编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 复数的几何意义易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市金山中学高一期末）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】D
【思路指引】
利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得结论.
【详解详析】
因为，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2．（2021·上海·高一期末）已知复数，（为虚数单位），在复平面内，对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】B
【思路指引】
利用复数的减法求出复数，即可得出复数对应的点所在的象限.
【详解详析】
复数，，，
因此，复数在复平面内对应的点在第二象限.
故选B.
【名师指路】
本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
3．（2021·上海市建平中学高一期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】D
【思路指引】
设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可.
【详解详析】
复数满足条件，所以可设
所以
所以
因为，所以，所以，
所以对应复平面上的点位于第四象限.
故选：D
4．（2021·上海·曹杨二中高一期末）若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】D
【思路指引】
由复数运算可求得，由此可得对应点的坐标，从而确定结果.
【详解详析】
，，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
5．（2021·上海·高一期末）在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为（ ）
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
【标准答案】A
【思路指引】
由向量对应的复数得到向量的坐标，根据向量间的线性关系求的坐标，写出其对应的复数即可.
【详解详析】
由题意，，
∵，
∴对应的复数为1－2i.
故选：A.
6．（2021·上海·高一期末）设，其中，则下列命题中正确的是（ ）
A．复数z可能为纯虚数
B．复数z可能是实数
C．复数z在复平面上对应的点在第一象限
D．复数z在复平面上对应的点在第四象限
【标准答案】C
【思路指引】
根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.
【详解详析】
因为，，
故ABD均错误，C正确.
故选：C.
7．（2021·上海·华师大二附中高三月考）已知欧拉公式(i为虚数单位),则根据欧拉公式表示的复数在复平面位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】B
【思路指引】
表示的复数为：，根据即可得出结论.
【详解详析】
由题意可得，
，，
因此在复平面中位于第二象限.
故选：B
【名师指路】
本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号，属于基础题.
8．（2021·上海奉贤·高二期末）在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】D
【详解详析】
试题分析：由复数的几何意义作出相应判断．
解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D．
点评：本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．
9．（2021·上海·高一期末）若复数z满足，则关于复数z的说正确的是（ ）
A．复数z的实部为1 B．复数z的虚部为0
C．复数z的模长为l D．复数z对应的复平面上的点在第一象限
【标准答案】A
【思路指引】
设，（），利用复数的乘法运算以及复数相等即可求解.
【详解详析】
设，（），则
由，
则，
即，
整理可得
，解得，
所以，复数z的实部为1，复数z的虚部不为0，复数z的模长不为l，复数z对应的复平面上的点在第四象限.
故选：A
10．（2021·上海市徐汇中学高二期末）设复数对应的向量分别是、，则下列判断中，不正确的个数是（ ）
① 复数对应的向量是 ② 若，则
③ 若向量、的夹角为，则 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
依题意设，，再根据复数的运算性质及平面向量的运算一一判断即可；
【详解详析】
解：设，，所以，，所以，，所以复数对应的向量是，故①正确；
若，即，所以，即，故②正确；
，所以，而，所以，故④错误；依题意，故③错误；
故选：B
二、填空题
11．（2021·上海市市西中学高二期中）设复数，则复数与它的共轭复数对应的两个向量的夹角是_________.
【标准答案】
【思路指引】
结合复数的几何意义，分别求出复数和复数对应的向量，再结合平面向量的夹角公式即可求出结果.
【详解详析】
因为，所以复数对应的向量为，而，所以复数对应的向量为，设两向量的夹角为，则，因为，所以，
故答案为：.
12．（2021·上海市市西中学高二期中）设，若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则的取值范围是_________.
【标准答案】
【思路指引】
根据复平面各象限的复数的特征，得，解不等式组得概念即可求出结果.
【详解详析】
因为复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以，解得，
故答案为：.
13．（2021·上海市实验学校高一期末）在复平面上复数、0、所对应的点分别是、、，则平行四边形的对角线的长为_____________
【标准答案】
【思路指引】
首先根据题意得到，，，设，根据中点坐标公式得到，再求的长度即可.
【详解详析】
由题知：，，，
则的中点为，设，
则，即，
，
故答案为：
14．（2021·上海市建平中学高二期末）已知，则对应的点位于复平面的第________象限．
【标准答案】四
【思路指引】
根据题意得，结合是第四象限角，判断出，即可求出结果.
【详解详析】
由题意得，因为是第四象限角，所以，而对应的点是在第四象限，
故答案为：四.
15．（2021·上海市第五十四中学高二月考）在复平面内，，分别对应点，则线段的中点所对应的复数为________.
【标准答案】
【思路指引】
首先根据复数的几何意义求出的坐标，再根据中点坐标公式求出点坐标，从而得解；
【详解详析】
解：复数，在复平面内所对应的点分别为，，所以的中点的坐标为，所以所对应的复数为；
故答案为：
16．（2021·上海市南洋模范中学高二月考）设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
【标准答案】
【思路指引】
将复数表示为三角的形式，可得出的三角表示，根据可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值.
【详解详析】
因为，
将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，
则，
因为，所以，，所以，，
所以，，当时，取得最小值.
故答案为：.
17．（2021·上海市大同中学高二月考）在复平面内，三点、、分别对应复数、、，若，则的三边长之比为________
【标准答案】3：4：5
【思路指引】
设、对应的复数，计算对应的复数，从而得出，再根据与的比值得出答案.
【详解详析】
设表示的复数为，表示的复数为，
则，
所以，，
所以表示的复数为，
所以，
所以,
又，所以，
又,则，
所以的三边长之比为：,
故答案为：.
【名师指路】
本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题.
18．（2021·上海·位育中学高三月考）已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________
【标准答案】
【思路指引】
先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域，再确定集合所对应的平面区域，由复数，可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.
【详解详析】
因为复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域；
又，设，且,,，
所以，设对应的点为，
则，所以，又,，所以，
因为复数，对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，
由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.
由得，由得，
所以.
故答案为
【名师指路】
本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.
19．（2021·上海市延安中学高二期末）已知复数z满足，则的最小值是__________
【标准答案】
【思路指引】
由复数的几何意义及给定等式的特点，是复平面内的一条线段，求出线段上的点与点(1，0)距离最小值得解.
【详解详析】
由复数几何意义知，在复平面内，与分别表示复数z对应点M到定点A(0，3)与B(-2，0)的距离，
而，于是有，动点M在线段AB上，如图：
表示定点C(1，0)到动点M的距离，是锐角三角形，
点C到线段AB上动点M的距离最小值即是AB边上的高CD，
，由，
所以的最小值是.
故答案为：.
【名师指路】
结论点睛：是两个复数，的几何意义是：复平面内，表示复数对应点与表示复数对应点的两点间距离.
20．（2021·上海·高一期末）在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_____________.
【标准答案】或
【思路指引】
根据复数的几何意义 由，得到，点的坐标为，设点的坐标为，再根据三角形是以为斜边的等腰直角三角形，则有，再运算求解..
【详解详析】
因为，
所以，点的坐标为.
设点的坐标为，
则.
由题意得，，
所以，
解得或，
所以复数或.
故答案为：或.
【名师指路】
本题主要考查了复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
21．（2021·上海宝山·高一期末）已知，i是虚数单位，在复平面上对应的点分别A、B．
（1）若是实数，求的最小值：
（2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角．
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
（1）由是实数得，即，再由，结合二次函数的性质即可求解；
（2）由点C在y轴上和可求得，进而有，，再用向量夹角的坐标公式求解即可
【详解详析】
（1），
由是实数得，，即
，
，
当时，；
（2），
又点C在y轴上，则，即，
由得，，即，所以，
，
,
所以与的夹角为：
22．（2021·上海松江·高一期末）已知复数，（，是虚数单位）．
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
【标准答案】（1）；（2）13.
【思路指引】
（1）由复数的减法求，根据其所在的象限可得，即可求的范围；
（2）由是实系数一元二次方程的根，则也是它的根，进而可知，即可求.
【详解详析】
（1）．
∵在复平面内对应的点落在第一象限，
∴，解得：．
∴实数的取值范围是；
（2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，．
∴也是实系数一元二次方程的根，
∴，可得.
∴的值为13.
23．（2021·上海·曹杨二中高一期末）已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若一根为，求，的值；
（2）若存在模为1的虚数根，求，满足的条件；
（3）设，是虚数根，记，， 在复平面上对应点分别为，B，，求的值．
【标准答案】（1），；（2），；（3）.
【思路指引】
（1）依题意知方程的两根为，，由根与系数关系可得结果；
（2）设模为1的虚根为，，，且，则方程的两根为，，由根与系数关系可得，，进而可得结果；
（3）求出方程的虚数根，结合复数的运算得到的坐标，进而可得结果.
【详解详析】
（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，，
所以，解得，.
（2）设模为1的虚根为，，，且，
则实系数一元二次方程的两根为，，
所以，解得，.
又，所以，故，.
（3）若，则方程的根为，.
若，则，，则，，.
所以；
若，则，，则，，.
所以.
故.
24．（2021·上海南汇中学高一期末）已知复数使得，，其中是虚数单位.
（1）求复数的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
(1)根据、，结合复数的加法、除法运算即可求出，进而由共轭复数的概念求得；(2) 复数在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得的范围
【详解详析】
（1）设，则
∵
∴
又，
∴
综上，有
∴
（2）∵为实数，且
∴由题意得，解得
故，实数的取值范围是
【名师指路】
本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围
25．（2021·上海市曹杨中学高一月考）已知复数满足，的虚部为2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
【标准答案】（1）或；（2）
【思路指引】
（1）设出,根据题意可得,求解即可；
（2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可
【详解详析】
（1）设,由题,可得,,
的虚部为2
则 或
故或
（2）由（1）可知,即为,
当时,即为,,此时,即为,
当时,即为,,此时,即为,
综上,
【名师指路】
本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 复数的几何意义易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市金山中学高一期末）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021·上海·高一期末）已知复数，（为虚数单位），在复平面内，对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021·上海市建平中学高一期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．（2021·上海·曹杨二中高一期末）若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．（2021·上海·高一期末）在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为（ ）
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
6．（2021·上海·高一期末）设，其中，则下列命题中正确的是（ ）
A．复数z可能为纯虚数
B．复数z可能是实数
C．复数z在复平面上对应的点在第一象限
D．复数z在复平面上对应的点在第四象限
7．（2021·上海·华师大二附中高三月考）已知欧拉公式(i为虚数单位),则根据欧拉公式表示的复数在复平面位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2021·上海奉贤·高二期末）在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2021·上海·高一期末）若复数z满足，则关于复数z的说正确的是（ ）
A．复数z的实部为1 B．复数z的虚部为0
C．复数z的模长为l D．复数z对应的复平面上的点在第一象限
10．（2021·上海市徐汇中学高二期末）设复数对应的向量分别是、，则下列判断中，不正确的个数是（ ）
① 复数对应的向量是 ② 若，则
③ 若向量、的夹角为，则 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021·上海市市西中学高二期中）设复数，则复数与它的共轭复数对应的两个向量的夹角是_________.
12．（2021·上海市市西中学高二期中）设，若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则的取值范围是_________.
13．（2021·上海市实验学校高一期末）在复平面上复数、0、所对应的点分别是、、，则平行四边形的对角线的长为_____________
14．（2021·上海市建平中学高二期末）已知，则对应的点位于复平面的第________象限．
15．（2021·上海市第五十四中学高二月考）在复平面内，，分别对应点，则线段的中点所对应的复数为________.
16．（2021·上海市南洋模范中学高二月考）设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
17．（2021·上海市大同中学高二月考）在复平面内，三点、、分别对应复数、、，若，则的三边长之比为________
18．（2021·上海·位育中学高三月考）已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________
19．（2021·上海市延安中学高二期末）已知复数z满足，则的最小值是__________
20．（2021·上海·高一期末）在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_____________.
三、解答题
21．（2021·上海宝山·高一期末）已知，i是虚数单位，在复平面上对应的点分别A、B．
（1）若是实数，求的最小值：
（2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角．
22．（2021·上海松江·高一期末）已知复数，（，是虚数单位）．
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
23．（2021·上海·曹杨二中高一期末）已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若一根为，求，的值；
（2）若存在模为1的虚数根，求，满足的条件；
（3）设，是虚数根，记，， 在复平面上对应点分别为，B，，求的值．
24．（2021·上海南汇中学高一期末）已知复数使得，，其中是虚数单位.
（1）求复数的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
25．（2021·上海市曹杨中学高一月考）已知复数满足，的虚部为2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
