2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学九年级（下）入学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学九年级（下）入学数学试卷
一、选择题。（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．在以下四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
2．的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
3．国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为（　　）米
A．7×109 B．7×10﹣9 C．7×108 D．﹣7×109
4．若一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0
5．解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
6．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（　　）
A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
10．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：
①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．
正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题。（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝0.5，则在本次测试中，　 　同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）
12．平面直角坐标系中，P（2，3）关于原点对称的点A坐标是 　 　．
13．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的解，则m+n＝　 　．
14．如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝6m，则坡面AB的长度是 　 　m．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝100°，半径OA＝3，则图中阴影部分的面积 　 　．
16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　 　．
三、解答题（本题共9个小题，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24题10分，满分62分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝2+．
19．如图，下面是小芸设计的“作三角形一边上的中线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：BC边上的中线AD．
作法：
（1）分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径画弧，两弧相交于P点；
（2）作射线AP，AP与BC交于D点．线段AD就是所求作的BC边上的中线．
根据小芸设计的尺规作图过程，完成下面的证明：
证明：连接BP，CP，
∵AB＝CP，AC＝　 　，
∴四边形ABPC是平行四边形，（ 　 　）（填推理的依据）
∴BD＝DC，（ 　 　）（填推理的依据）
即线段AD是BC边上的中线．
20．九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供A、B、C、D四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标），并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．
男、女生最向往的研学目标人数统计表
目标 A B C D
男生（人数） 7 m 2 5
女生（人数） 9 4 2 n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为 　 　；
（3）从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．
21．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
22．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E．
（1）若∠ACB＝30°，求sin∠DAC．
（2）求证：AD2＝DE DB．
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长．
24．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
（1）证明：直线AD是△ABC的自相似分割线；
（2）如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度；
（3）如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
参考答案
一、选择题。（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．在以下四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2．的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
【分析】依据算术平方根的性质求解即可．
解：＝2．
故选：A．
3．国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为（　　）米
A．7×109 B．7×10﹣9 C．7×108 D．﹣7×109
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：7纳米＝7×0.000000001米＝7×10﹣9米．
故选：B．
4．若一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0
【分析】根据一次函数的性质解答．
解：∵一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0．
故选：B．
5．解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以（2x﹣1），把分式方程便可转化成一元一次方程．
解：方程两边都乘以（2x﹣1），得
x﹣2＝3（2x﹣1），
故选：C．
6．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，然后解关于m的方程即可．
解：把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，
解得m＝2．
故选：D．
7．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
【分析】利用二次函数平移的性质．
解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
故选：D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理先求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义即可解答．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴cosB＝＝，
故选：B．
9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（　　）
A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，则有r2＝42+（r﹣2）2，解方程即可．
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，
则有r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O的直径为10寸，
故选：C．
10．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：
①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．
正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【分析】通过证明△AMN∽△CBN，可得，可证CN＝2AN；过D作DH∥BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH＝MD＝BC，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得DN＝DC；由平行线性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB，通过证明△ABM∽△BCA，可得，可求AB＝BC，即可得tan∠DAC＝，则可求解．
解：∵AD∥BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝AD＝BC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH∥BM交AC于G，连接NH，
∵DH∥BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH∥BM，AD∥BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，且DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，且∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，且∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝，
∴tan∠DAC＝，故③错误，
故选：C．
二、填空题。（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝0.5，则在本次测试中，　乙　同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝0.5，
∴S甲＞S乙，
∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；
故答案为：乙．
12．平面直角坐标系中，P（2，3）关于原点对称的点A坐标是 　（﹣2，﹣3）　．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
解：P（2，3）关于原点对称的点A 坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
13．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的解，则m+n＝　3　．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n的值即可．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的解，
∴m+n＝3．
故答案为：3．
14．如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝6m，则坡面AB的长度是 　12　m．
【分析】根据坡度和坡角的关系求出∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案．
解：∵迎水坡AB的坡比是1：，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2×6＝12（m），
故答案为：12．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝100°，半径OA＝3，则图中阴影部分的面积 　4π　．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠B＝180°，求出∠B＝80°，根据圆周角定理求出∠AOC＝2∠B＝160°，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC＝100°，
∴∠B＝80°，
∴∠AOC＝2∠B＝160°，
∴图中阴影部分的面积S＝＝4π，
故答案为：4π．
16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　　．
【分析】证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出＝，即可得出结果．
解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10，
∴AC＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共9个小题，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24题10分，满分62分）
17．计算：．
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂计算即可．
解：原式＝2+1﹣2×+2
＝2+1﹣+2
＝+3．
18．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝2+．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：原式＝
＝
＝，
当x＝2+时，
原式＝．
19．如图，下面是小芸设计的“作三角形一边上的中线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：BC边上的中线AD．
作法：
（1）分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径画弧，两弧相交于P点；
（2）作射线AP，AP与BC交于D点．线段AD就是所求作的BC边上的中线．
根据小芸设计的尺规作图过程，完成下面的证明：
证明：连接BP，CP，
∵AB＝CP，AC＝　已知　，
∴四边形ABPC是平行四边形，（ 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）
∴BD＝DC，（ 　平行四边形的对角线互相平分　）（填推理的依据）
即线段AD是BC边上的中线．
【分析】根据平行四边形的判定和性质解决问题即可．
解：连接BP，CP，
∵AB＝CP，AC＝BP（已知），
∴四边形ABPC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴BD＝DC（平行四边形的对角线互相平分），
即线段AD是BC边上的中线．
故答案为：已知，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
20．九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供A、B、C、D四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标），并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．
男、女生最向往的研学目标人数统计表
目标 A B C D
男生（人数） 7 m 2 5
女生（人数） 9 4 2 n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝　8　，n＝　3　；
（2）扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为 　144°　；
（3）从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．
【分析】（1）先根据C组男女生人数及其所占百分比求出样本容量，再根据B组对应百分比及女生B组人数求解可得m的值，最后根据各组人数之和等于总人数求出n的值；
（2）用360°乘以A组人数所占比例即可；
（3）应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
解：（1）样本容量＝（2+2）÷10%＝40，
依据题意得：（4+m）＝40×30%，
解得：m＝8；
n＝40﹣7﹣8﹣2﹣5﹣9﹣4﹣2＝3；
故答案为：8、3；
（2）（7+9）÷40×360°＝144°；
故答案为：144°．
（3）列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率P＝．
21．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
【分析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．
（2）只需计算出CA的高度即可求出楼层数．
解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
则∠CEP＝∠PFD＝90°，
由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，
tan32.3°＝，
∴PE＝x tan32.3°，
同理可得：在Rt△PDF中，
tan55.7°＝，
∴PF＝x tan55.7°，
由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，
可得x tan55.7°﹣x tan32.3°＝42，
解得：x＝50
∴楼间距AB＝50m，
（2）由（1）可得：PE＝50 tan32.3°＝31.5m，
∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m
由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．
22．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E．
（1）若∠ACB＝30°，求sin∠DAC．
（2）求证：AD2＝DE DB．
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长．
【分析】（1）根据BC是⊙O的直径，可得∠CAB＝90°，进而可得∠ABC＝60°，由D是劣弧的中点，可得＝，可得∠DAC＝30°，利用特殊角三角函数值即可；
（2）先证明△ABD∽△EAD，再运用相似三角形性质即可；
（3）由D是劣弧的中点，得AD＝DC，再运用（2）的结论即可．
解：（1）∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵D是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠DAC＝30°，
∴sin∠DAC＝．
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴＝，
∴AD2＝DE DB．
（3）由D是劣弧的中点，得AD＝DC，
∴DC2＝DE DB，
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD＝2，
∴（）2＝2DE，
解得：DE＝．
24．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
（1）证明：直线AD是△ABC的自相似分割线；
（2）如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度；
（3）如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
【分析】（1）由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质知，∠B＝∠C＝∠BAD＝36°，得△DBA∽△ABC；
（2）连接PB，设BD＝x，则BC＝x+1，由△DBA∽△ABC，得，列出方程即可得出BC的长；
（3）过点A作AH⊥BC于点H，过点Q作QG⊥BC于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，由（2）知GQ＝，可说明sin．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝36°，
∴∠C＝∠BAD，
又∵∠B＝∠B，
∴△DBA∽△ABC，
∴直线AD是△ABC的自相似分割线；
（2）解：如图，连接PB，
∵DE垂直平分AB，点P在DE上，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC≥BC，
当点P落在BC上时，
PA+PC＝PB+PC＝BC，
此时PA+PC的值最小，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝72°，
∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝72°，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴CD＝AC＝1，
设BD＝x，则BC＝x+1，
∵△DBA∽△ABC，
∴，
∴，
解答x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BC＝x+1＝，
∴PA+PC＝；
（3）解：过点A作AH⊥BC于点H，过点Q作QG⊥BC于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，
∵AB＝AC，
∴CH＝，
由（2）知，DC＝AC＝1，
AD＝BD＝，
∵CF平分∠ACB，
∴CM⊥AD，
DM＝AM＝＝，
∴sin，
∴GQ＝，
∴AQ+，
∵AG≥AH，
∴AQ+，
此时AQ+CQ的值最小，∠QAC＝∠HAC，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴CH＝，
∴sin，
故∠QAC的正弦值是．