湖南省长沙市雅礼实验中学2021-2022学年八年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．（2021八上·江油期末）下列四个图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：ABD、竖直方向都有一条对称轴，是轴对称图形，不符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴。
2．（2022八下·长沙开学考）分式的值为0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵的值为0，
∴，
解得，a＝﹣1.
故答案为：B.
【分析】根据分式值为0的条件“分子＝0，且分母≠0”可得a+1=0且a-1≠0，联立求解即可.
3．（2022八下·长沙开学考）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、x2＋9不能分解，所以A选项不符合题意；
B、x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3），所以B选项符合题意；
C、3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y＋1），所以C选项不符合题意；
D、x2＋2x﹣1在有理数范围内不能分解，所以D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】x2＋9、x2＋2x-1不能分解，据此判断A、D；利用十字相乘法可判断B；对C中的式子提取3即可判断.
4．（2020八上·滨州期末）如果把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得： x和y都扩大3倍，那么分式的值 为.
故答案为：A.
【分析】按照题目中字母改变后的值计算即可。
5．（2021八下·垦利期末）下列计算正确的是（ ）
A． ＝﹣5 B．4 ﹣3 ＝1
C． × ＝ D． ÷ ＝9
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ＝5，故此选项不符合题意；
B、4 ﹣3 ＝ ，故此选项不符合题意；
C、 × ＝ ，故此选项符合题意；
D、 ÷ ＝3，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减和二次根式的乘除逐项判定即可。
6．（2022八下·长沙开学考）如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD，如图
∵DE是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD=12
∴∠DBE=∠A=30°
∵，
∴∠ABC=90° ∠A=60°
∴∠CBD=∠ABC ∠DBE=30°
∴
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可得BD=AD=12，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠A=30°，根据三角形的内角和定理及角的和差得∠ABC=60°，∠CBD=30°，接下来根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
7．（2020八下·石家庄开学考）“双11”前，小明的妈妈花了120元钱在淘宝上购买了一批室内拖鞋，在“双11”大减价期间她发现回款的拖鞋单价每双降了5元，于是又花了100元钱购买了一批回款室内拖鞋，且比上次还多了2双．若设拖鞋原价每双为x元，则可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设拖鞋原价每双为x元，
依题意得：
故答案为：D.
【分析】根据题意，由等量关系式，列出分式方程，得到答案即可。
8．（2021·铁锋模拟）如果关于 的分式方程 无解，那么 的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解关于 的分式方程 ，
去分母得m+2x=x-2，
移项得x=-2-m，
分式方程 无解，
x=2，
即-2-m=2，
m=-4，
故答案为：B．
【分析】先利用分式方程的计算方法求出分式方程的解，再根据题意方程无解，代入计算即可。
9．（2022八下·长沙开学考）若， ， ，则a，b，c的大小关系式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数大小比较；同底数幂的乘法；平方差公式及应用；零指数幂；积的乘方
【解析】【解答】解：，
，
，
∵，
∴c＜b＜a.
故答案为：C.
【分析】根据任何一个不为0的数的0次幂都等于1得a的值，根据平方差公式可将b变形为(2018-1)(2018+1)-20182，据此求出b，由积的乘方及同底数幂的乘法的逆运算得c=，据此求出c，然后进行比较即可.
10．（2020八上·江都月考）已知：如图在 ， 中， ， ， ，点C，D，E三点在同一条直线上，连接 ， .以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中结论正确的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；④∵∠ABD+∠DBC=45°，∠DAC+∠DCA=45°，∠ABD=∠ACD，
∴∠DAC=∠DBC，故本结论正确，
综上所述，正确的个数有4个，
故答案为：D.
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△AEC，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；④由∠ABD+∠DBC=45°，∠DAC+∠DCA=45°，∠ABD=∠ACD，推出∠DAC=∠DBC即可证明；
二、填空题
11．（2022八下·长沙开学考）在中，的取值范围为 .
【答案】x>-3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x+6>0，
解得：x>-3.
故答案为：x>-3.
【分析】根据分式的分母不能为0及二次根式的被开方数不能为负数可得2x+6>0，求解即可.
12．（2020九上·南岗期末）把多项式 分解因式的结果是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2b-18b=2b（a2-9）=2b（a+3）（a-3），
故答案为：2b（a+3）（a-3）．
【分析】先提取公因式2b，再利用平方差公式因式分解即可。
13．（2022八下·长沙开学考）已知a-＝3，则a2+的值是 .
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： a-＝3，
，
，
a2+.
故答案为：11.
【分析】对已知条件进行平方可得a2+-2=9，据此计算.
14．（2022八下·长沙开学考）已知，则的值为 .
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由已知，得：，即，
∴.
故答案为：.
【分析】对已知条件进行通分并去分母可得n-m=6mn，然后代入待求式中计算即可.
15．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
16．（2022八下·长沙开学考）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是 .
【答案】
【知识点】整式的混合运算；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化简得：，
∴.
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，根据三角形的面积公式可得S△DGI，S△MNC，根据S△KMD=S△BCD-S△DMC-S△DKA-S△KBM可得S△KMD，然后表示出S1、S2，接下来根据S1=6S2就可得到 的值.
三、解答题
17．（2022八下·长沙开学考）计算：.
【答案】解：
=.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质分别化简，然后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．（2022八下·长沙开学考）先化简，再求值：，其中a＝2+.
【答案】解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝时，
原式＝.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
19．（2022八下·长沙开学考）解方程：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：去分母得：4x=x+6，
解得：x=2，
检验：把x=2代入x(x+6) ≠0，
∴x=2是原方程的根；
（2）解：
解：去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x-1)(x+2)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）首先给方程两边同时乘以x(x+6)将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可；
（2）首先给方程两边同时乘以(x-1)(x+2)将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
20．（2022八下·长沙开学考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简.
【答案】解：由题可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，
∴
=|a|+|a+b|-|b-a|
=-a-a-b-b+a
=-a-2b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴可得a<0|b|，判断出a+b、b-a的正负，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再合并合并同类项化简即可.
21．（2018八上·蔡甸月考）已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC和AC上，并且CD=AE，连接AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M.
（1）求证：BE=AD
（2）若NE=2，MN=5，求AD的长
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°AB=CA ∠BAE=∠C，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD
∴BE=AD
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BND=∠CAD +∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠MBN=30°，
∴BN=2MN=2×5=10，
∴BE=12，
∴AD=12，
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的三边相等，每一个内角为60°，易证AB=CA ∠BAE=∠C=60°，再结合已知条件，利用SAS可证得△ABE≌△CAD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）根据全等三角形的对应角相等，易证∠ABE=∠CAD， 利用三角形外角的性质，可推出∠BND=60°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠NBM=30°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BN的长，根据BE=AD=BN+NE，就可得到AD的长。
22．（2022八下·长沙开学考）如图，点C为线段AB上一点，以线段AC为腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，点E为CD延长线上一点，且CE＝CB，连接AE，BD，点F为AE延长线上一点，连接BF，FD.
（1）①求证：△ACE≌△DCB；
②试判断BD与AF的位置关系，并证明；
（2）若BD平分∠ABF，当CD＝3DE，S△ADE，求线段BF的长.
【答案】（1）解：①∵以线段AC为腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD＝90°，CA＝CD，
又∵CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
②AF⊥BD，理由如下：
如图，延长BD交AF于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC＝∠EAC，
∵∠CBD＋∠CDB＝90°，
∴∠CBD＋∠EAC＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AF⊥BD；
（2）解：∵BD平分∠ABF，
∴∠ABH=∠FBH，
∵AF⊥BD，
∴∠AHB=∠FHB，
又∵BH=BH，
∴，
∴BF=BA，
∵CD＝3DE，S△ADE，
∴S△ACE×4=6，
∴S△DCB= S△ACE=6，
设DE=x，则CD=3x，CE=x+3x=4x，
∴BC=CE=4x，
∴，解得：x=1（负值舍去），
∴BA=3x+4x=7x=7，
∴BF=7.
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠BCD＝∠ACD＝90°，CA＝CD，由已知条件可知CB＝CE，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
②延长BD交AF于点H，根据全等三角形的性质可得∠BDC＝∠EAC，结合∠CBD＋∠CDB＝90°可得∠AHB＝90°，据此证明；
（2）根据角平分线的概念得∠ABH=∠FBH，根据垂直的概念得∠AHB=∠FHB=90°，利用ASA证明△AHB≌△FHB，得到BF=BA，根据题意可得S△DCB= S△ACE=6，设DE=x，则CD=3x，BC=CE=4x，然后根据三角形的面积公式就可求出x，进而可得BA、BF的值.
23．（2019九上·哈尔滨月考）某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）这个商店甲种零件每件售价为260元，乙种零件每件售价为190元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于2400元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
【答案】（1）解：设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验，x=150是分式方程的解，且正确，
则甲零件进价为： 元，
答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元．
（2）解：设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，
依题意得： ，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m的最小值为17．
答：该商店本次购进甲种零件至少是17个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，根据数量=总价÷单价，结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，根据总利润=单个利润×销售数量结合总获利大于2400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
24．（2022八下·长沙开学考）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式的和的形式.根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）假分式用分离常数法可化为 形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值.
【答案】（1）
（2）解：，
∵x2+1≥1，
∴0＜≤3，
∴2＜≤5；
（3）解：∵，
而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m-11+，
∴5x-1=5m-11，n-6=-（x+2），
∴m=x+2，n=-x+4，
∴m+n=6，mn=（x+2）（-x+4）=-x2+2x+8，
而m2+n2+mn=（m+n）2-mn=36-（-x2+2x+8）=x2-2x+28=（x-1）2+27，
∵（x-1）2≥0，
∴（x-1）2+27≥27，
∴当x=1时，m2+n2+mn最小值是27.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；数学思想
【解析】【解答】解：(1) ，
故答案为：；
【分析】（1）将分子变形为(x+4)+2，然后化简即可；
（2）对分式变形可得2+，然后根据偶次幂的非负性以及不等式的性质进行解答；
（3）同理可得 ， 结合题意可得5x-1=5m-11，n-6=-(x+2)， 表示出m、n，得到m+n、mn，然后根据m2+n2+mn=(m+n)2-mn表示出m2+n2+mn，结合偶次幂的非负性就可得到最小值.
25．（2022八下·长沙开学考）如图，平面直角坐标系中，已知，且a、b满足.
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，已知点F(1，0)，点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；
（3）如图2若点F(1，0)、C(0，3)，连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围.
【答案】（1）解：由题意得，a-2≥0，2-a≥0，
则a=2，
∴b=-1，
∴点A的坐标为（2，-1）；
（2）解：设AG与y轴交于点H，
∵F（1，0），点A的坐标为（2，-1），
∴OF=EF=AE=1，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴△OFH也为等腰直角三角形，且△AEF≌△HOF，
∴OH=OF，AF=HF，
∵点A、D关于x轴对称，
∴∠DOF=∠AOF，
∵∠DOG=∠HOE=90°，
∴∠HOG=∠DOF，
∴∠HOG=∠FOA，
在△OHG和△OFA中，
，
∴△OHG≌△OFA，
∴HG=FA，
∴AF：GF=1：2；
（3）解：∠ACO+∠FCO的值不变，为45°.理由如下：
作点F关于y轴的对称点G，过点A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，
由题意得，OG=OF=AH=1，OC=GH=3，
在△COG和△GHA中，
，
∴△COG≌△GHA（SAS），
∴GC=GA，∠GCO=∠AGH，
∴∠CGA为等腰直角三角形，
∴∠ACO+∠FCO=∠ACO+∠GCO=45°.
【知识点】二次根式有意义的条件；三角形全等的判定；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1） 根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2≥0，2-a≥0，求解可得a的值，进而可得b的值，据此可得点A的坐标；
（2）设AG与y轴交于点H，易得△AEF、△OFH为等腰直角三角形，且△AEF≌△HOF，根据全等三角形的对应边相等得OH=OF，AF=HF，根据轴对称的性质可得∠DOF=∠AOF，推出∠HOG=∠FOA，利用ASA证明△OHG≌△OFA，得到HG=FA，据此解答；
（3）作F关于y轴对称点G，过A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，则OG=OF=AH=1，OC=GH=3，利用SAS证明△COG≌△GHA，得到GC=GA，∠GCO=∠AGH，推出∠CGA为等腰直角三角形，据此计算.
1 / 1湖南省长沙市雅礼实验中学2021-2022学年八年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．（2021八上·江油期末）下列四个图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·长沙开学考）分式的值为0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
3．（2022八下·长沙开学考）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
4．（2020八上·滨州期末）如果把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变
5．（2021八下·垦利期末）下列计算正确的是（ ）
A． ＝﹣5 B．4 ﹣3 ＝1
C． × ＝ D． ÷ ＝9
6．（2022八下·长沙开学考）如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．（2020八下·石家庄开学考）“双11”前，小明的妈妈花了120元钱在淘宝上购买了一批室内拖鞋，在“双11”大减价期间她发现回款的拖鞋单价每双降了5元，于是又花了100元钱购买了一批回款室内拖鞋，且比上次还多了2双．若设拖鞋原价每双为x元，则可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·铁锋模拟）如果关于 的分式方程 无解，那么 的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
9．（2022八下·长沙开学考）若， ， ，则a，b，c的大小关系式（ ）
A． B． C． D．
10．（2020八上·江都月考）已知：如图在 ， 中， ， ， ，点C，D，E三点在同一条直线上，连接 ， .以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中结论正确的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2022八下·长沙开学考）在中，的取值范围为 .
12．（2020九上·南岗期末）把多项式 分解因式的结果是 ．
13．（2022八下·长沙开学考）已知a-＝3，则a2+的值是 .
14．（2022八下·长沙开学考）已知，则的值为 .
15．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
16．（2022八下·长沙开学考）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是 .
三、解答题
17．（2022八下·长沙开学考）计算：.
18．（2022八下·长沙开学考）先化简，再求值：，其中a＝2+.
19．（2022八下·长沙开学考）解方程：
（1）
（2）.
20．（2022八下·长沙开学考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简.
21．（2018八上·蔡甸月考）已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC和AC上，并且CD=AE，连接AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M.
（1）求证：BE=AD
（2）若NE=2，MN=5，求AD的长
22．（2022八下·长沙开学考）如图，点C为线段AB上一点，以线段AC为腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，点E为CD延长线上一点，且CE＝CB，连接AE，BD，点F为AE延长线上一点，连接BF，FD.
（1）①求证：△ACE≌△DCB；
②试判断BD与AF的位置关系，并证明；
（2）若BD平分∠ABF，当CD＝3DE，S△ADE，求线段BF的长.
23．（2019九上·哈尔滨月考）某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）这个商店甲种零件每件售价为260元，乙种零件每件售价为190元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于2400元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
24．（2022八下·长沙开学考）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式的和的形式.根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）假分式用分离常数法可化为 形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值.
25．（2022八下·长沙开学考）如图，平面直角坐标系中，已知，且a、b满足.
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，已知点F(1，0)，点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；
（3）如图2若点F(1，0)、C(0，3)，连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：ABD、竖直方向都有一条对称轴，是轴对称图形，不符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴。
2．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵的值为0，
∴，
解得，a＝﹣1.
故答案为：B.
【分析】根据分式值为0的条件“分子＝0，且分母≠0”可得a+1=0且a-1≠0，联立求解即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、x2＋9不能分解，所以A选项不符合题意；
B、x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3），所以B选项符合题意；
C、3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y＋1），所以C选项不符合题意；
D、x2＋2x﹣1在有理数范围内不能分解，所以D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】x2＋9、x2＋2x-1不能分解，据此判断A、D；利用十字相乘法可判断B；对C中的式子提取3即可判断.
4．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得： x和y都扩大3倍，那么分式的值 为.
故答案为：A.
【分析】按照题目中字母改变后的值计算即可。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ＝5，故此选项不符合题意；
B、4 ﹣3 ＝ ，故此选项不符合题意；
C、 × ＝ ，故此选项符合题意；
D、 ÷ ＝3，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减和二次根式的乘除逐项判定即可。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD，如图
∵DE是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD=12
∴∠DBE=∠A=30°
∵，
∴∠ABC=90° ∠A=60°
∴∠CBD=∠ABC ∠DBE=30°
∴
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可得BD=AD=12，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠A=30°，根据三角形的内角和定理及角的和差得∠ABC=60°，∠CBD=30°，接下来根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设拖鞋原价每双为x元，
依题意得：
故答案为：D.
【分析】根据题意，由等量关系式，列出分式方程，得到答案即可。
8．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解关于 的分式方程 ，
去分母得m+2x=x-2，
移项得x=-2-m，
分式方程 无解，
x=2，
即-2-m=2，
m=-4，
故答案为：B．
【分析】先利用分式方程的计算方法求出分式方程的解，再根据题意方程无解，代入计算即可。
9．【答案】C
【知识点】有理数大小比较；同底数幂的乘法；平方差公式及应用；零指数幂；积的乘方
【解析】【解答】解：，
，
，
∵，
∴c＜b＜a.
故答案为：C.
【分析】根据任何一个不为0的数的0次幂都等于1得a的值，根据平方差公式可将b变形为(2018-1)(2018+1)-20182，据此求出b，由积的乘方及同底数幂的乘法的逆运算得c=，据此求出c，然后进行比较即可.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；④∵∠ABD+∠DBC=45°，∠DAC+∠DCA=45°，∠ABD=∠ACD，
∴∠DAC=∠DBC，故本结论正确，
综上所述，正确的个数有4个，
故答案为：D.
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△AEC，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；④由∠ABD+∠DBC=45°，∠DAC+∠DCA=45°，∠ABD=∠ACD，推出∠DAC=∠DBC即可证明；
11．【答案】x>-3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x+6>0，
解得：x>-3.
故答案为：x>-3.
【分析】根据分式的分母不能为0及二次根式的被开方数不能为负数可得2x+6>0，求解即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2b-18b=2b（a2-9）=2b（a+3）（a-3），
故答案为：2b（a+3）（a-3）．
【分析】先提取公因式2b，再利用平方差公式因式分解即可。
13．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： a-＝3，
，
，
a2+.
故答案为：11.
【分析】对已知条件进行平方可得a2+-2=9，据此计算.
14．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由已知，得：，即，
∴.
故答案为：.
【分析】对已知条件进行通分并去分母可得n-m=6mn，然后代入待求式中计算即可.
15．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
16．【答案】
【知识点】整式的混合运算；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化简得：，
∴.
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，根据三角形的面积公式可得S△DGI，S△MNC，根据S△KMD=S△BCD-S△DMC-S△DKA-S△KBM可得S△KMD，然后表示出S1、S2，接下来根据S1=6S2就可得到 的值.
17．【答案】解：
=.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质分别化简，然后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．【答案】解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝时，
原式＝.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：去分母得：4x=x+6，
解得：x=2，
检验：把x=2代入x(x+6) ≠0，
∴x=2是原方程的根；
（2）解：
解：去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x-1)(x+2)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）首先给方程两边同时乘以x(x+6)将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可；
（2）首先给方程两边同时乘以(x-1)(x+2)将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
20．【答案】解：由题可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，
∴
=|a|+|a+b|-|b-a|
=-a-a-b-b+a
=-a-2b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴可得a<0|b|，判断出a+b、b-a的正负，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再合并合并同类项化简即可.
21．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°AB=CA ∠BAE=∠C，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD
∴BE=AD
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BND=∠CAD +∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠MBN=30°，
∴BN=2MN=2×5=10，
∴BE=12，
∴AD=12，
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的三边相等，每一个内角为60°，易证AB=CA ∠BAE=∠C=60°，再结合已知条件，利用SAS可证得△ABE≌△CAD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）根据全等三角形的对应角相等，易证∠ABE=∠CAD， 利用三角形外角的性质，可推出∠BND=60°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠NBM=30°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BN的长，根据BE=AD=BN+NE，就可得到AD的长。
22．【答案】（1）解：①∵以线段AC为腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD＝90°，CA＝CD，
又∵CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
②AF⊥BD，理由如下：
如图，延长BD交AF于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC＝∠EAC，
∵∠CBD＋∠CDB＝90°，
∴∠CBD＋∠EAC＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AF⊥BD；
（2）解：∵BD平分∠ABF，
∴∠ABH=∠FBH，
∵AF⊥BD，
∴∠AHB=∠FHB，
又∵BH=BH，
∴，
∴BF=BA，
∵CD＝3DE，S△ADE，
∴S△ACE×4=6，
∴S△DCB= S△ACE=6，
设DE=x，则CD=3x，CE=x+3x=4x，
∴BC=CE=4x，
∴，解得：x=1（负值舍去），
∴BA=3x+4x=7x=7，
∴BF=7.
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠BCD＝∠ACD＝90°，CA＝CD，由已知条件可知CB＝CE，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
②延长BD交AF于点H，根据全等三角形的性质可得∠BDC＝∠EAC，结合∠CBD＋∠CDB＝90°可得∠AHB＝90°，据此证明；
（2）根据角平分线的概念得∠ABH=∠FBH，根据垂直的概念得∠AHB=∠FHB=90°，利用ASA证明△AHB≌△FHB，得到BF=BA，根据题意可得S△DCB= S△ACE=6，设DE=x，则CD=3x，BC=CE=4x，然后根据三角形的面积公式就可求出x，进而可得BA、BF的值.
23．【答案】（1）解：设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验，x=150是分式方程的解，且正确，
则甲零件进价为： 元，
答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元．
（2）解：设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，
依题意得： ，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m的最小值为17．
答：该商店本次购进甲种零件至少是17个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，根据数量=总价÷单价，结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+4）个，根据总利润=单个利润×销售数量结合总获利大于2400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
24．【答案】（1）
（2）解：，
∵x2+1≥1，
∴0＜≤3，
∴2＜≤5；
（3）解：∵，
而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m-11+，
∴5x-1=5m-11，n-6=-（x+2），
∴m=x+2，n=-x+4，
∴m+n=6，mn=（x+2）（-x+4）=-x2+2x+8，
而m2+n2+mn=（m+n）2-mn=36-（-x2+2x+8）=x2-2x+28=（x-1）2+27，
∵（x-1）2≥0，
∴（x-1）2+27≥27，
∴当x=1时，m2+n2+mn最小值是27.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；数学思想
【解析】【解答】解：(1) ，
故答案为：；
【分析】（1）将分子变形为(x+4)+2，然后化简即可；
（2）对分式变形可得2+，然后根据偶次幂的非负性以及不等式的性质进行解答；
（3）同理可得 ， 结合题意可得5x-1=5m-11，n-6=-(x+2)， 表示出m、n，得到m+n、mn，然后根据m2+n2+mn=(m+n)2-mn表示出m2+n2+mn，结合偶次幂的非负性就可得到最小值.
25．【答案】（1）解：由题意得，a-2≥0，2-a≥0，
则a=2，
∴b=-1，
∴点A的坐标为（2，-1）；
（2）解：设AG与y轴交于点H，
∵F（1，0），点A的坐标为（2，-1），
∴OF=EF=AE=1，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴△OFH也为等腰直角三角形，且△AEF≌△HOF，
∴OH=OF，AF=HF，
∵点A、D关于x轴对称，
∴∠DOF=∠AOF，
∵∠DOG=∠HOE=90°，
∴∠HOG=∠DOF，
∴∠HOG=∠FOA，
在△OHG和△OFA中，
，
∴△OHG≌△OFA，
∴HG=FA，
∴AF：GF=1：2；
（3）解：∠ACO+∠FCO的值不变，为45°.理由如下：
作点F关于y轴的对称点G，过点A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，
由题意得，OG=OF=AH=1，OC=GH=3，
在△COG和△GHA中，
，
∴△COG≌△GHA（SAS），
∴GC=GA，∠GCO=∠AGH，
∴∠CGA为等腰直角三角形，
∴∠ACO+∠FCO=∠ACO+∠GCO=45°.
【知识点】二次根式有意义的条件；三角形全等的判定；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1） 根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2≥0，2-a≥0，求解可得a的值，进而可得b的值，据此可得点A的坐标；
（2）设AG与y轴交于点H，易得△AEF、△OFH为等腰直角三角形，且△AEF≌△HOF，根据全等三角形的对应边相等得OH=OF，AF=HF，根据轴对称的性质可得∠DOF=∠AOF，推出∠HOG=∠FOA，利用ASA证明△OHG≌△OFA，得到HG=FA，据此解答；
（3）作F关于y轴对称点G，过A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，则OG=OF=AH=1，OC=GH=3，利用SAS证明△COG≌△GHA，得到GC=GA，∠GCO=∠AGH，推出∠CGA为等腰直角三角形，据此计算.
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