编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第9章 复数单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海·高一单元测试）若复数对应的点是，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
3．（2021·上海·高一课时练习）已知，则的幅角主值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若为实数，且，则；③若，且，则一定为实数．其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．（2021·上海虹口·二模）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021·上海·曹杨二中高二期末）设若、、为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2021·上海·曹杨二中高二月考）方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实根 B．有一对共轭虚根
C．有两个虚根 D．有一个实根和一个虚根
9．（2021·上海交大附中高一期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2021·上海奉贤·一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
二、填空题
11．（2021·上海·高一期末）设复数z满足，则___________.
12．（2021·上海交大附中高一期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
13．（2021·上海·曹杨二中高二期末）在复数范围内方程的解集为______．
14．（2021·上海徐汇·高二期末）已知p、q都是实数，i是关于的方程的一个根，则的值为____________
15．（2021·上海·曹杨二中高二月考）为求方程的虚根，可以把原方程变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为_____．
16．（2021·上海中学高一期末）已知，则的取值范围是__________．
17．（2021·上海·模拟预测）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
18．（2021·上海普陀·模拟预测）复数（为虚数单位），则__．
19．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）已知复数满足，则z=_________.
20．（2021·上海长宁·一模）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）
三、解答题
21．（2021·上海·高一月考）设，．
（1）求证：是纯虚数；
（2）求的取值范围．
22．（2021·上海青浦·高二期末）已知是实系数一元二次方程的两个虚数根， 且满足方程.
（1）求和；
（2）写出一个以和为根的实系数一元二次方程.
23．（2021·上海虹口·高二期末）（1）在复数范围内解方程：为虚数单位)；
（2）已知系数为整数的一元二次方程的一根为，求的最小值.
24．（2021·上海浦东新·高二期中）已知复数满足（为虚数单位），
（1）求复数；
（2）若，求的取值范围．
25．（2021·上海·曹杨二中高二月考）（1）在复数集中解关于的方程：；
（2）在复数集中解方程：．
26．（2021·上海·曹杨二中高二月考）已知关于的方程的两根为，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）求的值．
27．（2021·上海·高一课时练习）已知O为坐标原点，向量 分别对应复数，，且，，若是实数.
（1）求实数a的值；
（2）求以 为邻边的平行四边形的面积.
28．（2021·上海市徐汇中学高二期末）已知复数满足，是关于的方程的一个根，求方程的另一个根和的值
29．（2021·上海市徐汇中学高二期末）设、是关于x的方程x22kx+(2k+1)=0(k∈R+)的两个根
（1）若||=2，求实数k的值
（2）若||+||=2，求实数k的值
30．（2021·上海市建平中学高一期末）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.
（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；
（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
第9章 复数单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用复数的四则运算法则，化简得到复数，进而求得复数的模.
【详解详析】
因为，
所以.
故选：D.
【名师指路】
关键点点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题的关键是熟练掌握复数的运算法则，以及复数模的公式.
2．（2021·上海·高一单元测试）若复数对应的点是，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
【标准答案】B
【思路指引】
由题得，代入化简即得解.
【详解详析】
由题得.
故选：B
3．（2021·上海·高一课时练习）已知，则的幅角主值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
运用复数除法得到复数的代数标准式，再利用复数的三角式公式得解
【详解详析】
设辅角为，则 又
故选：D
4．（2021·上海·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据复数的除法运算化简，转化为复数的三角形式，即可求解.
【详解详析】
因为，
所以，
化为三角形式可得：，
所以，
故选：C
5．（2021·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若为实数，且，则；③若，且，则一定为实数．其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【标准答案】B
【思路指引】
设，，利用复数的模的公式结合复数的有个概念判断出结果.
【详解详析】
设，
：，，则若，则，正确；
：若为实数，且，则，错误；
：若，且，则，则，则一定为实数，正确；
综上，真命题的个数为2，
故选：B.
6．（2021·上海虹口·二模）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
设,代入方程得整理得，在结合方程有实数根得，进而分和两种情况求解即可.
【详解详析】
设,因为,所以,
所以将代入方程整理
，
因为关于的方程有实根，
所以
所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；
当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.
综上，或.
故这样的复数的个数为个.
故选：C
【名师指路】
本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于设，进而根据题意得，即，进而求解.
7．（2021·上海·曹杨二中高二期末）设若、、为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【标准答案】C
【思路指引】
取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
【详解详析】
由复数模的概念可知，不能得到，
例如，A错误；
由可得，若，则不一定成立，
即不一定成立，B错误；
因为，，而，
所以，所以，C正确；
取，显然满足，但，D错误.
故选：C
8．（2021·上海·曹杨二中高二月考）方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实根 B．有一对共轭虚根
C．有两个虚根 D．有一个实根和一个虚根
【标准答案】C
【思路指引】
首先由韦达定理，可直接判断AB选项，再设有一个实根，变形方程，可判断CD选项.
【详解详析】
解：设，为方程的两根，
由韦达定理得，，显然AB错误，
若为实数，则，
故，此方程无解，
故排除D，只能选C．
故选：C
9．（2021·上海交大附中高一期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.
【详解详析】
由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
10．（2021·上海奉贤·一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
【标准答案】C
【思路指引】
先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.
【详解详析】
，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
二、填空题
11．（2021·上海·高一期末）设复数z满足，则___________.
【标准答案】
【思路指引】
根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.
【详解详析】
设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故答案为：.
【名师指路】
结论点睛：复数的几何意义：
（1）复数复平面内的点；
（2）复数 平面向量.
12．（2021·上海交大附中高一期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.
【详解详析】
由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案为：.
13．（2021·上海·曹杨二中高二期末）在复数范围内方程的解集为______．
【标准答案】
【思路指引】
首先设复数，再代入方程，根据实部和虚部都是0，建立方程，即可求解.
【详解详析】
设，，
，即，
即，
当时，，解得：，此时，
当时，，解得：或（舍），
解得：或，此时或，
综上可知，复数的解集是.
故答案为：
14．（2021·上海徐汇·高二期末）已知p、q都是实数，i是关于的方程的一个根，则的值为____________
【标准答案】18
【思路指引】
由题得i+(i)=，(i)(i)=,即得解.
【详解详析】
由题得i是关于的方程的另外一个根，
所以i+(i)=，(i)(i)=,
所以.
所以.
故答案为：
15．（2021·上海·曹杨二中高二月考）为求方程的虚根，可以把原方程变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为_____．
【标准答案】或
【思路指引】
由，对比系数得，求得方程的虚根，从而即可得出结论．
【详解详析】
解：，
对比系数得，
解得，，
所以原方程的虚根为，，
故原方程的一个虚根的实部为，或．
故答案为：或．
16．（2021·上海中学高一期末）已知，则的取值范围是__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．
【详解详析】
由题意，
，，所以．
故答案为：．
17．（2021·上海·模拟预测）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
【标准答案】
【思路指引】
根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.
【详解详析】
不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而 ①，
又因为无实根，
所以 ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
18．（2021·上海普陀·模拟预测）复数（为虚数单位），则__．
【标准答案】
【思路指引】
根据复数的除法运算化简，再求出，利用复数的乘法运算计算即可求解.
【详解详析】
，则
，
故答案为：.
19．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）已知复数满足，则z=_________.
【标准答案】
【思路指引】
利用给定等式用表示出复数z，再进行复数除法运算即可得解.
【详解详析】
因复数满足，则，整理得，
则，
所以.
故答案为：
20．（2021·上海长宁·一模）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）
【标准答案】（2）（3）
【思路指引】
结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.
【详解详析】
，所以（1）错误.
，，所以（4）错误.
设，
.
，所以（2）正确.
，所以（3）正确.
故答案为：（2）（3）
三、解答题
21．（2021·上海·高一月考）设，．
（1）求证：是纯虚数；
（2）求的取值范围．
【标准答案】（1）证明见解析 ；（2） .
【思路指引】
（1）分析得出，利用复数的除法化简复数，可证得结论成立；
（2）分析得出，计算得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解详析】
（1）由题意可得，
所以，，
，则，因此，是纯虚数；
（2），
所以，，
因为，则，解得，，则，
所以，，因此，.
【名师指路】
关键点点睛：本题考查复数模的取值范围的求解，解题的关键在于将复数的模转化为关于的二次函数的值域来求解，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域的求解.
22．（2021·上海青浦·高二期末）已知是实系数一元二次方程的两个虚数根， 且满足方程.
（1）求和；
（2）写出一个以和为根的实系数一元二次方程.
【标准答案】（1），；（2）.
【思路指引】
（1）设，代入根据复数相等的等价条件即可求解；
（2）根据根与系数的关系即可求解.
【详解详析】
（1）设，，代入
可得：，
整理可得：，
所以，解得，
所以，；
（2），，
所以以和为根的实系数一元二次方程为.
23．（2021·上海虹口·高二期末）（1）在复数范围内解方程：为虚数单位)；
（2）已知系数为整数的一元二次方程的一根为，求的最小值.
【标准答案】（1），或；（2）.
【思路指引】
（1）设复数，代入由复数的运算法则，模、共轭复数等计算化简，然后由复数相等的定义求解．
（2）根据实系数方程复数根的性质得另一根，然后由韦达定理得出的关系式，求得，从而易得最小值．
【详解详析】
（1）设复数，则原方程化为
于是，解得
因此原方程的解为，或．
（2）由条件可得
解得，故，又a，b，c均为整致，故
因此
24．（2021·上海浦东新·高二期中）已知复数满足（为虚数单位），
（1）求复数；
（2）若，求的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）设，代入化简，由复数相等的定义求得，得结论；
（2）把（1）的结论代入计算，可得其范围．
【详解详析】
设
则，
．
（2）
25．（2021·上海·曹杨二中高二月考）（1）在复数集中解关于的方程：；
（2）在复数集中解方程：．
【标准答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【思路指引】
（1）计算得出，然后分、、，然后根据二次方程的解法求解原方程即可；
（2）设，代入原方程可得出，根据复数相等可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.
【详解详析】
（1）.
当时，即或时，，；
当时，即时，或；
当时，即时，，.
综上所述，当或时，原方程的根为，；
当时，原方程的根为；
当时，原方程的根为；
当时，原方程的根为，；
（2）设，代入原方程，得，
所以，解得，所以．
26．（2021·上海·曹杨二中高二月考）已知关于的方程的两根为，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）求的值．
【标准答案】（1）或；（2）或；（3）．
【思路指引】
（1）分若，为实数，和，为虚数，两种情况讨论，求实数的值；
（2）若，为实数，分，和两种情况，化简，再利用韦达定理求值，若，为虚数，利用韦达定理表示，再代入韦达定理求值；
（3）根据（2）的分类情况，代入韦达定理，求值.
【详解详析】
解：（1）若，为实数，则且，，
所以，解得，
若，为虚数，则且，，
设，，则，
且，所以，，
所以，
综上，或．
（2）若，为实数，则，所以，
若，则，均为负数，所以，矛盾，
若，则，符号相反，
所以，解得，
若，为虚数，则，且，
解得，
综上，或．
（3）若，为实数，则，所以，
若，则，均为负数，所以，
若，则，符号相反，
所以；
若，为虚数，则，所以，
所以，
综上，．
27．（2021·上海·高一课时练习）已知O为坐标原点，向量 分别对应复数，，且，，若是实数.
（1）求实数a的值；
（2）求以 为邻边的平行四边形的面积.
【标准答案】
（1）
（2）
【思路指引】
（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积．
（1）
由，得
，则的虚部为0，
．
解得：或．
又，．
（2）
由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以以 为邻边的平行四边形的面积
28．（2021·上海市徐汇中学高二期末）已知复数满足，是关于的方程的一个根，求方程的另一个根和的值
【标准答案】根为，
【思路指引】
根据复数代数形式的除法求出，从而求出，再代入方程求出，即可得到方程为，利用韦达定理求出方程的另一个根，最后根据复数模的计算公式求出；
【详解详析】
解：因为，所以，所以，所以，即是关于的方程的一个根，所以，即，解得，所以方程，设另一根为，则，所以，即方程的另一个根为，所以
29．（2021·上海市徐汇中学高二期末）设、是关于x的方程x22kx+(2k+1)=0(k∈R+)的两个根
（1）若||=2，求实数k的值
（2）若||+||=2，求实数k的值
【标准答案】
（1）k=3；
（2）
【思路指引】
（1）根据、是关于x的方程的两个根，根与系数的关系，得到，之后利用两数和差积的关系，结合题中条件求得结果；
（2）判别式可正可负可零，分方程的根为实根和虚根两种情况讨论求解.
（1）
、是关于x的方程的两个根，
所以，
根据题意有，
即，
解得（舍去）或.
所以.
（2）
方程的判别式为，
因为，所以判别式可正可负可零，
当时，因为，所以，所以、同号，
所以，解得，
此时，不合题意，
当时，方程有两个虚根，
，，
所以，
即，解得，满足，
所以.
30．（2021·上海市建平中学高一期末）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.
（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；
（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．
【标准答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在，答案见解析.
【思路指引】
（1），，，由是复数组，，的“复数”，从而，由此能求出结果．
（2）由，，存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”，列不等式组求出结果．
（3）严格减．推导出当为奇数时，复数组，，，，存在“复数”，当为偶数时，复数组，，，，不存在“复数”．
【详解详析】
解：（1），，，∵是复数组，，的“复数”，
∴，代入得，化简得，∴．
（2）若，，均是复数组，，的“复数”，则，设，，2，3，则，
相加得，所以，所以．
（3）因为严格递减
当为奇数时，，
，∴，
所以当为奇数时，复数组，，，…，存在“复数”，是复数组，，，…，的“复数”．
为偶数时，，
，
∴，所以当为偶数时，复数组，，，…，不存在“复数”．
