编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 复数的四则运算综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一月考）已知复数，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海·高一课时练习）若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海·高一期末）设是复数，从，，，，，，中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）
A．3个元素 B．4个元素 C．5个元素 D．6个元素
4．（2021·上海·高一月考）方程的根的情况是（ ）．
A．有两个不等实根 B．有一对共轭虚根
C．有一个实根，一个虚根 D．有两个不共轭虚根
5．（2021·上海·高一月考）若复数范围内将分解因式，所得的结果为
A． B．
C． D．
6．（2021·上海·高一课时练习）已知虚数满足，则（ ）.
A．20 B．16 C．10 D．6
7．（2021·上海·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海市延安中学高一期末）设 为复数，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2021·上海·高一单元测试）设z是复数，以下命题中错误的是（ ）
A．“z为实数”的充要条件是“”
B．“z为实数”的充要条件是“”
C．“z为纯虚数”的充要条件是“”
D．“z为纯虚数”的充要条件是“”
10．（2021·上海·高一期末）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海宝山·高一期末）如果复数z满足（i为虚数单位），则________．
12．（2021·上海宝山·高一期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________．
13．（2021·上海中学高一期末）若，则__________．
14．（2021·上海中学高一期末）关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________．
15．（2021·上海市曹杨中学高一月考）在复数范围内分解因式：______．
16．（2021·上海·高一课时练习）已知，则____________．
17．（2021·上海·高一课时练习）已知复数，且为纯虚数，则_________．
18．（2021·上海·高一单元测试）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________
19．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知，若方程的一个根为，则______________．
20．（2021·上海市曹杨中学高一月考）实系数一元二次方程的一根为（其中为虚数单位），则______．
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）化简下列复数
（1）
（2）
22．（2021·上海闵行·高一期末）已知复数，，其中为虚数单位，.
（1）当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值.
（2）求的值域.
23．（2021·上海交大附中高一期末）设复数（其中，），，（其中）．
（1）设，若，求出实数的值；
（2）若复数满足条件：存在实数，使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数的模的取值范围．
24．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）已知复数满足：，.
（1）求复数，并指出的实部和虚部：
（2）求满足的最大正整数的值.
25．（2021·上海静安·高一期末）设z是实系数一元二次方程的根.
（1）求出所有z；
（2）选取（1）中求出的一个z值，计算的值.
26．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知，求证：
（1）；
（2）．编者学科君小注：
本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 复数的四则运算综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海·高一月考）已知复数，，则为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
直接利用复数的运算法则进行计算即可得解.
【详解详析】
因为
．
故选：C.
【名师指路】
本题考查复数代数形式的混合运算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.
2．（2021·上海·高一课时练习）若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用复数的加减运算法则、共轭复数的定义、即可得出．
【详解详析】
设，则，所以，故．
故选：D
【名师指路】
本题考查了复数的加减运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
3．（2021·上海·高一期末）设是复数，从，，，，，，中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）
A．3个元素 B．4个元素 C．5个元素 D．6个元素
【标准答案】A
【思路指引】
设复数分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.
【详解详析】
解：设复数
，
，
，
，
故由以上的数组成的集合最多有，，这个元素，
故选：
【名师指路】
本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.
4．（2021·上海·高一月考）方程的根的情况是（ ）．
A．有两个不等实根 B．有一对共轭虚根
C．有一个实根，一个虚根 D．有两个不共轭虚根
【标准答案】D
【思路指引】
设、为方程的两个根，由韦达定理可排除A、B；若为实数，由复数相等的条件可得，由该方程无解即可排除C；即可得解.
【详解详析】
设、为方程的两个根，
则由韦达定理可得，，
所以、不可能为两个不等实根，也不可能是一对共轭虚根，故排除A、B；
若为实数，则，
则可得，此方程无解，所以原方程无实数根，故排除C.
故该方程只有两个不共轭虚根.
故选：D.
【名师指路】
本题考查了复数范围内一元二次方程的根的情况的讨论，考查了复数相等的条件，关键是掌握韦达定理的适用条件，属于中档题.
5．（2021·上海·高一月考）若复数范围内将分解因式，所得的结果为
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
设是方程 的两个复数根，求得，进而求得分解因式的结果.
【详解详析】
方程的判别式，所以方程 ，有两个互为共轭复数的复数根，设是方程 的两个复数根，则，解得 ，.所以方程的两个复数根为 .故复数范围内将分解因式得.
故选：C
【名师指路】
本小题主要考查复数运算，属于中档题.
6．（2021·上海·高一课时练习）已知虚数满足，则（ ）.
A．20 B．16 C．10 D．6
【标准答案】D
【思路指引】
利用立方差公式化简已知条件，根据为虚数，得到，由此求得.
【详解详析】
由于，所以，所以或.
由于为虚数，所以舍去，得.
所以.
故选：D
【名师指路】
本小题主要考查复数运算，属于中档题.
7．（2021·上海·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据复数的乘法计算化简，化为复数的三角形式，即可求解。
【详解详析】
因为，
所以.
故选：D
8．（2021·上海市延安中学高一期末）设 为复数，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，分别判断充分性与必要性即可.
【详解详析】
若，，则成立且不成立，
而若，则成立，
故是的必要不充分条件.
故选：C.
9．（2021·上海·高一单元测试）设z是复数，以下命题中错误的是（ ）
A．“z为实数”的充要条件是“”
B．“z为实数”的充要条件是“”
C．“z为纯虚数”的充要条件是“”
D．“z为纯虚数”的充要条件是“”
【标准答案】C
【思路指引】
A.如果，所以，所以该选项正确；
B.如果所以所以该选项正确；
C.如果，所以，所以该选项不正确；
D.如果所以，所以该选项正确.
【详解详析】
A.设i, 如果，则ii)=0,所以，
所以是实数.所以 “z为实数”的充要条件是“”，所以该选项正确；
B. 设i,如果所以i,所以，
所以所以,所以“z为实数”的充要条件是“”，所以该选项正确；
C. 设i, 如果，则ii)=0,所以，
所以复数有可能是实数，也有可能是纯虚数，所以“z为纯虚数”的充要条件不是“”，
所以该选项不正确；
D. 设i,如果所以i,所以，
所以，所以是纯虚数，所以“z为纯虚数”的充要条件是“”，所以该选项正确.
故选：C
10．（2021·上海·高一期末）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.
【详解详析】
因为，
所以，
设，，，
则，
，
即，，，
故
.
故选：A.
【名师指路】
本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.
二、填空题
11．（2021·上海宝山·高一期末）如果复数z满足（i为虚数单位），则________．
【标准答案】
【思路指引】
利用复数的除法运算化简，进而求得.
【详解详析】
,
,
故答案为：
12．（2021·上海宝山·高一期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________．
【标准答案】
【思路指引】
设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值
【详解详析】
解：设，
由根与系数的关系可得，则，
因为，所以，
所以，解得，
由，得或，
所以，
故答案为：
13．（2021·上海中学高一期末）若，则__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据复数的运算法则计算．
【详解详析】
由已知．
故答案为：．
14．（2021·上海中学高一期末）关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据实系数一元二次方程虚根成对定理，得的另一根为，再由韦达定理可得，即可求出的值.
【详解详析】
由题意得实系数一元二次方程的另一根为，再由韦达定理可得，得.
故答案为：
15．（2021·上海市曹杨中学高一月考）在复数范围内分解因式：______．
【标准答案】
【思路指引】
将原式配成完全平方式，再根据，即可得解；
【详解详析】
解：
故答案为：
16．（2021·上海·高一课时练习）已知，则____________．
【标准答案】.
【思路指引】
将代入分式，用复数的四则运算法则即可解得.
【详解详析】
由已知，，所以原式.
故答案为：.
17．（2021·上海·高一课时练习）已知复数，且为纯虚数，则_________．
【标准答案】-1
【思路指引】
首先化简，再根据复数为纯虚数，得到实部为零且虚部不为零，即可得到方程、不等式组，解得即可；
【详解详析】
解：因为，
所以，
因为为纯虚数，
所以，解得且；解得或，综上可得
故答案为：
18．（2021·上海·高一单元测试）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________
【标准答案】－1＋10i
【思路指引】
先利用复数加法运算计算z1＋z2，根据题意利用复数相等的定义列方程即得参数，再写出z1，z2，计算z1－z2即可.
【详解详析】
∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，即，
∴即，
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
故答案为：－1＋10i.
19．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知，若方程的一个根为，则______________．
【标准答案】60
【思路指引】
由题意可知方程的两根分别为，，结合韦达定理求出，即可求出结果.
【详解详析】
方程的一个根为，则方程的另一个根为，结合韦达定理得，即，所以；
故答案为：60.
20．（2021·上海市曹杨中学高一月考）实系数一元二次方程的一根为（其中为虚数单位），则______．
【标准答案】1
【思路指引】
根据实系数一元二次方程的虚根成对定理可得另一共轭虚根,再根据韦达定理可得的值,然后相加即可得到.
【详解详析】
因为实系数一元二次方程的一根为，
所以根据虚根成对定理可得，实系数一元二次方程的另一共轭虚根为，
所以根据韦达定理得，，
所以，，
所以.
故答案为：.
三、解答题
21．（2021·上海·高一课时练习）化简下列复数
（1）
（2）
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
利用复数的加减运算法则求解.
【详解详析】
（1），
，
.
（2），
，
.
【名师指路】
本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．（2021·上海闵行·高一期末）已知复数，，其中为虚数单位，.
（1）当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值.
（2）求的值域.
【标准答案】（1），；（2）.
【思路指引】
（1）由于、是方程的两个虚根，得出，求出的值，再根据根与系数的关系可求出、；
（2）直接求出的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可.
【详解详析】
（1）已知复数，，
、是方程的两个虚根，所以，即，
所以，所以，，
由韦达定理可得，
；
（2）
【名师指路】
方法点睛：三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值；
④形如或转换成二次函数求最值.
23．（2021·上海交大附中高一期末）设复数（其中，），，（其中）．
（1）设，若，求出实数的值；
（2）若复数满足条件：存在实数，使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数的模的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）.
【思路指引】
(1)用k表示出复数，再根据给定条件列式计算即可；
(2)利用实系数一元二次方程的两个虚根的关系列式分类讨论即可求解.
【详解详析】
（1），，
因，则，即，解得，
所以实数的值为；
(2)，，
因与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，则，互为共轭复数，即，
若时，则有，此时，为零，不合题意，
若时，则，，整理得，由，得
而，即，，
所以复数的模的取值范围是.
24．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）已知复数满足：，.
（1）求复数，并指出的实部和虚部：
（2）求满足的最大正整数的值.
【标准答案】（1），实部为2，虚部为1；（2）5．
【思路指引】
（1）由复数除法求得，再由共轭复数定义得结论，由复数的定义得出实部、虚部；
（2）根据等差数列的定义写出通项公式，计算模后可得．
【详解详析】
（1）由题意，
所以，实部为2，虚部为1；
（2）因为，，
所以，
，因为，所以，，的最大值为5．
25．（2021·上海静安·高一期末）设z是实系数一元二次方程的根.
（1）求出所有z；
（2）选取（1）中求出的一个z值，计算的值.
【标准答案】（1）；（2）见详解
【思路指引】
（1）利用实系数方程求解复数根即可；
（2）代入复数，化简求解即可.
【详解详析】
解：（1），
即，
即或，
故或，
即或；
（2）若时，
；
若时，
.
26．（2021·上海·南洋中学高一月考）已知，求证：
（1）；
（2）．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【思路指引】
设，，
（1）计算，并计算，变形后可得其等于．
（2）计算，并计算，变形后可得其等于．
【详解详析】
设，，
（1）
，
（2）
．
