2021-2022学年重庆市沙坪坝区九年级（下）开学数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年重庆市沙坪坝区九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，其中只有一个是正确的，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（a3）2的值是（　　）
A．a6 B．a5 C．a9 D．﹣a6
4．国家速滑馆是2022年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆，是唯一新建的冰上竞赛场馆．国家速滑馆拥有亚洲最大的全冰面设计，冰面面积达12000平方米．将12000用科学记数法表示应为（　　）
A．12×103 B．1.2×104 C．1.2×105 D．0.12×105
5．估计（+）÷的值应在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．下列命题正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，2），B（4，2），C（4，4），以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为1：2，则线段DF的长度为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
8．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（　　）
A．x＝3，y＝3 B．x＝﹣4，y＝﹣2 C．x＝2，y＝4 D．x＝4，y＝2
9．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（　　）
A．70° B．60° C．55° D．35°
10．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（m）与时间t（h）之同的关系．对于以下说法正确的结论是（　　）
A．乙车出发1.5小时后甲车出发
B．两人相遇时，他们离开A地20km
C．甲的速度是km/h，乙的速度是km/h
D．当乙车出发2小时时，两车相距13km
11．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：+（）﹣2+（π﹣1）0＝　 　．
14．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为 　 　．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．西南大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A，B，C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为 　 　．
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．计算：
（1）（m﹣n）2﹣m（m﹣2n）；
（2）．
18．如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线l（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）直线l分别交AB，AC，CD于点E，F，G．猜想DG与BE存在的数量关系，并证明你猜想的结论．
20．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动．为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：
（1）收集、整理数据
20名男生的长跑成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．
女生长跑成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89．
（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
长跑成绩 平均数 中位数 众数
男生 85 88.5 b
女生 81.8 a 74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．
21．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）写出不等式ax+b≥的解集．
22．蹦床是一项有利于提高全身协调性、增进亲子关系的运动，安吉蹦床推出了一种家庭套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买3张套票的费用少32元，从网上购买2张套票的费用和现场购买1张套票的费用共304元．
（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元？
（2）2022年元旦当天，安吉蹦床按各自的价格在网上和现场售出的总票数为100张．元旦刚过，玩蹦床的人数下降，于是安吉蹦床决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加4张．经统计，1月3日的总票数中有通过网上平台售出，共余均由现场售出，且当天安吉蹦床的总收益为14720元．请问安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
23．定义：对于一个各数位上的数字都不为0且互不相等的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“匹配数”．将“匹配数”m的千位、百位所组成的两位数与十位、个位所组成的两位数对调，得到一个新的四位数n，记F（m）＝．例如，对于6231，各数位上的数字都不为0且互不相等，又因为6﹣1＝2+3，所以6231是“匹配数”，
F（6231）＝＝93．再如，对于9125，各数位上的数字都不为0且互不相等，但因为9﹣5≠1+2，所以9125不是“匹配数”．
（1）判断9432和5213是否为“匹配数”．如果是“匹配数”，请求出F（m）的值；如果不是“匹配数”，请说明理由；
（2）若“匹配数”m＝9000+100a+10b+c（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为整数），且F（m）是一个正整数的平方，请求出所有满足条件的m．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
25．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，如果点D在BC上，且BD＝4，CD＝3，求DE的长；
（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM＝AF，求证：CF＝AN+MN；
（3）如图3，若AD＝AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF：DN：AN的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，其中只有一个是正确的，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
解：根据相反数的含义，可得
﹣的相反数是：﹣（﹣）＝．
故选：D．
2．如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（a3）2的值是（　　）
A．a6 B．a5 C．a9 D．﹣a6
【分析】利用幂的乘方的法则对式子进行运算即可得出结果．
解：（a3）2＝a3×2＝a6．
故选：A．
4．国家速滑馆是2022年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆，是唯一新建的冰上竞赛场馆．国家速滑馆拥有亚洲最大的全冰面设计，冰面面积达12000平方米．将12000用科学记数法表示应为（　　）
A．12×103 B．1.2×104 C．1.2×105 D．0.12×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将12000用科学记数法表示应为1.2×104，
故选：B．
5．估计（+）÷的值应在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】先化简，然后估算大小．
解：（+）÷
＝÷+÷
＝+
＝2
＝3，
∵3＝，，
∴，
（+）÷的值应在5和6之间．
故选：D．
6．下列命题正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相垂直平分进行分析即可．
解：A、平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题；
B、矩形的对角线互相垂直平分，是假命题；
C、菱形的对角线互相平分且相等，是假命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，2），B（4，2），C（4，4），以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为1：2，则线段DF的长度为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据勾股定理求出AC，根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），
∴AB＝2，BC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝2，
∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，
∴线段DF的长度为AC＝，
故选：A．
8．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（　　）
A．x＝3，y＝3 B．x＝﹣4，y＝﹣2 C．x＝2，y＝4 D．x＝4，y＝2
【分析】根据运算程序，结合输出结果确定的值即可．
解：A、x＝3、y＝3时，输出结果为32+2×3＝15，不符合题意；
B、x＝﹣4、y＝﹣2时，输出结果为（﹣4）2﹣2×（﹣2）＝20，不符合题意；
C、x＝2、y＝4时，输出结果为22+2×4＝12，符合题意；
D、x＝4、y＝2时，输出结果为42+2×2＝20，不符合题意；
故选：C．
9．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（　　）
A．70° B．60° C．55° D．35°
【分析】由AC是⊙O的切线，可求得∠C＝90°，然后由∠BAC＝55°，求得∠B的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
解：∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°，
∵∠BAC＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝35°，
∴∠COD＝2∠B＝70°．
故选：A．
10．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（m）与时间t（h）之同的关系．对于以下说法正确的结论是（　　）
A．乙车出发1.5小时后甲车出发
B．两人相遇时，他们离开A地20km
C．甲的速度是km/h，乙的速度是km/h
D．当乙车出发2小时时，两车相距13km
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由图可得，
乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故选项A不合题意；
两人相遇时，他们离开A地20km，故选项B符合题意；
甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），乙的速度是40÷3＝（km/h），故选项C不合题意；
当乙车出发2小时时，两车相距：[20+40×（2﹣1.5）]﹣×2＝（km），故选项D不合题意；
故选：B．
11．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
解：，
解①得x≥﹣3，
解②得x≤，
不等式组的解集是﹣3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴﹣1≤＜0
∴﹣8≤a＜﹣3，
+＝1
3y﹣a﹣12＝y﹣2．
∴y＝
∵y≠2，
∴a≠﹣6，
又y＝有整数解，
∴a＝﹣8或﹣4，
所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12，
故选：B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：+（）﹣2+（π﹣1）0＝　8　．
【分析】根据开立方，可得立方根；根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．
解：原式＝﹣2+9+1
＝8．
故答案为：8．
14．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为 　　．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手机”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：把作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手机”的结果有2种，
∴抽到“作业”和“手机”的概率为＝，
故答案为：．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为　　．
【分析】首先根据菱形的性质，求出AO、BO的值是多少，再根据勾股定理，求出AB的值是多少；然后根据圆的面积公式，求出以AB为直径的半圆的面积，再用它减去三角形ABO的面积，求出图中阴影部分的面积为多少即可．
解：∵AC＝8，BD＝6，AC⊥BD，
∴AB＝
＝
＝
＝5
∴图中阴影部分的面积为：
π××﹣（8÷2）×（6÷2）÷2
＝π×﹣4×3÷2
＝
故答案为：．
16．西南大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A，B，C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为 　30：57　．
【分析】设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b；利用助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，可得助农后，A，B两种作物的亩产量分别为：1.5b（1+），b（1+），利用A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量，可得C作物的亩产量为1.5b（1+）+b（1+）；设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y），利用助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，列出方程组求得x，n，即可表示助农前后A作物的产量，结论可求．
解：设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，
则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b．
∵助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量，
∴助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+）＝2b，
B作物的亩产量为：b（1+）＝b，
C作物的亩产量为：1.5b（1+）+b（1+）＝b．
设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，
则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y），
∴，
解得：．
∴助农前A作物的产量为：2a×b＝3b，
助农后A作物的产量为：（2a+x﹣x﹣y）×2b＝5.7ab．
∴助农前后A作物的产量之比为：30：57．
故答案为：30：57．
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．计算：
（1）（m﹣n）2﹣m（m﹣2n）；
（2）．
【分析】（1）先利用完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘方，乘法，然后再算加减；
（2）先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
解：（1）原式＝m2﹣2mn+n2﹣m2+2mn
＝n2；
（2）原式＝÷（）
＝÷
＝
＝﹣．
18．如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，根据正弦的定义求出AE，得到答案；
（2）过点D作DF⊥BC于F，DG⊥AE于G，根据正弦的定义求出AG，进而求出DF，根据坡度的概念计算即可．
解：（1）过点A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B＝42°，AB＝200米，
则AE＝AB sinB≈200×0.70＝140（米），
答：坡顶A到水平面BC的距离约为140米；
（2）过点D作DF⊥BC于F，DG⊥AE于G，
则四边形EFDG为矩形，
∴GE＝DF，
在Rt△AGD中，∠ADG＝60°，AD＝100米，
则AG＝AD sin∠ADG＝100×≈86.5（米），
∴DF＝GE＝AE﹣AG＝53.5（米），
∵CD的坡比i＝1：2，
∴DF：FC＝1：2，
∴DF：CD＝1：3，
∴CD＝3DF＝160.5≈161（米），
答：斜坡CD的长度约为161米．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线l（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）直线l分别交AB，AC，CD于点E，F，G．猜想DG与BE存在的数量关系，并证明你猜想的结论．
【分析】（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可；
（2）由EG垂直平分AC得到FA＝FC，根据平行四边形的性质得到CD∥AB，CD＝AB，然后证明△CFG≌△AFE得到CG＝AE，从而得到结论．
【解答】（1）解：如图，直线l为所作；
（2）DG＝BE，
证明：∵EG垂直平分AC，
∴FA＝FC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
在△CFG和△AFE中，
，
∴△CFG≌△AFE（ASA），
∴CG＝AE，
∴CD﹣CG＝AB﹣AE，
即DG＝BE．
20．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动．为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：
（1）收集、整理数据
20名男生的长跑成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．
女生长跑成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89．
（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
长跑成绩 平均数 中位数 众数
男生 85 88.5 b
女生 81.8 a 74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝　79.5　，b＝　89　；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．
【分析】（1）①根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数即可补全图形；
②根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）从平均数和众数及中位数的意义求解即可；
（3）先求出女生长跑成绩不低于80分的学生人数，再用总人数乘以样本中长跑成绩不低于80分的学生人数所占比例即可．
解：（1）①80～90分的人数为20﹣（1+2+3+6）＝8（人），
补全直方图如下：
②男生成绩的众数b＝89，女生成绩的中位数a＝＝79.5，
故答案为：79.5、89；
（2）男生长跑成绩好，
因为男生长跑成绩的平均数大于女生，所以男生长跑成绩比女生好．
（3）∵样本中女生A、B组人数为20×（10%+10%）＝4（人），C组人数为6人，
∴女生长跑成绩不低于80分的学生人数为10人，
所以估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数900×+600×＝630+300＝930（人）．
21．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）写出不等式ax+b≥的解集．
【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）观察图象，写出直线不落在双曲线下方时自变量的取值范围即可．
解：（1）由OH＝3，tan∠AOH＝，得AH＝4．即A（﹣4，3）．
由勾股定理，得AO＝＝5，
∴△AHO的周长＝AO+AH+OH＝3+4+5＝12；
（2）将A点坐标代入y＝（k≠0），得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
把点B（m，﹣2）代入得﹣2＝﹣，解得m＝6，
∴B（6，﹣2）．
将A、B点坐标代入y＝ax+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1．
（3）由图象可知，不等式ax+b≥的解集是：x≤﹣4或0＜x≤6．
22．蹦床是一项有利于提高全身协调性、增进亲子关系的运动，安吉蹦床推出了一种家庭套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买3张套票的费用少32元，从网上购买2张套票的费用和现场购买1张套票的费用共304元．
（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元？
（2）2022年元旦当天，安吉蹦床按各自的价格在网上和现场售出的总票数为100张．元旦刚过，玩蹦床的人数下降，于是安吉蹦床决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加4张．经统计，1月3日的总票数中有通过网上平台售出，共余均由现场售出，且当天安吉蹦床的总收益为14720元．请问安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
【分析】（1）设网上购买套票的价格为x元，现场购买套票的价格为y元，由题意：从网上平台购买4张套票的费用比现场购买3张套票的费用少32元，从网上购买2张套票的费用和现场购买1张套票的费用共304元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了m元，会多卖出张套票，由题意：当天安吉蹦床的总收益为14720元．列出一元二次方程，解方程即可．
解：（1）设网上购买套票的价格为x元，现场购买套票的价格为y元，
由题意得：，
解得：，
答：网上购买套票的价格为88元，现场购买套票的价格为128元；
（2）设安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了m元，会多卖出张套票，
依题意得：88×（100+）×+（128﹣m）×（1﹣）×（100+）＝14720，
整理得：m2﹣210m+5400＝0，
解得：m＝30或m＝180（不合题意舍去），
∴m＝30，
答：安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了30元．
23．定义：对于一个各数位上的数字都不为0且互不相等的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“匹配数”．将“匹配数”m的千位、百位所组成的两位数与十位、个位所组成的两位数对调，得到一个新的四位数n，记F（m）＝．例如，对于6231，各数位上的数字都不为0且互不相等，又因为6﹣1＝2+3，所以6231是“匹配数”，
F（6231）＝＝93．再如，对于9125，各数位上的数字都不为0且互不相等，但因为9﹣5≠1+2，所以9125不是“匹配数”．
（1）判断9432和5213是否为“匹配数”．如果是“匹配数”，请求出F（m）的值；如果不是“匹配数”，请说明理由；
（2）若“匹配数”m＝9000+100a+10b+c（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为整数），且F（m）是一个正整数的平方，请求出所有满足条件的m．
【分析】（1）根据“匹配数”的概念对相应数位上的数字进行计算，从而作出判断，并求值；
（2）根据新定义内容列出“匹配数”m＝9000+100a+10b+c中a，b，c的等量关系，然后列出F（m）的式子，并根据完全平方数的特点确定b的值，从而分析求解．
解：（1）对于9432，各数位上的数字都不为0且互不相等，
又∵9﹣4＝3+2，
∴9432是“匹配数”，
∴F（9432）＝＝126，
对于5213，各数位上的数字都不为0且互不相等，
∵5﹣2≠1+3，
∴5213不是“匹配数”，
综上，9432是“匹配数”，F（9432）＝126；5213不是“匹配数”；
（2）∵m＝9000+100a+10b+c是匹配数，
∴9﹣a＝b+c，即a+c＝9﹣b，
∴F（m）＝
＝
＝10b+c+a+90，
∵a+c＝9﹣b，
∴F（m）＝10b+9﹣b+90＝9（b+11），
又∵F（m）是一个正整数的平方，且1≤b≤9，且b为整数，
∴b＝5，此时F（m）＝144，
∴a+c＝4，
又∵1≤a≤9，1≤c≤9，且a，c均为整数，
∴a＝1，c＝3或a＝2，c＝2或a＝3，c＝1，
①当a＝1，b＝5，c＝3时，m＝9153，
②当a＝2，b＝5，c＝2时，m＝9252（不合题意，舍去），
③当a＝3，b＝5，c＝1时，m＝9351，
综上，满足条件的m的值为9153或9351．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题可知B点既在x轴上，又在y＝x﹣4上，则B（8，0），再将A、B代入y＝ax2+bx﹣4即可求解析式；
（2）先求出直线AD的解析式为y＝x+1，过点B作BG⊥AD，在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，求出BG＝2，设P（m，﹣m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），QR＝2，代入点的坐标可得n﹣m＝2，则R（m+2，m﹣3），S△PQR＝﹣（m﹣4）2+9，当m＝4时，S△PQR有最大值9，则可求P（4，﹣6）；
（3）求出C'（0，﹣4），直线AC的解析式为y＝2x+4，由平移可知抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，可得平移后抛物线解析式为y'＝（x﹣1）2﹣，联立（x﹣3）2﹣＝（x﹣1）2﹣可求两抛物线交点M（6，﹣4），联立x+1＝x2﹣x﹣4，可求D（10，6），设N（3，t），K（x，y），①当DM与KN为矩形对角线时，8＝，1＝，再由DM＝KN，则16+100＝（3﹣x）2+（t﹣y）2，可求K（13，﹣1）或K（13，3）；②当DN与MK为矩形对角线时，＝，＝，再由DN＝MK，则49+（6﹣t）2＝（6﹣x）2+（y+4）2，求出K（7，）；③当KD与MN为矩形对角线时，＝，＝，再由KD＝MN，（x﹣10）2+（6﹣y）2＝9+（t+4）2，求出K（﹣1，﹣）．
解：（1）∵B点在x轴上，且B点在y＝x﹣4上，
∴B（8，0），
∵A（﹣2，0），B（8，0），都在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，
∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的两个根，
∴﹣16＝﹣，＝6，
∴a＝，b＝﹣，
∴y＝x2﹣x﹣4；
（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
过点B作BG⊥AD交点G，
∵QR⊥BC，
∴QR＝BG，
在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，
∴BG＝2，
设P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），
∵QR＝2，
∴20＝（m﹣n）2+，
∴n﹣m＝2，
∴R（m+2，m﹣3），
S△PQR＝×（m+1﹣m2+m+4）×2＝﹣m2+2m+5＝﹣（m﹣4）2+9，
∴当m＝4时，S△PQR有最大值9，
∴P（4，﹣6）；
（3）∵点C关于x轴的对称点为点C′，
∴C'（0，﹣4），
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∵抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度，
∴抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，
∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，
∴y'＝（x﹣1）2﹣，
联立（x﹣3）2﹣＝（x﹣1）2﹣，解得x＝6，
∴M（6，﹣4），
联立x+1＝x2﹣x﹣4，解得x＝10或x＝﹣2，
∵D异于点A，
∴D（10，6），
∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴为直线x＝3，
设N（3，t），K（x，y），
①当DM与KN为矩形对角线时，
DM的中点与KN的中点重合，
∴8＝，1＝，
∴x＝13，t＝2﹣y，
∵DM＝KN，
∴16+100＝（3﹣x）2+（t﹣y）2，
∴y＝﹣1或y＝3，
∴K（13，﹣1）或K（13，3）；
②当DN与MK为矩形对角线时，
DN的中点与MK的中点重合，
∴＝，＝，
∴x＝7，t＝y﹣10，
∵DN＝MK，
∴49+（6﹣t）2＝（6﹣x）2+（y+4）2，
∴y＝，
∴K（7，）；
③当KD与MN为矩形对角线时，
KD的中点与MN的中点重合
∴＝，＝，
∴x＝﹣1，t＝10+y，
∵KD＝MN，
∴（x﹣10）2+（6﹣y）2＝9+（t+4）2，
∴y＝﹣，
∴K（﹣1，﹣）；
综上所述：以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（﹣1，﹣）或（7，）或（13，﹣1）或（13，3）．
25．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，如果点D在BC上，且BD＝4，CD＝3，求DE的长；
（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM＝AF，求证：CF＝AN+MN；
（3）如图3，若AD＝AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF：DN：AN的值．
【分析】（1）连接CE，证明△ABD≌ACE、△CDE为直角三角形，由勾股定理得DE的长． （2）延长AD至S，使AS＝CF，连接CS，证明四边形ASCF是平行四边形，得到CM＝AF＝CS，证明△CNM≌CNS得NS＝NM，所以CF＝AS＝AN+NS＝AN+MN．
（3）设BC，DE相交于点G，连接AG，CM，BE，AF，证明△AGB≌AGE得到GB＝GE，从而得到证明△GDF≌GCM的条件，根据边比求出tan∠AGF，将AN构造在特殊的直角三角形内，得到AN与NF的比，最后求出DF：DN：AN的值．
解：（1）如图1，连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌ACE（SAS），
∴∠B＝∠C＝45°，
∴CE＝BD＝4，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝45°+45°＝90°，
在Rt△DCE中，CE＝4，CD＝3，
∴DE＝＝5；
（2）如图2，延长AD至S，使AS＝CF，连接CS，
由（1）可得：△ABD≌ACE，
∵AD⊥BD，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠DAE+∠AEC＝180°，
∴AS∥CF，
∴四边形ASCF是平行四边形，∠NCS＝∠ABC＝45°，
∴CM＝AF＝CS，
∵∠NCS＝∠NCM＝45°，NC＝NC，
∴△NCS≌NCM（SAS），
∴SN＝MN，
∴CF＝AS＝AN+SN＝AN+MN；
（3）如图3，设BC，DE相交于点G，连接AG，CM，BE，AF，CD，作AH⊥DN交DN的延长线于点H，GI⊥FD于点I，
∵AB＝AD，
∴AB＝AC＝AD＝AE，BC＝DE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABG＝∠AEG＝45°，
∴∠GBE＝∠GEB，
∴GB＝GE，
∴GC＝GD，
∵F为BC中点，M为DE中点，
∴FC＝MD，
∴GF＝GM，
∵∠DGF＝∠CGM，
∴△GDF≌GCM（SAS），
∴∠GDF＝∠GCM，DF＝CM，
∵N为BM中点，
∴NF是△BMC的中位线，
∴NF∥CM，
∴∠GDF＝∠GCM＝∠GFD，NF：DF＝NF：CM＝1：2，
∴GF＝GD＝GC＝GM，DF：DN＝2：3，
∴CF为⊙G直径，
∴∠CDF＝90°，
∵AD＝AC，
∴AG垂直平分DC，
∴AG∥FD，
∴∠BFN＝∠AGF，
∵∠BFN+∠AFH＝∠FAH+∠AFH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFN＝∠AGF＝∠GFI，
设GF＝GC＝k，则AF＝BC＝FC＝2k，NF＝k，
∴tan∠FAH＝tan∠GFI＝tan∠AGF＝＝2，
∴AH＝k，FH＝k，FI＝k，GI＝k，
∴FD＝2FI＝k，DN＝k，
∴NF＝FD＝k，
∴HN＝FH﹣NF＝k﹣k＝k，
在Rt△AHN中，AN＝＝k，
∴DF：DN：AN＝k：k：k＝2：3：．