题意舍去），
∴P（3，0）．
22．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OB、OE，由SSS证得△ABO≌△EBO（SSS），得出∠BAO＝∠BEO，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC＝，再由△CEO∽△CAB，得出＝，求出OE长即可．
【解答】（1）证明：连接OB、OE，如图所示：
在△ABO和△EBO中，
，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO＝∠BEO，
∵⊙O与边BC切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO＝∠BAO＝90°，
即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BE＝3，BC＝7，
∴AB＝BE＝3，CE＝4，
∵AB⊥AD，
∴AC＝＝＝2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝∠BAC＝90°，
∠ECO＝∠ACB，
∴△CEO∽△CAB，
∴＝，
即＝，
解得：OE＝，
∴⊙O的半径长为．
23．某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，根据题意列出方程，解方程即可，分式方程注意验根；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，
根据题意得：+＝100，
整理得：x2﹣18x+45＝0，
解得：x＝15或x＝3（舍去），
经检验，x＝15是原分式方程的解，符合实际，
∴x﹣5＝15﹣5＝10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，
由题意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣5）2+2000，
∵﹣20＜0，
∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
24．如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．
（1）BD与CE的数量关系是：BD　＝　CE．
（2）把图①中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图②所示的图形．
①求证：BD＝CE．
②若延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由．
（3）若AD＝8，AB＝5，把图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），直接写出BD长度的取值范围．
【分析】（1）利用线段的差直接得出结论；
（2）①利用旋转得出∠DAE＝∠BAC，进而得出∠DAB＝∠EAC，判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论；
②由△DAB≌△EAC，得出∠ADB＝∠AEC，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；
（3）判断出点B在线段AD上时，BD最小，点B在DA的延长线上时，BD最大，即可得出结论．
解：（1）＝，
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AD﹣AB＝AE﹣AC，
∴BD＝CE，
故答案为：＝；
（2）①证明：由旋转的性质，得∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC．
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴BD＝CE．
②∠DFE＝∠DAE．理由：
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB＝∠AEC．
∵∠AOD＝∠EOF，
∴180°﹣∠ADB﹣∠AOD＝180°﹣∠AEC﹣∠EOF，
∴∠DFE＝∠DAE．
（3）当点B在线段AD上时，BD最小＝AD﹣AB＝3，
当点B在DA的延长线上时，BD最大＝AD+AB＝13，
∴3≤BD≤13．
25．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，求得m＝1或﹣3，结合（1）根据图象即可求得．
解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1．