河南省南阳市南召县2021-2022学年九年级下学期开学抽考数学试卷
一、单选题
1．（2020·济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
2．（2022九下·南召开学考）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．－5 D．－2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得Δ=a2-4×1×1>0，
解得a>2或a<-2.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意即可列出不等式，求解即可.
3．（2022九下·南召开学考）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，∠A＝40°，则∠DEB的度数为（ ）
A．50° B．100° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=∠C=40°，
∴
∴∠DEB=∠AEC=100°.
故答案为：B.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠C=40°，利用内角和定理可得∠AEC的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
4．（2020·荆门）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为 ，将 沿直线 翻折，得到 ，过 作 垂直于 交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可得AB=1，OB= ，
∵△ABC为直角三角形，
∴OA=2，
由翻折性质可得 =1， = ， =2，∠ =90°，
∵∠ +∠ =90°，∠ +∠ =90°，
∴∠ =∠ ，
∵ ⊥ ，∠ =90°，
∴△ ∽△ ，
∴ ，即
∴OC=4，
∴点C的坐标为（0，-4），
故答案为：C.
【分析】要求点C的坐标，分析题意只需求得OC的值即可。由轴对称的性质可得=AB=1，=OB=，=OA=2，由同角的余角相等可得∠ =∠ ，于是根据两个角对应相等的两个三角形相似可得△A OB ∽△OCA ，可得比例式，求出OC的值，则点C的坐标可求解
5．（2022九下·南召开学考）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是y轴，故选项B不合题意；
该函数开口向上，对称轴是y轴，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】令x=-1，求出y的值，据此判断A；根据二次函数的解析式可得对称轴，据此判断B；根据对称轴以及开口方向判断出函数的增减性，据此判断C；求出x=2、x=-1、x=0对应的函数值，据此判断D.
6．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度
为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10，
在Rt△EFC， = =
即
，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
7．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
8．（2022九下·南召开学考）看了《田忌赛马》故事后，数学兴趣小组用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6、4、2，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹等级 下等马 中等马 上等马
齐王 2 4 6
田忌 1 3 5
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为.
故答案为：B.
【分析】当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，列表法表示出当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况，找出总情况数以及对阵情况田忌能赢的情况数，然后利用概率公式进行计算.
9．（2020·随县）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故答案为：C.
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案.
10．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为 ,面积为y=x· · = ,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为 ,面积为
y=(4－x)· · = ,
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为 ,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
二、填空题
11．（2021九上·漳州期末）若sinA= ，则锐角∠A= °.
【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：若sinA= ，则锐角∠A=60°，
故答案为：60.
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出∠A的度数.
12．（2022九下·南召开学考）二次函数的图象与x轴无交点，写出一个满足条件的实数c的值为 .
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴无交点，
∴顶点(0，c)在x轴上方，
∴.
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（0，c），二次项的系数a=1＞0，图象开口向上，进而由图象与x轴无交点就可得到c的范围，据此解答.
13．（2022九下·南召开学考）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 .
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x-2022=0的两个实数根，
∴a2+a-2022=0，a+b=-1，
∴a2+a=2022，
∴=（a2+a）+（a+b）+1=2022-1+1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得a2+a=2022，根据根与系数的关系可得a+b=-1，待求式可变形为(a2+a)+(a+b)+1，据此计算.
14．（2022九下·南召开学考）△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= .
故答案为：或.
【分析】分①△ABC∽△ADE，②△ABC∽△AED，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
15．（2022九下·南召开学考）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，
∵点E、F分别是AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，
∴
∵
∴
∵∠
∴△
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
故答案为：.
【分析】在AB上截取AQ=1，连接AP、PQ、CQ，由题意可得，证明△APQ∽△ABP，得到PQ=PB，则PB+PC=PQ+PC≥CQ，然后利用勾股定理求解即可.
三、解答题
16．（2022九下·南召开学考）
（1）计算：
（2）用公式法解方程：
【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：
这里
∴
∴，
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）第一项利用完全平方公式计算，第二项代入特殊锐角的三角函数值，同时进行二次根式的化简，第三项利用零指数幂的性质计算，然后利用平方差公式以及有理数的加减法法则进行计算；
（2）观察方程发现，此方程是一元二次方程的一般形式，先找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根.
17．（2022九下·南召开学考）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为6，求m的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：
∴，
解得：，
∵m>0，
∴，
∵该方程的两个实数根的差为6，
∴，解得：.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明该方程根的判别式的值恒大于0即可；
（2）利用因式分解法可得方程的解，然后根据两个实数根的差为6即可求出m的值.
18．（2022九下·南召开学考）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 90 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到），由此估出红球有 个.
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.
【答案】（1）0.33；2
（2）解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为：；
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球有x个，由题意得：
，
解得：x≈2，经检验：x=2是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
【分析】（1）根据频率估计概率的知识可得摸到白球的概率为0.33，设红球有x个，然后根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及摸到一个白球，一个红球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
19．（2022九下·南召开学考）如图，⊙O的半径为4，点E在⊙O上，OE⊥弦AB，垂足为D，.
（1）求AB的长；
（2）若点C为⊙O上的一点（不与A，B重合），直接写出∠ACB的度数.
【答案】（1）解：连接OA，
∵弦AB⊥OE，
∴AD=BD=AB，∠ODA=90°，
∴AD2+OD2=OA2
∴AD2=42-（2）2=4，
∴AD=2，
∴AB=4；
（2）解：∠ACB=30°或150°.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（2）分两种情况讨论：
情况一，在优弧上，连接OA，OB，如图1，
∵OD=2，OA=4，
∴由勾股定理得，，
∴∠AOD=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠C＝∠AOB＝×60°＝30°，
情况二，在劣弧上，
∠ACB=180°-30°=150°，
综上所述，∠ACB=30°或150°.
【分析】（1）连接OA，根据垂径定理可得AD=BD=AB，∠ODA=90°，然后利用勾股定理求出AD，进而可得AB；
（2）情况一：在优弧上，连接OA，OB，由勾股定理求出AD，得∠AOD=30°，∠AOB=60°，然后根据圆周角定理可得∠C的度数；情况二：在劣弧上，根据圆内接四边形的性质可得∠ACB的度数.
20．（2022九下·南召开学考）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】解：∵CM=3，OC=5，
∴OM==4，
∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴，即，
∴，
∴tan∠AOD=tan70°=，
即，
解得：AB=6，
∴汽车从A处前行6米才能发现C处的儿童.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先由勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，根据相似三角形的性质可得BD，然后根据∠AOD的正切函数就可求出AB.
21．（2020·宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为 （ ），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得： ，
∴y与x之间的函数表达式为 ；
（2）解：由题意得： ，
整理得 ，
解得 ，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）解：设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当 时，w最大值=800.
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）根据单件的利润乘以销售的数量=总利润可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.
22．（2022九下·南召开学考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.
【答案】（1）解：将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6.
（2）解：过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示.
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）.
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6.
设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴，
∴当时，△PBC面积取最大值，最大值为 .
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3.
（3）解：存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似.
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当 时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴ ，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时，
∴N（0，），
当时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴ ，
解得 ，
∴M（，），
此时N（0，）.
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或，△CMN与△OBC相似，
解得或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为，N（0，）或N（0，﹣）.
综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6中求出a、b的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，易得C（0，6），利用待定系数法求直线BC的解析式，设P（m，-2m2+4m+6），则F（m，-2m+6），表示出PF，根据三角形的面积公式可得S△PBC，然后根据二次函数的性质进行解答即可；
（3）∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，易证△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，设M（a，-2a2+4a+6），C（0，6），表示出DC，DM，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出a的值，得到点M、N的坐标；当点M位于点C的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，-2a2+4a+6），C（0，6），表示出EC，EM，同理可得点M、N的坐标.
23．（2022九下·南召开学考）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF.
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值.
【答案】（1）证明：如图，
，
；
，
，，
，
，，
，，
，，
四边形AFCD是平行四边形
在与中.
，
（2）解：，
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中.
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）解：延长BM、ED交于点G.
与均为等腰三角形，，
，
，
设，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
.
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线性质得∠AEB=∠DCE，∠ABE=∠DEC，∠1=∠2，易得 ， ，推出AB=AE，DE=DC，进而得到四边形AFCD是平行四边形，得到AF=CD，推出AF=DE，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质得BF=AD，结合AD=CF得BF=CF，由等腰三角形性质得∠FBC=∠FCB，根据∠FCB=∠2，∠1=∠2可得∠FBC=∠1，证明△EBF∽△EAB，然后根据相似三角形的性质即可求出EB；
（3）延长BM、ED交于点G，易证△ABE∽△DCE，设CE=1，BE=x，DC=DE=a，根据相似三角形对应边成比例得AB=AE=ax，AF=CD=a，EF=a(x-1)，根据平行线的性质可得∠3=∠G，利用AAS证明△MAB≌△MDG，得到DG=AB=ax，则EG=a(x+1)，证明△FAB∽△FEG，根据相似三角形的性质可得x的值，据此解答.
1 / 1河南省南阳市南召县2021-2022学年九年级下学期开学抽考数学试卷
一、单选题
1．（2020·济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九下·南召开学考）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．－5 D．－2
3．（2022九下·南召开学考）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，∠A＝40°，则∠DEB的度数为（ ）
A．50° B．100° C．70° D．80°
4．（2020·荆门）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为 ，将 沿直线 翻折，得到 ，过 作 垂直于 交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·南召开学考）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0
6．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度
为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A．
B．
C．
D．
7．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2022九下·南召开学考）看了《田忌赛马》故事后，数学兴趣小组用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6、4、2，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹等级 下等马 中等马 上等马
齐王 2 4 6
田忌 1 3 5
A． B． C． D．
9．（2020·随县）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·漳州期末）若sinA= ，则锐角∠A= °.
12．（2022九下·南召开学考）二次函数的图象与x轴无交点，写出一个满足条件的实数c的值为 .
13．（2022九下·南召开学考）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 .
14．（2022九下·南召开学考）△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝
15．（2022九下·南召开学考）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 .
三、解答题
16．（2022九下·南召开学考）
（1）计算：
（2）用公式法解方程：
17．（2022九下·南召开学考）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为6，求m的值.
18．（2022九下·南召开学考）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 90 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到），由此估出红球有 个.
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.
19．（2022九下·南召开学考）如图，⊙O的半径为4，点E在⊙O上，OE⊥弦AB，垂足为D，.
（1）求AB的长；
（2）若点C为⊙O上的一点（不与A，B重合），直接写出∠ACB的度数.
20．（2022九下·南召开学考）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
21．（2020·宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2022九下·南召开学考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.
23．（2022九下·南召开学考）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF.
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得Δ=a2-4×1×1>0，
解得a>2或a<-2.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意即可列出不等式，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=∠C=40°，
∴
∴∠DEB=∠AEC=100°.
故答案为：B.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠C=40°，利用内角和定理可得∠AEC的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
4．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可得AB=1，OB= ，
∵△ABC为直角三角形，
∴OA=2，
由翻折性质可得 =1， = ， =2，∠ =90°，
∵∠ +∠ =90°，∠ +∠ =90°，
∴∠ =∠ ，
∵ ⊥ ，∠ =90°，
∴△ ∽△ ，
∴ ，即
∴OC=4，
∴点C的坐标为（0，-4），
故答案为：C.
【分析】要求点C的坐标，分析题意只需求得OC的值即可。由轴对称的性质可得=AB=1，=OB=，=OA=2，由同角的余角相等可得∠ =∠ ，于是根据两个角对应相等的两个三角形相似可得△A OB ∽△OCA ，可得比例式，求出OC的值，则点C的坐标可求解
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是y轴，故选项B不合题意；
该函数开口向上，对称轴是y轴，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】令x=-1，求出y的值，据此判断A；根据二次函数的解析式可得对称轴，据此判断B；根据对称轴以及开口方向判断出函数的增减性，据此判断C；求出x=2、x=-1、x=0对应的函数值，据此判断D.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10，
在Rt△EFC， = =
即
，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
8．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为.
故答案为：B.
【分析】当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，列表法表示出当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况，找出总情况数以及对阵情况田忌能赢的情况数，然后利用概率公式进行计算.
9．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故答案为：C.
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为 ,面积为y=x· · = ,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为 ,面积为
y=(4－x)· · = ,
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为 ,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
11．【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：若sinA= ，则锐角∠A=60°，
故答案为：60.
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出∠A的度数.
12．【答案】1（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴无交点，
∴顶点(0，c)在x轴上方，
∴.
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（0，c），二次项的系数a=1＞0，图象开口向上，进而由图象与x轴无交点就可得到c的范围，据此解答.
13．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x-2022=0的两个实数根，
∴a2+a-2022=0，a+b=-1，
∴a2+a=2022，
∴=（a2+a）+（a+b）+1=2022-1+1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得a2+a=2022，根据根与系数的关系可得a+b=-1，待求式可变形为(a2+a)+(a+b)+1，据此计算.
14．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= .
故答案为：或.
【分析】分①△ABC∽△ADE，②△ABC∽△AED，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，
∵点E、F分别是AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，
∴
∵
∴
∵∠
∴△
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
故答案为：.
【分析】在AB上截取AQ=1，连接AP、PQ、CQ，由题意可得，证明△APQ∽△ABP，得到PQ=PB，则PB+PC=PQ+PC≥CQ，然后利用勾股定理求解即可.
16．【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：
这里
∴
∴，
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）第一项利用完全平方公式计算，第二项代入特殊锐角的三角函数值，同时进行二次根式的化简，第三项利用零指数幂的性质计算，然后利用平方差公式以及有理数的加减法法则进行计算；
（2）观察方程发现，此方程是一元二次方程的一般形式，先找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：
∴，
解得：，
∵m>0，
∴，
∵该方程的两个实数根的差为6，
∴，解得：.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明该方程根的判别式的值恒大于0即可；
（2）利用因式分解法可得方程的解，然后根据两个实数根的差为6即可求出m的值.
18．【答案】（1）0.33；2
（2）解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为：；
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球有x个，由题意得：
，
解得：x≈2，经检验：x=2是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
【分析】（1）根据频率估计概率的知识可得摸到白球的概率为0.33，设红球有x个，然后根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及摸到一个白球，一个红球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
19．【答案】（1）解：连接OA，
∵弦AB⊥OE，
∴AD=BD=AB，∠ODA=90°，
∴AD2+OD2=OA2
∴AD2=42-（2）2=4，
∴AD=2，
∴AB=4；
（2）解：∠ACB=30°或150°.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（2）分两种情况讨论：
情况一，在优弧上，连接OA，OB，如图1，
∵OD=2，OA=4，
∴由勾股定理得，，
∴∠AOD=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠C＝∠AOB＝×60°＝30°，
情况二，在劣弧上，
∠ACB=180°-30°=150°，
综上所述，∠ACB=30°或150°.
【分析】（1）连接OA，根据垂径定理可得AD=BD=AB，∠ODA=90°，然后利用勾股定理求出AD，进而可得AB；
（2）情况一：在优弧上，连接OA，OB，由勾股定理求出AD，得∠AOD=30°，∠AOB=60°，然后根据圆周角定理可得∠C的度数；情况二：在劣弧上，根据圆内接四边形的性质可得∠ACB的度数.
20．【答案】解：∵CM=3，OC=5，
∴OM==4，
∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴，即，
∴，
∴tan∠AOD=tan70°=，
即，
解得：AB=6，
∴汽车从A处前行6米才能发现C处的儿童.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先由勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，根据相似三角形的性质可得BD，然后根据∠AOD的正切函数就可求出AB.
21．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为 （ ），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得： ，
∴y与x之间的函数表达式为 ；
（2）解：由题意得： ，
整理得 ，
解得 ，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）解：设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当 时，w最大值=800.
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）根据单件的利润乘以销售的数量=总利润可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.
22．【答案】（1）解：将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6.
（2）解：过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示.
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）.
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6.
设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴，
∴当时，△PBC面积取最大值，最大值为 .
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3.
（3）解：存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似.
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当 时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴ ，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时，
∴N（0，），
当时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴ ，
解得 ，
∴M（，），
此时N（0，）.
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或，△CMN与△OBC相似，
解得或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为，N（0，）或N（0，﹣）.
综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6中求出a、b的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，易得C（0，6），利用待定系数法求直线BC的解析式，设P（m，-2m2+4m+6），则F（m，-2m+6），表示出PF，根据三角形的面积公式可得S△PBC，然后根据二次函数的性质进行解答即可；
（3）∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，易证△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，设M（a，-2a2+4a+6），C（0，6），表示出DC，DM，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出a的值，得到点M、N的坐标；当点M位于点C的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，-2a2+4a+6），C（0，6），表示出EC，EM，同理可得点M、N的坐标.
23．【答案】（1）证明：如图，
，
；
，
，，
，
，，
，，
，，
四边形AFCD是平行四边形
在与中.
，
（2）解：，
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中.
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）解：延长BM、ED交于点G.
与均为等腰三角形，，
，
，
设，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
.
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线性质得∠AEB=∠DCE，∠ABE=∠DEC，∠1=∠2，易得 ， ，推出AB=AE，DE=DC，进而得到四边形AFCD是平行四边形，得到AF=CD，推出AF=DE，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质得BF=AD，结合AD=CF得BF=CF，由等腰三角形性质得∠FBC=∠FCB，根据∠FCB=∠2，∠1=∠2可得∠FBC=∠1，证明△EBF∽△EAB，然后根据相似三角形的性质即可求出EB；
（3）延长BM、ED交于点G，易证△ABE∽△DCE，设CE=1，BE=x，DC=DE=a，根据相似三角形对应边成比例得AB=AE=ax，AF=CD=a，EF=a(x-1)，根据平行线的性质可得∠3=∠G，利用AAS证明△MAB≌△MDG，得到DG=AB=ax，则EG=a(x+1)，证明△FAB∽△FEG，根据相似三角形的性质可得x的值，据此解答.
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