2021-2022学年浙江省台州市临海市实验学校八年级（下）起始考数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年浙江省台州市临海书生实验学校八年级（下）起始考数学试卷
一、选择题。（每题3分，共30分）
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．使分式有意义的条件是（　　）
A．x≠2 B．x≠0 C．x＝2 D．x＝﹣2
3．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
5．下列运算中正确的是（　　）
A．a5+a5＝2a10 B．3a3 2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
6．已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
8．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　）
A．＝2 B．＝2
C．＝2 D．＝2
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（　　）
A．72° B．100° C．108° D．120°
二.填空题。（每题4分，共24分）
11．分解因式：x2﹣4＝　 　．
12．﹣0.00035用科学记数法表示为　 　．
13．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为　 　．
14．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
15．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于　 　．
16．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是　 　．
三、解答题。（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各10分，24题12分）
17．计算：
（1）（a+b）2﹣b（2a+b）；
（2）．
18．先化简再求值：（x﹣1+）÷，若x2＝4，求化简后代数式的值．
19．如图，已知AB＝AC，CE⊥AB，BF⊥AC．求证：BF＝CE．
20．如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出点C关于x轴对称C2的坐标：　 　；
（3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．
21．我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
22．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．
23．阅读下面材料：
临书生同学这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，临书生同学发现像m+n，mnp等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了!于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是临书生同学把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 　 　（填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①q＝　 　（用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式的值．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
（1）求证：△DAB≌△EAC．
（2）当点D在线段BC上运动时，
①α＝50°，则β＝　 　°．
②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明．
（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明．
参考答案
一、选择题。（每题3分，共30分）
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．使分式有意义的条件是（　　）
A．x≠2 B．x≠0 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．
解：根据题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：A．
3．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20＝22×5，该二次根式的被开方数中含开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
4．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
5．下列运算中正确的是（　　）
A．a5+a5＝2a10 B．3a3 2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
【分析】根据整式运算即可求出答案．
解：（A）a5+a5＝2a5，故A错误；
（B）3a3 2a2＝6a5，故B错误；
（C）a6÷a2＝a4，故C错误；
故选：D．
6．已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断B选项正确．
解：∵PB+PC＝BC，
而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：B．
7．如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】图形的面积可以由大正方形的面积减去小正方形的面积求出，也利用由长为a+b，宽为a﹣b的矩形面积求出，即可确定出所求公式．
解：如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
8．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
解：根据题意，得：（n﹣2）×180＝360×3，解得n＝8．
故选：D．
9．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　）
A．＝2 B．＝2
C．＝2 D．＝2
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可．
解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：﹣＝2，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（　　）
A．72° B．100° C．108° D．120°
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故选：C．
二.填空题。（每题4分，共24分）
11．分解因式：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
12．﹣0.00035用科学记数法表示为　﹣3.5×10﹣4　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：﹣0.00035＝﹣3.5×10﹣4，
故答案为：﹣3.5×10﹣4．
13．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为　5　．
【分析】因为是整数，且＝＝2，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
解：∵＝＝2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案是：5．
14．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
15．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于　3cm　．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×6cm＝3cm，
故答案为：3cm．
16．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是　4　．
【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD＝2+2＝4．
故答案为：4．
三、解答题。（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各10分，24题12分）
17．计算：
（1）（a+b）2﹣b（2a+b）；
（2）．
【分析】（1）先计算整式乘法，再计算加减；
（2）先计算实数的乘法、开方，再计算加减．
解：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）
＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2；
（2）
＝2﹣1﹣3+3﹣4×
＝2﹣1﹣3+3﹣1
＝0．
18．先化简再求值：（x﹣1+）÷，若x2＝4，求化简后代数式的值．
【分析】先算括号里，然后再进行分式的乘除混合运算，最后把x的值代入化简后的式子进行计算即可．
解：（x﹣1+）÷
＝
＝
＝x+2，
∵x2＝4，
∴x＝±2，
由题意得：x≠﹣2，
当x＝2时，原式＝2+2＝4．
19．如图，已知AB＝AC，CE⊥AB，BF⊥AC．求证：BF＝CE．
【分析】利用“等边对等角”得到相等的角，再利用AAS证全等，利用全等三角形的性质即可解答．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BEC＝∠CFB＝90°，
在△BEC和△CFB中，
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴BF＝CE．
20．如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出点C关于x轴对称C2的坐标：　（﹣1，﹣1）　；
（3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案；
（1）连接AC1，与y轴的交点即为所求点P．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示：C2（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（3）如图所示：点P为所求，
21．我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．
解：设学生步行的平均速度是每小时x千米．
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，
根据题意：﹣＝3.6，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：学生步行的平均速度是每小时4千米．
22．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．
【分析】（1）由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE，由全等三角形的性质可得DE＝BF；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝AE，根据角平分线的定义得到∠FAH＝∠EAH，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵EA⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
在△BAF和△DAE中，
，
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：DE+BH＝HE，
理由如下：
由（1）知△BAF≌△DAE，
∴AF＝AE，
∵AH平分∠FAE，
∴∠FAH＝∠EAH，
在△FAH与△EAH中，
，
∴△FAH≌△EAH（SAS），
∴FH＝EH，
∴DE+BH＝HE．
23．阅读下面材料：
临书生同学这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，临书生同学发现像m+n，mnp等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了!于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是临书生同学把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 　①④　（填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①q＝　mn　（用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式的值．
【分析】（1）由任意交换两个字母的位置，式子的值都不变即可判断得到答案；
（2）①将左边展开，再比较即可得答案；
②将所求式子变形成含m+n、mn的形式，再代入即可．
解：（1）在①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+zx中，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变的有：①，④xy+yz+zx，
故答案为：①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q，
∴x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴q＝mn，
故答案为：mn；
②由①知：m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
∴+
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
（1）求证：△DAB≌△EAC．
（2）当点D在线段BC上运动时，
①α＝50°，则β＝　130　°．
②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明．
（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明．
【分析】（1）利用角的差判断出∠CAE＝∠BAD，进而得出结论；
（2）①由（1）知，△DAB≌△EAC，判断出∠ABC＝∠ACE，再根据三角形的内角和得出∠ABC＝∠ACB＝65°，即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法判断出△DAB≌△EAC，进而同（2）的方法，即可得出结论．
解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAD﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）；
（2）①由（1）知，△DAB≌△EAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣50°）＝65°，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝65°+65°＝130°，
故答案为130；
②α+β＝180°，
理由：由（1）知，△DAB≌△EAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝90°﹣α+90°﹣α＝180°﹣α，
∴α+β＝180°；
（3）β＝α；
理由：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ACE＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴β＝∠ACE﹣∠ACB＝90°+α﹣（90°﹣α）＝α．