编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 复数的概念及分类综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市松江二中高二期末）设有下面四个命题:
(1)若复数满足则
(2)若复数满足则
(3)若复数满足则
(4)若复数满足则
则正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·上海市曹杨中学高一月考）已知、为复数，有以下四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则、都是虚数.
其中真命题的序号是（ ）
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
3．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高三月考）设表示复数z的共轭复数，则与“复数z为实数”不等价的说法是（ ）
A． B．
C． D．(表示复数z的虚部)
4．（2021·上海市市西中学高二期中）已知关于的方程有实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海师范大学第二附属中学高二月考）设，，为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，，那么，且
6．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面对应的点位于第三象限 B．的虚部是
C． D．
7．（2021·上海·高一期末）若复数z满足，则关于复数z的说正确的是（ ）
A．复数z的实部为1 B．复数z的虚部为0
C．复数z的模长为l D．复数z对应的复平面上的点在第一象限
8．（2021·上海闵行·高一期末）若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
9．（2021·上海·华师大二附中高二月考）在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ）
A．若为实数，则 B．若，则为实数
C．若为实数，则为实数 D．若为实数，则为实数
10．（2021·上海静安·高二期末）已知复数z1、z2，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2021·上海·高一单元测试）已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
二、填空题
12．（2021·上海青浦·高二期末）设为复数，给出下列四个命题∶①若，则∶②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的序号是___________.
13．（2021·上海交大附中高二期中）若复数，，其中是虚数单位，则复数的虚部为___________.
14．（2021·上海浦东新·高二期中）已知复数(为虚数单位)，且是实数，则实数的值为________．
15．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知复数，，，若为纯虚数，则的值是______________．
16．（2021·上海中学高一期末）设复数，是实数，则，满足条件___________．
17．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）若，，其中为虚数单位，且，则实数___________.
18．（2021·上海市徐汇中学高二期末）设，复数，，若 是纯虚数，则a=______
19．（2021·上海市徐汇中学高二期末）已知复数，则复数 的虚部为______
20．（2021·上海·格致中学高二期中）已知复数（i为虚数单位，），若z为纯虚数，则实数a的值为______．
三、解答题
21．（2021·上海徐汇·高二期末）已知i为虚数单位，m为实数，复数．
（1）若为实数，求m的值；
（2）若为复数z的共轭复数，若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
22．（2021·上海市曹杨中学高一月考）（1）当为何值时，复数是①实数；②纯虚数；
（2）已知，为复数，为纯虚数，，且，求复数．
23．（2021·上海市第二中学高一月考）已知复数满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值．
24．（2021·上海宝山·高二期末）设关于复数x的方程.
（1）若，，，求复数x；
（2）设，，如果，且方程有实根，求复数a.
25．（2021·上海体育学院附属金山亭林中学高二期中）已知关于的实系数方程（）的两个根为、.
（1）若（），求实数和的值；
（2）若，求实数的值.
26．（2021·上海中学高一期末）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 复数的概念及分类综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市松江二中高二期末）设有下面四个命题:
(1)若复数满足则
(2)若复数满足则
(3)若复数满足则
(4)若复数满足则
则正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
设出复数，依次表示出，，令虚部为0，即可判断.
【详解详析】
设复数，则，对于(1),因为所以，则,故(1)正确；，因为所以或，当时，为纯虚数，故(2)不正确；因为所以，，故(3)正确；设，因为所以，当，显然满足条件，但，故(4)不正确，所以正确命题的个数为2.
故选B
【名师指路】
本题主要考查复数的概念、共轭复数、复数的四则运算，属于基础题.
2．（2021·上海市曹杨中学高一月考）已知、为复数，有以下四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则、都是虚数.
其中真命题的序号是（ ）
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
【标准答案】C
【思路指引】
利用特殊值法可判断①④的正误；利用共轭复数的定义以及复数相等可判断②的正误；利用复数的模的性质可判断③的正误.
【详解详析】
对于①，取，则，但错误，①错误；
对于②，设，则，
因为，则，可得，所以，，②正确；
对于③，，且，则，即，③正确；
对于④，取，，则为虚数，但、不全为虚数，④错误.
故选：C.
3．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高三月考）设表示复数z的共轭复数，则与“复数z为实数”不等价的说法是（ ）
A． B．
C． D．(表示复数z的虚部)
【标准答案】C
【思路指引】
根据复数的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解详析】
设复数，则，
对于A中，若，可得，解得，此时复数z为实数，符合题意；
对于B中，若，即，可得，此时复数z为实数，符合题意；
对于C中，若，即，解得，此时，不符合题意；
对于D中，若，即，此时复数z为实数，符合题意.
故选：C.
4．（2021·上海市市西中学高二期中）已知关于的方程有实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
设是方程的实数根，得，由复数相等列出方程组，解之即可求出结果.
【详解详析】
设是方程的实数根，则，即，由复数相等得，解得或，故，
故选：C.
5．（2021·上海师范大学第二附属中学高二月考）设，，为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，，那么，且
【标准答案】D
【思路指引】
举特例排除选项，利用正实数的性质判断正确.
【详解详析】
对于，反例，，满足，，但是不正确，所以不正确；
对于，反例，满足，但是，所以不正确；
对于，满足的复数对应的点的轨迹为点 与点 连线的中垂线，所以不正确；
对于，，显然为正实数，所以，且正确.
故选：
6．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面对应的点位于第三象限 B．的虚部是
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用复数除法运算化简，由此确定正确选项.
【详解详析】
，
对应点在第二象限，A错误.
虚部为，B错误.
，C正确.
，D错误.
故选：C
7．（2021·上海·高一期末）若复数z满足，则关于复数z的说正确的是（ ）
A．复数z的实部为1 B．复数z的虚部为0
C．复数z的模长为l D．复数z对应的复平面上的点在第一象限
【标准答案】A
【思路指引】
设，（），利用复数的乘法运算以及复数相等即可求解.
【详解详析】
设，（），则
由，
则，
即，
整理可得
，解得，
所以，复数z的实部为1，复数z的虚部不为0，复数z的模长不为l，复数z对应的复平面上的点在第四象限.
故选：A
8．（2021·上海闵行·高一期末）若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【标准答案】B
【思路指引】
根据当且时，复数z为纯虚数判断即可.
【详解详析】
解：根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，
反之，当复数z为纯虚数时，且
所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：B
9．（2021·上海·华师大二附中高二月考）在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ）
A．若为实数，则 B．若，则为实数
C．若为实数，则为实数 D．若为实数，则为实数
【标准答案】C
【思路指引】
根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为可以是实数也可以是虚数，由此可判断C的对错.
【详解详析】
设，则，
A．因为，所以，所以且，正确；
B．因为，所以，所以，正确；
C．为实数对（复数集）均满足，所以可以是实数，也可是虚数，错误.
D．因为为实数，所以，所以也是实数，所以为实数，正确.
故选C.
【名师指路】
复数判断的常用结论：
（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数；
（2）实数的共轭复数仍是实数；
（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.
10．（2021·上海静安·高二期末）已知复数z1、z2，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【标准答案】C
【思路指引】
若“或”， 则“”，显然成立
设，，推出或.
【详解详析】
若“或”， 则“”，
设，，
则，
平方：，
两式相加：
，
所以或，即“或”，
所以互为充要条件.
故选：C
11．（2021·上海·高一单元测试）已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
【标准答案】A
【思路指引】
设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.
【详解详析】
设，
因为，可得，
则，可得，所以复数的虚部是.
故选：A
【名师指路】
关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.
二、填空题
12．（2021·上海青浦·高二期末）设为复数，给出下列四个命题∶①若，则∶②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的序号是___________.
【标准答案】③
【思路指引】
利用特殊值法：①中令，即可判断正误；②中令即可判断正误；③中由有，即可判断正误；④令，即可判断正误.
【详解详析】
①当，时，成立，但，错误；
②当时，有，但不一定相等，错误；
③，即，故成立，正确；
④当，，此时，但，错误；
故答案为：③
13．（2021·上海交大附中高二期中）若复数，，其中是虚数单位，则复数的虚部为___________.
【标准答案】
【思路指引】
分别求得与再化简求解确定虚部即可.
【详解详析】
,,故，故虚部为.
故答案为：
14．（2021·上海浦东新·高二期中）已知复数(为虚数单位)，且是实数，则实数的值为________．
【标准答案】；
【思路指引】
首先根据题意得到，再根据是实数得到.
【详解详析】
为实数，
所以，即.
故答案为：
15．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知复数，，，若为纯虚数，则的值是______________．
【标准答案】
【思路指引】
根据复数的乘法运算计算，再令其实部等于，虚部不等于，即可求解.
【详解详析】
，
因为为纯虚数，
所以解得：，
故答案为：
16．（2021·上海中学高一期末）设复数，是实数，则，满足条件___________．
【标准答案】且
【思路指引】
化简，再由是实数，虚部为，分母不为化简，即可得答案.
【详解详析】
由题意，是实数，即为实数，可得且，即且.
故答案为：且.
17．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）若，，其中为虚数单位，且，则实数___________.
【标准答案】
【思路指引】
先求解，利用复数的乘法运算计算可得，即，求解即可
【详解详析】
由题意，，故
故
故，即
故答案为：
18．（2021·上海市徐汇中学高二期末）设，复数，，若 是纯虚数，则a=______
【标准答案】
【思路指引】
利用复数的除法运算化简求出，再根据纯虚数的定义即可求出.
【详解详析】
因为，，
则，
因为 是纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
19．（2021·上海市徐汇中学高二期末）已知复数，则复数 的虚部为______
【标准答案】3
【思路指引】
根据复数的除法运算法则，计算出复数的值，然后求出复数的共轭复数，最后写出的虚部.
【详解详析】
，
，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
20．（2021·上海·格致中学高二期中）已知复数（i为虚数单位，），若z为纯虚数，则实数a的值为______．
【标准答案】
【思路指引】
将化简的形式，为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，由此可求得结果.
【详解详析】
由为纯虚数，可知
故答案为：
三、解答题
21．（2021·上海徐汇·高二期末）已知i为虚数单位，m为实数，复数．
（1）若为实数，求m的值；
（2）若为复数z的共轭复数，若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由复数乘法法则化简后，由复数的分类求解；
（2）求出，得出对应点的坐标，由点在第四象限得不等式，从而求得的范围．
【详解详析】
（1）是实数，
则，；
（2），它对应的点在第四象限，
所以，解得．即的范围是．
22．（2021·上海市曹杨中学高一月考）（1）当为何值时，复数是①实数；②纯虚数；
（2）已知，为复数，为纯虚数，，且，求复数．
【标准答案】（1）①；②或；（2）或.
【思路指引】
（1）根据复数为实数或纯虚数列式，由此求得的值.
（2）设出，求得的表达式，根据已知条件列方程，由此求得.
【详解详析】
（1）①当为实数时，.
②当为纯虚数时，或.
（2）设，
为纯虚数，所以，
，
，
所以，所以或.
23．（2021·上海市第二中学高一月考）已知复数满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值．
【标准答案】（1）i或i；（2）．
【思路指引】
（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可．
（2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出
【详解详析】
（1）设i，
由复数满足，的虚部为2．
可得，解得或，
故i或i；
（2）当i时，i，i，
所以，，，
所以，，.
24．（2021·上海宝山·高二期末）设关于复数x的方程.
（1）若，，，求复数x；
（2）设，，如果，且方程有实根，求复数a.
【标准答案】（1）；（2）或.
【思路指引】
(1)把给定值代入方程，利用配方法解方程即得；
(2)设出复数a的代数形式并代入方程，化简整理，借助复数为0列式，结合进行分析求解即得.
【详解详析】
（1）若，，，则原方程为，
即，解得，
所以复数；
（2）由已知可得，原方程为，
设，且方程的实根为，
而，即，
又，整理得，
因，从而得，
若，则，解得，
当时，方程无实数解，当时，方程有实数解，
于是得，
若，则由可知：或2，
由方程知：，则有，代入得：，解得，
又因，即得，于是有，
综上，复数或.
25．（2021·上海体育学院附属金山亭林中学高二期中）已知关于的实系数方程（）的两个根为、.
（1）若（），求实数和的值；
（2）若，求实数的值.
【标准答案】（1），；（2）或.
【思路指引】
（1）将代入原方程，化简整理，根据复数相等的充要条件，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）根据韦达定理，得到，讨论和两种情况，分别求解，结合题中条件，分别求解，即可得出结果.
【详解详析】
（1）由题意，将代入方程可得，
即，整理得，
所以，解得或，
又，所以，；
（2）由题意可得，，；
当，即或时，，
解得；
当，即时，由得，
解得，则，解得；
综上或.
26．（2021·上海中学高一期末）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
【标准答案】（1）；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）根据新定义求得向量，然后由数量积的坐标表示计算；
（2）根据新定义得变换后新三角形与原三角形相似，得相似比，从而得面积比；
（3）根据新定义，得出的坐标（用表示），然后由三角形面积计算可得．
【详解详析】
（1）由题意，，所以，同理，
所以；
（2）由（1）知，，
所以，所以与的三边成比例，比值为，
所以；
（3）由（1）知，，，
，所以，，，
所以．
【名师指路】
本题考查向量与复数的新定义，解题关键是由新定义得出原来点的坐标和新点坐标的关系，从而得出向量的关系，变换后的三角形与原三角形相似，而利用变换后点的坐标结合三角形面积易得原坐标．
